自动控制系统计算机仿真符号运算课件.ppt

1、2、使用函数、使用函数subs(S,old,new)实现符号变量代换实现符号变量代换例例2、已知、已知 ，试对其进行符号变量替换：，试对其进行符号变量替换：符号常量替换：符号常量替换：kbyaxfntasinwblndtcek5nk解：输入语句解：输入语句执行结果为执行结果为3、符号表达式展开的函数、符号表达式展开的函数expand()其调用格式为其调用格式为expand(E),其功能是将符号表达式其功能是将符号表达式E展开。展开。例例3，已知，已知 ，试将其展开。，试将其展开。)arccos3cos(xf 解：输入语句解：输入语句执行结果为执行结果为表示表示xxxf34)arccos3cos

2、(34、符号表达式同类项合并函数、符号表达式同类项合并函数collect()其调用格式为其调用格式为collect(E,v),其功能是将符号表达式其功能是将符号表达式E中的中的v的同的同幂次项系数合并。幂次项系数合并。例例4、已知、已知 ，试对，试对x进行同类项合并。进行同类项合并。bxaxxyyxf22解：输入语句解：输入语句执行结果为执行结果为表示表示xbyxaybxaxxyyxf)()(2225、符号表达式化简的函数、符号表达式化简的函数simplify()和和simple()函数函数simplify(E)的功能是将符号表达式的功能是将符号表达式E运用多种恒等式变换进行运用多种恒等式变换

3、进行综合化简。综合化简。函数函数simple(E)的功能是对符号表达式的功能是对符号表达式E尝试多种不同的简化算法尝试多种不同的简化算法（包括（包括simplify()的算法），以得到符号表达式的算法），以得到符号表达式E的长度最短的简化的长度最短的简化形式。形式。例例5、试对、试对 与与 进行综合化简。进行综合化简。xxe221cossin)ln(2cee解：输入语句解：输入语句执行结果为执行结果为表示表示1cossin221xxeccee)()ln(26、符号表达式通分的函数、符号表达式通分的函数numden()其调用格式为其调用格式为 N,D=numden(E)，功能是将符号表达式，功能

4、是将符号表达式E通分。通分。例例6、已知、已知 ，试对其进行通分。，试对其进行通分。pxykyxf解：输入语句解：输入语句执行结果为执行结果为表示表示kpxykypxpxykyxf227、对具有符号的矩阵作求逆等运算、对具有符号的矩阵作求逆等运算例例7，求以下矩阵的逆，求以下矩阵的逆dcbaP解：输入语句解：输入语句执行结果为执行结果为表明表明bcadabcadcbcadbbcaddP11、符号极限运算、符号极限运算函数函数limit()有有5种：种：（1）limit(F,x,a)计算符号表达式计算符号表达式F当变量当变量xa时的极限时的极限（2）limit(F,a)计算符号表达式计算符号表达

5、式F当独立变量趋向当独立变量趋向a时的极限时的极限（3）limit(F)计算符号表达式计算符号表达式F在在x=0处的极限处的极限（4）limit(F,x,a，right)计算符号表达式计算符号表达式F在在xa（从右边（从右边趋向于趋向于a）条件下的极限）条件下的极限（5）limit(F,x,a，left)计算符号表达式计算符号表达式F在在xa（从左边趋（从左边趋向于向于a）条件下的极限）条件下的极限二、符号函数的微分与积分运算二、符号函数的微分与积分运算例例8、试证明、试证明 ，并求，并求ennn1)1(lim0?sinsinlimaxaxax解解：（：（1）输入下面语句来证明输入下面语句来证

6、明执行结果为执行结果为即证明了即证明了ennn1)1(lim0（2）输入以下语句来计算）输入以下语句来计算执行结果为执行结果为表示表示aaxaxaxcossinsinlim2、计算不定积分和定积分的命令、计算不定积分和定积分的命令int()格式：格式：(1)、int(S)对单变量函数对单变量函数S求不定积分；求不定积分；(2)、int(S,y)多变量函数多变量函数S（x,y,z）（自变量之一为）（自变量之一为y），），对于自变量对于自变量y求不定积分；求不定积分；(3)、int(S,a,b)对单变量函数对单变量函数S求定积分求定积分,积分区间为积分区间为a，b；(4)、int(S,x,a,b)

