运筹学基础教程第二版PPT-(9)[122页]课件.ppt

1、运筹学运筹学基基础教础教程程（第二版）（第二版）魏魏权龄权龄 胡胡显显佑佑 编编著著第第5章章 多目多目标规划标规划*v 5.1多目多目标规划标规划的一般形式和特点的一般形式和特点v5.2什么是多目标规划的什么是多目标规划的“最优解最优解”-有效解有效解v5.3像像 集集*v5.4 评价函数方法评价函数方法v5.5福利最大化与多目标规划福利最大化与多目标规划v5.6福利经济学中的埃奇渥斯盒状图福利经济学中的埃奇渥斯盒状图*v5.7目标规划目标规划 5.1多目多目标规划标规划的一般形式和特点的一般形式和特点u在前几章中讨论的规划问题都是单目标问题，也就是在前几章中讨论的规划问题都是单目标问题，也

2、就是只通过一个性能指标的大小来衡量方案的好坏只通过一个性能指标的大小来衡量方案的好坏.然而，然而，在实际生活中，确定一个问题的方案优劣，常常要考在实际生活中，确定一个问题的方案优劣，常常要考虑多个目标虑多个目标.例如，我们在制定生产计划时，既要求例如，我们在制定生产计划时，既要求产量高，又要求质量好，还要求成本低产量高，又要求质量好，还要求成本低.再如，在选再如，在选择一个新工厂的厂址时，我们要考虑的有生产成本、择一个新工厂的厂址时，我们要考虑的有生产成本、运输费用、基建投资费用、国防条件、污染等多种因运输费用、基建投资费用、国防条件、污染等多种因素素.特别是有些指标之间又往往不是那么协调，使

3、得特别是有些指标之间又往往不是那么协调，使得确定最优方案时决策者难以做出最后决断确定最优方案时决策者难以做出最后决断.u例例1（采购问题）设市场上有甲、乙、丙三种糖果，（采购问题）设市场上有甲、乙、丙三种糖果，每斤的价格如表每斤的价格如表5-1所示：所示：v 表表5-1v 今要筹办一桩婚事，计划花掉（买糖果）的总钱数不得今要筹办一桩婚事，计划花掉（买糖果）的总钱数不得超过超过50元，总的糖果斤数不得少于元，总的糖果斤数不得少于12斤，甲种糖果的斤斤，甲种糖果的斤数不能少于数不能少于7斤斤.问如何确定最佳的采购方案问如何确定最佳的采购方案.v 对于该问题的约束条件是不难确定的对于该问题的约束条件

4、是不难确定的.设设x1,x2,x3分别为分别为甲、乙、丙三种糖果的采购量甲、乙、丙三种糖果的采购量.于是依题意，于是依题意，x1,x2,x3应应满足条件满足条件v 当我们考虑以什么作为衡量当我们考虑以什么作为衡量“最佳方案最佳方案”的标准时，会有的标准时，会有以下几种目标：以下几种目标：v（1）花钱总数最小，即）花钱总数最小，即f1(x1,x2,x3)=3x1+2x2+x3minv（2）买糖的总斤数量大，即）买糖的总斤数量大，即f2(x1,x2,x3)=x1+x2+x3maxv（3）甲种糖的斤数最大，即）甲种糖的斤数最大，即f3(x1,x2,x3)=x1maxv 可见，该问题可以用多目标问题来

5、描述可见，该问题可以用多目标问题来描述.v 正像线性规划和非线性规划那样，我们可以假定每个目正像线性规划和非线性规划那样，我们可以假定每个目标都是以求最小值为目的标都是以求最小值为目的.于是，多目标规划的一般形式于是，多目标规划的一般形式可以写为：可以写为：v 其中其中p=2，符号，符号V-min表示对表示对p个目标函数个目标函数f1(x),f2(x),fp(x)v 求最小，以示区别于单目标时求最小求最小，以示区别于单目标时求最小.v 多目标规划有什么特点呢？可先看一下由图多目标规划有什么特点呢？可先看一下由图5-1给出的给出的两个目标的例子两个目标的例子.由图可以看出由图可以看出x1为单目标

6、规划（即非线为单目标规划（即非线性规划）性规划）v的最优解，但是它对于以的最优解，但是它对于以f2(x)为目标的规划问为目标的规划问题题v来说，却是最坏的可行解来说，却是最坏的可行解.另一方面，由图另一方面，由图5-1也也可看出可看出x2是（是（P2）的最优解，但是它对于问题）的最优解，但是它对于问题（P1）来说却是最坏的可行解）来说却是最坏的可行解.这个例子说明多这个例子说明多目标规划的目标之间可能不是一致的，甚至会目标规划的目标之间可能不是一致的，甚至会是彼此矛盾的是彼此矛盾的.v我们再看一下图我们再看一下图5-2及图及图5-3，其中图，其中图5-2是两个是两个变量的例子，图变量的例子，图

7、5-3为单变量的例子为单变量的例子.v在这两个例子中，可行解在这两个例子中，可行解 x 对两个目标来说都对两个目标来说都是最优解是最优解.我们称具有这样性质的我们称具有这样性质的 x 为绝对最为绝对最优解，也即优解，也即 x 对每个目标来说都是最优解对每个目标来说都是最优解.不不难理解，多目标规划的绝对最优解往往是不存难理解，多目标规划的绝对最优解往往是不存在的（例如图在的（例如图5-1）.v图图5-3多目标规划问题还有一个特点，即对于给多目标规划问题还有一个特点，即对于给定的两个方案（可行解），例如定的两个方案（可行解），例如x1R,x2R,这这两个方案谁优些、谁劣些，往往是不可比较的两个方

8、案谁优些、谁劣些，往往是不可比较的.实际上，对于实际上，对于x1来说，我们需要用来说，我们需要用p个目标值个目标值v 来衡量来衡量;对对x2来说，也同样需用来说，也同样需用p个目标值个目标值v 来衡量来衡量.比较比较x1与与x2的优劣，则需要比较两个的优劣，则需要比较两个p维向量维向量F1与与F2.我们知道，两个向量往往是不能比较大小的我们知道，两个向量往往是不能比较大小的.例如，例如，这样两个向量这样两个向量v就不能比较谁大谁小就不能比较谁大谁小.v总之，多目标规划问题中目标之间往往是不一总之，多目标规划问题中目标之间往往是不一致的，甚至是相互矛盾的；最理想的情况是：致的，甚至是相互矛盾的；

9、最理想的情况是：找到一个可行解，使其对每个目标都是最优的找到一个可行解，使其对每个目标都是最优的.但是，这样的可行解（即绝对最优解）往往是但是，这样的可行解（即绝对最优解）往往是不存在的。最根本的问题是：可行解（即方案）不存在的。最根本的问题是：可行解（即方案）之间用多个目标去判断优劣，由于是用多个目之间用多个目标去判断优劣，由于是用多个目标值去比较，相当于比较两个向量的大小，而标值去比较，相当于比较两个向量的大小，而向量之间往往是不能进行比较的向量之间往往是不能进行比较的.5.2什么是多目标规划的什么是多目标规划的最优解最优解-有效解有效解v 由以上的讨论可知，对多目标规划问题需要引进新的概

10、由以上的讨论可知，对多目标规划问题需要引进新的概念，在新概念之下定义多目标问题的解念，在新概念之下定义多目标问题的解.为此，引进一个为此，引进一个符号符号“.设设a与与b为两个为两个p维向量，即维向量，即v 设向量设向量a与向量与向量b具有关系：具有关系：a bv 这意味着向量这意味着向量a的每个分量都要小于或等于向量的每个分量都要小于或等于向量b的对应的对应分量，并且分量，并且a至少有一个分量要严格地小于向量至少有一个分量要严格地小于向量b对应的对应的分量分量.用数学符号表示，即有用数学符号表示，即有v（1）对于）对于i=1,2,p均有均有ai bi;v（2）至少存在某）至少存在某i0（1

11、i0 p），有），有ai0bi0.v 现在，利用符号现在，利用符号“”来考察方案来考察方案 的优劣的优劣.若存在另一个若存在另一个方案方案 满足满足v 则方案则方案 比方案比方案 劣劣.这是因为方案这是因为方案 的的p个目标值都不比个目标值都不比方案方案 的对应目标值差（即对所有的的对应目标值差（即对所有的i=1,2,p均有均有fi()fi()）,并且至少有一个目标值要好（即至少存在并且至少有一个目标值要好（即至少存在某个某个i0，有，有fi0（）fi0()）.此时，我们称此时，我们称 为劣解为劣解.显然，若不存在显然，若不存在 R，满足式（，满足式（5.1），则方案），则方案 不为不为劣解，