7、多变量函数多变量函数S对于自变量对于自变量x求定积分求定积分,积积分区间为分区间为a，b；例例9、计算下列积分、计算下列积分?y（1）解：输入语解：输入语句句计算结果计算结果211xy求求（2）xyS1求求?1dyxy输入语句输入语句计算结果计算结果（3）2xS 求求dxx302输入语句输入语句计算结果计算结果（4）yxS2求求dyyx302输入语句输入语句计算结果计算结果例例10、已知导函数、已知导函数 ，试求原函数，试求原函数xxxedxdfxsincos)(xf解：输入语解：输入语句句计算结果计算结果表明表明23)3/2(sincos)(xxxexfx例例11、试计算、试计算 与与02?

8、)sin(dxxxK?)(322dxyxdyIaayay解：输入语解：输入语句句计算结果计算结果表明表明41613K414aI 3、对符号函数求微分的命令、对符号函数求微分的命令命令命令diff()的调用格式：的调用格式：dfvn=diff(f,v,n)功能为对函数功能为对函数 f 相对于自变量相对于自变量v计算计算n阶导数。阶导数。例例12、已知函数矩阵已知函数矩阵 试求试求xxxxxexfsinln112222dtfd解：输入语解：输入语句句计算结果计算结果表示表示xxxxxxexxdtfdxx11lnsin1)23(2)1()13(2223322222例例13、已知函数已知函数 试求试求

9、 与与)lnln(yxfxfyf解：输入语解：输入语句句计算结果计算结果表明表明yxxfln1)ln(1yxyyf4、符号求和函数与、符号求和函数与taylor级数展开函数级数展开函数级数求和函数命令级数求和函数命令symsum()，其调用格式为：其调用格式为：s=symsum(F,v,a,b),其功能为：对象表达式其功能为：对象表达式F对于指定变量对于指定变量v取遍从取遍从a到到b中的所有整数时，对中的所有整数时，对F求和。求和。例例14、求幂级数的和求幂级数的和11212nnnxS解：输入语句解：输入语句计算结果计算结果表明表明xxS11ln21函数函数f(x)的的Taylor级数展开式级

10、数展开式 nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)()()()(00)(200000格式格式1：taylor(f,x),其功能是将函数其功能是将函数 f 展开成展开成Taylor级数，求级数，求其五次幂的近似多项式。其五次幂的近似多项式。例例15 试求函数试求函数 的的Taylor展开式展开式)sin()(xxf解：输入语句解：输入语句计算结果计算结果表明表明53120161)sin()(xxxxf格式格式2：taylor(f,n),其功能是将函数其功能是将函数 f 展开成展开成Taylor级数，求级数，求其其(n-1)次幂的近似多项式。次幂的近似多项式。例例16、求函数、求

11、函数 的的9次幂的近似多项式次幂的近似多项式)sin()(xxf解：输入语句解：输入语句计算结果计算结果表明表明9753362880150401120161)sin()(xxxxxxf格式格式3：taylor(f,n,c),其功能是将函数其功能是将函数 f 展开成展开成(x-c)的的Taylor级数，求其级数，求其(n-1)次幂的近似多项式。次幂的近似多项式。例例17、求函数、求函数 的的(x-1)的的7次幂的近似多项式次幂的近似多项式xxfln)(解：输入语句解：输入语句计算结果计算结果表明表明765432)1(71)1(61)1(51)1(41)1(31)1(21)1(ln)(xxxxxx

12、xxxf5、设有向量、设有向量)()()(21tvtvtvVm而而)()()()(21VfVfVfVfn则有雅可比（则有雅可比（Jacobian）矩阵）矩阵mnnmvfvfvfvfJ1111求雅可比矩阵用函数求雅可比矩阵用函数jacobian()来实现，来实现，其格式为其格式为B=jacobian(f,v),其中其中f为列向量函数，为列向量函数，v是行向是行向量，输出量，输出B为所求的雅可比矩阵。为所求的雅可比矩阵。例例18、已知、已知 试计算雅可比矩阵试计算雅可比矩阵),(),(21TfTff2211)sin()cos(),(TTKGTfmTV)cos()sin(),(2TTf解：输入语句解