12、于是可得如下的定义劣解，于是可得如下的定义.v定义定义1 设设 R，若不存在，若不存在xR满足满足v则称则称 为多目标规划问题（为多目标规划问题（VP）的非劣解（或）的非劣解（或称有效解，也称称有效解，也称Pareto解）解）.多目标规划（多目标规划（VP）的有效解全体记为的有效解全体记为R*pa.v例例2 求多目标规划求多目标规划的有效解集合的有效解集合R*pa，其中，其中v解：对问题（解：对问题（VP）可以画出图形，见图）可以画出图形，见图5-4.v当当0 x1时，由图形可知时，由图形可知v即也有即也有v因此，当因此，当0 x1时，时，x为劣解；当为劣解；当x3时，有时，有v即也有即也有v

13、因此，当因此，当x3时，时，x为劣解；当为劣解；当1 x 3时，我时，我们找不到一个们找不到一个 0，使得，使得v因此因此x为有效解，即为有效解，即vR*pa=x1 x 3v例例3 求多目标规划求多目标规划v的有效解集的有效解集R*pa，其中，其中v解解:对问题对问题(VP)画出图形画出图形,见图见图5-5.当当0 x1时，时，由图可知由图可知vf1(1)f1(x)vf2(1)f2(x)v即也有即也有v因此，当因此，当0 x1时，时，x为劣解；当为劣解；当1 x 2时，时，我们找不到一个我们找不到一个 0，2，使得，使得v因此因此x为有效解，即为有效解，即vR*pa=x1 x 2v例例4 考虑

14、由图考虑由图5-6给出的两个目标的问题，其中给出的两个目标的问题，其中x=（x1,x2）T.从图中不难看出，从图中不难看出，R*pa，这，这是因为我们找不到另一个可行解，满足是因为我们找不到另一个可行解，满足v下面再给出一个比有效解更弱的、被称为弱有下面再给出一个比有效解更弱的、被称为弱有效解的定义效解的定义.v定义定义2 设设 R，若不存在，若不存在 R，满足，满足v则称则称 为多目标问题（为多目标问题（VP）的弱有效解（或称）的弱有效解（或称弱弱Pareto解）解）.多目标问题（多目标问题（VP）的弱有效解全）的弱有效解全体记为体记为R*wp.不难看出有不难看出有 v例例5 考虑由图考虑由

15、图5-7给出的具有两个目标、一个变给出的具有两个目标、一个变量的例子，量的例子，xE1.v不难看出，此时不难看出，此时5.3像像 集集*v对于多目标规划问题，有别于单目标问题的是对于多目标规划问题，有别于单目标问题的是需要研究像集需要研究像集.像集的研究有助于找出（像集的研究有助于找出（VP）的）的有效解集合和弱有效解集合有效解集合和弱有效解集合(特别是对于两个目特别是对于两个目标的情况标的情况,即即p=2);也会对处理多目标规划问题的也会对处理多目标规划问题的办法给出几何解释办法给出几何解释;更会对像集的研究提供一些更会对像集的研究提供一些处理多目标问题的办法处理多目标问题的办法.记记v可以

16、看出：若可以看出：若x0R，F0=F（x0），则），则F0F（R）；反之，若）；反之，若F0F（R），则至少存在某），则至少存在某x0R，有，有F0=F（x0）.由此可以定义一个由由此可以定义一个由R到到F（R）的映象）的映象F：v（在数学上，称满足上述性质的映象（在数学上，称满足上述性质的映象F是是映上映上（或称（或称满射满射）的，但不是）的，但不是一对一一对一的）的）.我们我们称称F（R）为多目标规划（）为多目标规划（VP）的像集）的像集.v例例6 考虑问题考虑问题(n=1，p=2)v其中其中f1(x)=(x-2)x,f2(x)=-xv记记f1=(x-2)x,f2=-xv求出像集，也就是需

17、要求出当求出像集，也就是需要求出当x0,2时，时，f1与与f2之间的函数关系之间的函数关系.当我们将当我们将x看做参数时，上看做参数时，上式可看做以式可看做以x为参数时的为参数时的f1与与f2之间的函数关系之间的函数关系.由由f2=-x，得出，得出x=-f2,代入代入f1=(x-2)x，得到，得到f1=f2(f2+2)v并且由并且由v知知v 并且并且v 多目标规划（多目标规划（VP）的几何图形及像集分别由图）的几何图形及像集分别由图5-8和图和图5-9给出给出.v 对于像集对于像集F（R），也可以定义绝对最优点、有效点和弱），也可以定义绝对最优点、有效点和弱有效点，在像空间中，我们考虑如下的多

18、目标问题有效点，在像空间中，我们考虑如下的多目标问题v有如下的定义有如下的定义3和定义和定义4.v定义定义3 设设F（R）.若不存在若不存在FF（R）有）有F，则称为（，则称为（）的有效点，（）的有效点，（）的有效点的）的有效点的集合记为集合记为E*pa.v定义定义4设设F（R）.若不存在若不存在FF（R）有）有F ，则称为（则称为（）的弱有效点，（）的弱有效点，（）的弱有效点的）的弱有效点的集合记为集合记为E*wp.v正如正如5.2讨论的那样，可以完全类似地证明如讨论的那样，可以完全类似地证明如下的关系式成立：下的关系式成立：v例例7 设设v由图由图5-10可见可见v现在用几个简单的例子说明

19、在多目标问题中研现在用几个简单的例子说明在多目标问题中研究像集的目的究像集的目的.v（）研究像集的目的之一（特别是对于两个目标的情）研究像集的目的之一（特别是对于两个目标的情况，即况，即p=2）：能够找出（）：能够找出（VP）的有效解集）的有效解集R*pa和弱有和弱有效解集效解集R*wp.如果我们已经求得像集如果我们已经求得像集F（R），对于多目），对于多目标问题（标问题（VP），找出有效点和弱有效点比较容易），找出有效点和弱有效点比较容易.从有从有效点和弱有效点出发，它们的原像（在效点和弱有效点出发，它们的原像（在R中映射到有效中映射到有效点和弱有效点的那些可行解的集合）即为（点和弱有效点的

20、那些可行解的集合）即为（VP）的有效）的有效解和弱有效解解和弱有效解.我们仍以本节的例我们仍以本节的例1为例加以说明（图为例加以说明（图5-11和图和图5-12）.在图在图5-12中，像集中，像集F（R）为弧）为弧AC.因为因为在弧在弧AB（不包括端点（不包括端点B）上的任何一点）上的任何一点F，向其左下，向其左下方移动时，总可以在弧方移动时，总可以在弧BC段上找到另外一点段上找到另外一点 F（R），有），有 F，因此弧，因此弧AB（不包括端点（不包括端点B）上的点）上的点不是弱有效点，即不是弱有效点，即F E*wp.再由再由E*paE*wp，知，知F E*pa.v然而，在弧然而，在弧BC（包

21、括端点（包括端点B和和C）上的任何一）上的任何一点点 ，在其左下方都找不到像集，在其左下方都找不到像集F（R）中的点，）中的点，因此因此BC段（包括端点段（包括端点B和和C）为有效点（因此）为有效点（因此也为弱有效点）也为弱有效点）.v 我们再观察一下弧我们再观察一下弧BC的原像的原像.由于（由于（B和和C在图在图5-11中）中）v进而可知，在图进而可知，在图5-11中的区间中的区间B，C的像是的像是图图5-12中的弧中的弧BC，即，即v因此，是弧因此，是弧BC的原像，区间的原像，区间B，C正是（正是（VP）的有效解集（正如图）的有效解集（正如图5-11所示）所示）.v例例8 考虑线性多目标问

22、题考虑线性多目标问题v由图由图5-13，有，有v而而v故像集故像集v见图见图5-14，在像空间中，有效点为：，在像空间中，有效点为：AD和和DC，类似于例类似于例6中的分析（见图中的分析（见图5-11和图和图5-12），可），可知知AD的原像的原像AD和和DC的原像的原像DC为为Pareto解解.v（）研究像集的目的之二：对一些处理多目）研究像集的目的之二：对一些处理多目标问题的办法给出几何解释标问题的办法给出几何解释.我们考虑下面具有我们考虑下面具有两个目标的问题，两个目标的问题，xj（j=1，n）为第）为第j种产种产品的数量，并且品的数量，并且v总投资额最小：总投资额最小：为成本为成本v总

23、收益最大：总收益最大：为收益为收益以以乘除法乘除法作为处理多目标问题的一种办法，是作为处理多目标问题的一种办法，是考虑利率最大为目的，即考虑利率最大为目的，即v从像空间来看，对应的是从像空间来看，对应的是v其几何意义由图其几何意义由图5-15所示，图中所示，图中 为（为（P）的最）的最优点，优点，的原像的原像 (满足：满足：R,F()=)为为（P）的最优解）的最优解.v（）研究像集的目的之三（也是最主要的目）研究像集的目的之三（也是最主要的目的）：可以提供一些处理多目标问题的办法，的）：可以提供一些处理多目标问题的办法，我们以下例来说明我们以下例来说明.v例例9（“理想点法理想点法”）为了简单