13、：输入语句计算结果计算结果)cos()sin()cos(2)sin()cos()sin(2222211TTKGTKGTftaofTftaofBmm表明表明三、符号方程求解三、符号方程求解1、符号代数方程求解、符号代数方程求解符号代数方程求解函数命令符号代数方程求解函数命令solve()有以下调用格式有以下调用格式格式格式1：solve(eqn1,eqn2,eqnN,v1,v2,vN,)格式格式2：solve(eqn1,eqn2,eqnN,v1,v2,vN,)格式格式3：solve(eqn1,eqn2,eqnN)例例19、求解三元方程组、求解三元方程组ayx11bzx11czy11解：输入语句解

14、：输入语句计算结果计算结果解出方程的根为解出方程的根为cbax2cbay2cbaz22、符号微分方程求解、符号微分方程求解常微分方程的符号解由函数命令常微分方程的符号解由函数命令dsolve()来计算。调用格式为来计算。调用格式为 dsolve(eqn1,eqn2,初始条件部分初始条件部分,指定独立变量部分指定独立变量部分)例例20、求满足初始条件的二阶常系数齐次微分方程的特解：、求满足初始条件的二阶常系数齐次微分方程的特解：0222fdtdfdtfd4)0(f2)0(f解：输入语句解：输入语句计算结果计算结果表明该微分方程的解为：表明该微分方程的解为：tettf)2(2)(例例21、求一阶线

15、性微分方程的通解求一阶线性微分方程的通解3)2(2)2(xydxdyx解解（1）输入以下语句，求解微分方程）输入以下语句，求解微分方程计算结果计算结果即方程的解为即方程的解为)4)(2(12Cxxxy（2）验算微分方程的解）验算微分方程的解输入语句输入语句计算结果计算结果显然，左边显然，左边=右边右边3、Laplace变换与变换与Laplace逆变换逆变换拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）变换）变换0)()(dtetfsFst命令函数命令函数laplace(f)可以执行拉普拉斯变换可以执行拉普拉斯变换例例22、函数为、函数为 求其拉氏变换。求其拉氏变换。3031)3(1)(ttttf解：该函

16、数要用解：该函数要用 来定义。来定义。)(atHeaviside输入语句输入语句计算结果计算结果表明表明setfLsFs3)()(例例23、单位脉冲函数、单位脉冲函数 求其拉氏变换。求其拉氏变换。)()(ttf而而结果为结果为解：输入语句解：输入语句运行结果运行结果而而运行结果运行结果例例25、函数、函数 求其拉氏变换。求其拉氏变换。tetfatsin)(解：输入语句解：输入语句运行结果运行结果表明表明22)()()(asastfLsFLaplace逆变换逆变换)()(21)(1tfdsesFjsFLjjst命令函数命令函数 f=ilaplace(F)可以求拉普拉斯逆变换可以求拉普拉斯逆变换例

17、例26、像函数为、像函数为 求其拉氏逆变换。求其拉氏逆变换。1)(sF解：输入语句解：输入语句运行结果运行结果表明表明)()()(1tsFLtf例例27、像函数为、像函数为 求其拉氏逆变换。求其拉氏逆变换。bsassF ln)(解：输入语句解：输入语句运行结果运行结果表明表明atbteetsFLtf1)()(1用用Laplace变换求解微分方程变换求解微分方程例例28、RLC电路如右图所示，当电路如右图所示，当t=0时时合上开关，求电容电压合上开关，求电容电压?cu解：由基尔霍夫电压定理列出以下方程解：由基尔霍夫电压定理列出以下方程)(1 tEuuRCuLCCCC 左、右两边同时求左、右两边同时求Laplace变换变换运行结果运行结果设：系统初始条件为零，则有设：系统初始条件为零，则有0/)()()(2sEsusuRCssuLCsCCC代入参数值代入参数值1RHL5.0FC1.0VE10)11.005.0(10)(2ssssuC求求Laplace逆变换，得到原微分方程的解逆变换，得到原微分方程的解运行结果运行结果表明表明titititiCeeieeitu)191()191()191()191(5195519510)(使用欧拉公式可以进一步化简为使用欧拉公式可以进一步化简为)19sin(10)(tAetutC