24、，我们只讨论两个）为了简单，我们只讨论两个目标的情况（更一般的情况详见下节）：目标的情况（更一般的情况详见下节）：v令令v其中其中v先考虑一种最理想的情况，如图先考虑一种最理想的情况，如图5-16所示，此所示，此时时F*F（R）v 并且满足并且满足v 记记 F*=（f*1,f*2）Tv 由于由于F*F（R），故存在），故存在x*R，有，有F(x*)=(f1(x*),f2(x*)T=F*v 并且对任意并且对任意xR，记，记 F=（f1，f2）T=F（x）=（f1(x),f2(x)）Tv 则则(f1,f2)TF（R）v 因此有因此有 v 即对任意即对任意xR有有F（x）F（x*）v可见，可见，x*

25、R*ab，因此我们在像空间称，因此我们在像空间称F*为为理理想点想点(即（即（VP）的绝对最优解对应的点）的绝对最优解对应的点).v一般来说，多目标规划（一般来说，多目标规划（VP）的绝对最优解不）的绝对最优解不一定存在，正如图一定存在，正如图5-17所示，所示，F*F（R）.由图由图5-17可以看出，像集可以看出，像集F（R）中与理想点）中与理想点F*最近最近的点似乎是可取的，即求如下问题的解的点似乎是可取的，即求如下问题的解F：v如图如图5-17所示所示.v现在，借助上面的分析求出的原像现在，借助上面的分析求出的原像.考虑规划问考虑规划问题题v这里，（这里，（P）与（）与（P）的不同在于：

26、在（）的不同在于：在（P）中，令中，令f1=f1(x)，f2=f2(x),并且将在（并且将在（P）中变量）中变量F限制在限制在F（R）中求最小，变为在（）中求最小，变为在（P）中变量）中变量x限制在限制在R中求最小中求最小.问题（问题（P）是一个非线性规）是一个非线性规划，它的几何解释如图划，它的几何解释如图5-18所示，有如下定理所示，有如下定理（证明略）（证明略）.v定理定理1 设像空间中的问题（设像空间中的问题（P）的最优解为）的最优解为 ，其中其中v并且并且 R,有有v与与(P)相对应的非线性规划问题为：相对应的非线性规划问题为：v设其最优解为设其最优解为 ，并且，并且 ，则如下结，则

27、如下结论成立：（论成立：（）为（为（P）的最优解；（）的最优解；（）为（为（）的最优解）的最优解.5.4 评价函数方法评价函数方法v在本节中将对多目标规划问题在本节中将对多目标规划问题v给出一些处理的方法给出一些处理的方法.这些方法都是基于某种评这些方法都是基于某种评价意义，把多目标规划问题化为单目标规划问价意义，把多目标规划问题化为单目标规划问题去求解题去求解.这里只给出五种处理方法这里只给出五种处理方法.v（一）线性加权和方法（一）线性加权和方法v事先我们对事先我们对p个目标个目标f1（x），），f2(x),fp(x)的重的重要性，通过邀请一批对这个问题有经验、有专要性，通过邀请一批对这个

28、问题有经验、有专门研究的门研究的老手老手（如专家、教授、技术人员、（如专家、教授、技术人员、干部、工人等）发表意见，最终确定出一组权干部、工人等）发表意见，最终确定出一组权系数系数v并且满足并且满足v令评价函数为：令评价函数为：v求规划问题求规划问题v的最优解的最优解 .可以证明：当可以证明：当10，20,p0时，时，为（为（VP）的有效解，即）的有效解，即v x R*pav（二）平方和加权法（二）平方和加权法v先对每一个目标估计一个尽量好的希望值，例先对每一个目标估计一个尽量好的希望值，例如对于第如对于第i个目标个目标fi(x)给出一个估计值给出一个估计值f0i，它满足，它满足条件：条件：v

29、 v再对再对p个目标个目标f1(x),f2(x),fi(x),fp(x)给出一组给出一组权系数：权系数：v1,2,i,，pv其中其中v令评价函数为：令评价函数为：v求非线性规划问题求非线性规划问题v的最优解的最优解 .可以证明：可以证明：为（为（VP）的有效解，）的有效解，即即v R*pav平方和加权法体现了通常所说的平方和加权法体现了通常所说的自报公议自报公议的的原则原则.即让那些强调目标即让那些强调目标fi(x)重要者预先给出最重要者预先给出最优值优值 的一个尽可能好的估计的一个尽可能好的估计f0i,然后，然后，通过通过公议公议（例如请（例如请老手老手评议）给出一组表明评议）给出一组表明各

30、目标重要性的权系数各目标重要性的权系数1,2,p.v（三）理想点法（三）理想点法v先求先求p个单目标规划的最优值，记个单目标规划的最优值，记v这样，我们得到了一个点这样，我们得到了一个点v它是各目标的理想值的点，称为理想点（因为它是各目标的理想值的点，称为理想点（因为多目标规划的绝对最优解往往是不存在的，可多目标规划的绝对最优解往往是不存在的，可见，见，F*只不过是理想值而已）只不过是理想值而已）.令评价函数为：令评价函数为：v其中其中v而而为欧氏模（距离），即为欧氏模（距离），即v求非线性规划问题求非线性规划问题v的最优解的最优解 .可以证明：可以证明：为（为（VP）的有效解，）的有效解，即

31、即 x R*pav（四）（四）“min-max”法（法（“最小最小-最大最大”法）法）v在对策论的研究中，选取最优策略的一种思想在对策论的研究中，选取最优策略的一种思想是在最不利的情况下选取最有利的是在最不利的情况下选取最有利的策略策略，即，即所谓所谓最小最小-最大最大的原则的原则.借用这一思想，我们可借用这一思想，我们可得到评价函数得到评价函数v再求规划问题再求规划问题v的最优解的最优解 .v这里，这里，是变量是变量x的函数，当的函数，当n=1时如时如图图5-19所示所示.v对于问题（对于问题（P），可以用增加一个变量），可以用增加一个变量xn+1和和p个约束条件的方法，将它化为一个等价的通

32、常个约束条件的方法，将它化为一个等价的通常形式的数学规划：形式的数学规划：v问题（问题（P）和（）和（P）之间的关系是：若）之间的关系是：若 v及及 为（为（P）的最优解，则）的最优解，则 为（为（P）的最）的最优解；反之，若优解；反之，若 x 为（为（P）的最优解，令）的最优解，令v则则 及及 为（为（P）的最）的最优解（证明是初等的）优解（证明是初等的）.v五）乘除法五）乘除法v考虑具有考虑具有p个目标的多目标问题，其中个目标的多目标问题，其中xR,并并且且v v在上述在上述p个目标当中，有一些目标希望越小越好，个目标当中，有一些目标希望越小越好，另一些目标希望越大越好另一些目标希望越大越

33、好.不失一般，设不失一般，设 v v要求越小越好；而目标要求越小越好；而目标v要求越大越好要求越大越好.此时令评价函数为：此时令评价函数为：v再求规划问题再求规划问题v的最优解的最优解v 至此，我们给出了五种评价函数方法至此，我们给出了五种评价函数方法.所谓评价函数方法，所谓评价函数方法，实际上是根据决策者的偏好去确定函数实际上是根据决策者的偏好去确定函数h(F)的形式，然的形式，然后用复合函数的办法，将多目标规划中的目标函数后用复合函数的办法，将多目标规划中的目标函数F（x）=（f1(x),f2(x),fp(x)）T代入代入h(F)中，化为由单一目标中，化为由单一目标函数函数 h(F(x)=

34、h(f1(x),f2(x),fp(x)来评价和求最优来评价和求最优解解 .v 由由5.2我们知道，那些非有效解显然是不可取的（非弱我们知道，那些非有效解显然是不可取的（非弱有效解就更不可取了），因为总可以找到另一个可行解，有效解就更不可取了），因为总可以找到另一个可行解，其每个目标都不会比原来的差，并且至少有一个目标明其每个目标都不会比原来的差，并且至少有一个目标明显更好（对于非弱有效解来说，我们会找到另一个可行显更好（对于非弱有效解来说，我们会找到另一个可行解，其每个目标都要比原来的好）解，其每个目标都要比原来的好）.现在的问题是：用上现在的问题是：用上述一些评价函数得到的规划问题的最优解述

35、一些评价函数得到的规划问题的最优解 ，是否可保，是否可保证是多目标的有效解（或至少保证为弱有效解）证是多目标的有效解（或至少保证为弱有效解）.v下面将指出，当评价函数下面将指出，当评价函数h（F）具有某种）具有某种“单调单调性性”时，可以保证规划问题的最优解时，可以保证规划问题的最优解 为有效解为有效解或弱有效解或弱有效解.为此，先给出两个定义，再由定理为此，先给出两个定义，再由定理2和定理和定理3给出所希望的结果给出所希望的结果.v定义定义5 设设h(F)是定义在是定义在 上的函数，上的函数，若对于任意满足若对于任意满足F1F2的的F1F（R），），F2F（R），均有），均有v则称则称h(F

36、)为单调增函数为单调增函数.v定义定义6 设设h(F)是定义在是定义在 上的函数，上的函数，若对于任意满足若对于任意满足F1F2的的F1F（R），），F2F（R），均有），均有v则称则称h(F)为严格单调增函数为严格单调增函数.v由定义由定义5和定义和定义6可以看出：严格单调增函数也可以看出：严格单调增函数也是单调增函数是单调增函数.有如下定理有如下定理.v定理定理2 若若h(F)是定义在是定义在 上的严格上的严格单调增函数，单调增函数，为规划问题为规划问题v的最优解，则的最优解，则v证：用反证法证明之，若证：用反证法证明之，若 ,则存在则存在 ,有有 .,以及以及vh(F)为严格单调增函数，

37、故有为严格单调增函数，故有v此与此与 为（为（P）的最优解相矛盾）的最优解相矛盾.因此必因此必有有 .得证得证.v定理定理3 若若h(F)是定义在是定义在 上的单调增上的单调增函数，函数，为规划问题为规划问题v的最优解，则的最优解，则 .v证：证明方法与定理证：证明方法与定理2雷同，不另证雷同，不另证.得证得证.v根据定理根据定理2和定理和定理3，可以检验本节给出的一些，可以检验本节给出的一些评价函数方法得到的评价函数方法得到的 是否为有效解或弱有效是否为有效解或弱有效解，也就是只需验证相应的评价函数是否为严解，也就是只需验证相应的评价函数是否为严格单调增函数或单调增函数格单调增函数或单调增函

38、数.本节给出的一些评本节给出的一些评价函数的严格单调增函数性质或单调增函数性价函数的严格单调增函数性质或单调增函数性质都可以用初等方法证明质都可以用初等方法证明.我们不一一给出验证，我们不一一给出验证，只给出相应的结论只给出相应的结论.v（一）线性加权和方法（一）线性加权和方法v评价函数为：评价函数为：v（1）当）当=(1,2,p)T0时，时，h(F)为严格单调为严格单调增函数，故增函数，故 R*pa.v（2）当）当=(1,2,p)T0，且，且0时，时，h(F)为为单调增函数，故单调增函数，故 R*wp.v(二二)平方和加权法平方和加权法v评价函数为评价函数为:v（1）当）当=(1,2,p)T

39、0时，时，h(F)为严格单调为严格单调增函数，故增函数，故 R*pa.v（2）当）当=(1,2,p)T0，且，且0时，时，h(F)为为单调增函数，故单调增函数，故 R*wp.v(三三)理想点法理想点法v评价函数评价函数v为严格单调增函数，故为严格单调增函数，故 R*pa.v(四四)“min-max”法（法（“最小最小-最大最大”法）法）v当评价函数为当评价函数为(这里这里 )v此时此时h(F)都为单调增函数，故都为单调增函数，故 R*wp.v（五）乘除法（五）乘除法v评价函数为：评价函数为：v此时可证此时可证v为（为（f1,f2,fs）及（）及（fs+1,fp）的严格增）的严格增-减函减函数，

40、即若数，即若v则有则有v可以类似于定理可以类似于定理2的证明，知规划问题的证明，知规划问题v的最优解的最优解 为下面多目标问题的有效解为下面多目标问题的有效解(即即 R*pa)v 在结束本节的讨论之前在结束本节的讨论之前,我们以两个目标的情况为例我们以两个目标的情况为例(p=2的情况的情况),简单地介绍一下如何在评价函数中有目的地调简单地介绍一下如何在评价函数中有目的地调节参数节参数,以求得更加令人满意的解以求得更加令人满意的解.这种通过调节参数、这种通过调节参数、重复计算求解的过程，有人称其为重复计算求解的过程，有人称其为对话式对话式方法（或方法（或交交互型互型方法）方法）.然而，我们在这里

41、给出的方法只不过是最然而，我们在这里给出的方法只不过是最简单的简单的对话式对话式方法而已方法而已.在处理多目标的过程中，可认在处理多目标的过程中，可认为有为有分析者分析者和和决策者决策者.分析者分析者的任务是向的任务是向决策者决策者提供有效解（非有效解显然是不可取的）；提供有效解（非有效解显然是不可取的）；决策者决策者的的任务是向任务是向分析者分析者提出对方案的偏好信息，以便使提出对方案的偏好信息，以便使分析分析者者提供令提供令决策者决策者更满意的有效解更满意的有效解.当然，最终决定采当然，最终决定采用哪个方案，要由用哪个方案，要由决策者决策者来决定来决定.他们之间的关系由图他们之间的关系由图

42、5-20给出给出.v考虑两个目标的规划问题（考虑两个目标的规划问题（p=2）v线性加权和法先给定一组权线性加权和法先给定一组权v求解规划问题求解规划问题v设其最优解为设其最优解为x1，相应的目标函数值为：，相应的目标函数值为：f1(x1)f2(x1)v如果如果“决策者决策者”认为第一个目标函数值认为第一个目标函数值f1(x1)还不还不够理想，即希望求一新的解，其相应的够理想，即希望求一新的解，其相应的f1(x)的值的值要比要比f1(x1)好，那么好，那么“分析者分析者”可以增大对应于目可以增大对应于目标标f1(x)的权系数，令的权系数，令v相应的有相应的有v其中其中v再求规划问题（此工作也由再

43、求规划问题（此工作也由分析者分析者借用计算借用计算机完成）机完成）v的最优解，设其为的最优解，设其为x2.可以证明可以证明v这个性质说明，当我们增大对应于目标这个性质说明，当我们增大对应于目标f1(x)的权的权系数时，可能会改进系数时，可能会改进f1(x)的值，但是，对另一个的值，但是，对另一个目标目标f2(x)来说则需要做些让步来说则需要做些让步.如果如果决策者决策者对对解解x2还不满（或认为还不满（或认为f1(x2)偏大，或认为偏大，或认为f2(x2)过过小小)，则可用类似的原则改变相应的权系数，而，则可用类似的原则改变相应的权系数，而后重新求解后重新求解.5.5福利最大化与多目标规划福利

44、最大化与多目标规划v 西方经济学可以分为实证经济学（西方经济学可以分为实证经济学（positive economics）和规范经济学（和规范经济学（normative economics）.n实证经济学回答实证经济学回答“是什么是什么”的问题；规范经济学回答的问题；规范经济学回答应当是什么应当是什么的问题的问题.可见，规范经济学的研究将涉及可见，规范经济学的研究将涉及道德规范道德规范和和价值判断价值判断.n福利经济学是经济学的一个重要分支，它是研究整个经济的资源福利经济学是经济学的一个重要分支，它是研究整个经济的资源配置与社会成员福利的关系，于是不可避免地要涉及配置与社会成员福利的关系，于是不

45、可避免地要涉及应当是什应当是什么么，即，即价值判断价值判断.v 假设有假设有p个社会成员，我们称为个社会成员，我们称为社会经济人社会经济人，每个，每个社社会经济人会经济人都有一个表明其偏好程度的效用函数（其数值都有一个表明其偏好程度的效用函数（其数值越大，表示满意程度越高），设为越大，表示满意程度越高），设为u1(x),u2(x),up(x)v其中，其中，x=(x1,x2,xn)TR，R为为“政策集政策集”，xR称为一种称为一种“政策政策”，例如工资分配政策、税，例如工资分配政策、税收政策等；收政策等；R表示对政策的一种表示对政策的一种“规定规定”.于是可于是可以用如下的多目标规划问题描述（由

46、于效用值以用如下的多目标规划问题描述（由于效用值越大，满意程度越高，故相应的多目标问题与越大，满意程度越高，故相应的多目标问题与前几节不同之处是取最大，即前几节不同之处是取最大，即V-max）v设设 R，若存在，若存在xR，有，有v 称对称对“政策政策”存在存在Pareto改进改进.存在存在Pareto改进，是说改进，是说存在另一种政策存在另一种政策x，它可以使，它可以使p个个“社会经济人社会经济人”中的部分中的部分人境况好转，而又不损害其他人的利益人境况好转，而又不损害其他人的利益.显然，存在显然，存在Pareto改进是何乐而不为的事改进是何乐而不为的事.现在，若不存在现在，若不存在xR,使

47、使得得v 在经济学中，称在经济学中，称 为为Pareto最优，即多目标问题中的最优，即多目标问题中的Pareto解解.可见，可见，Pareto最优是不会存在最优是不会存在Pareto改进的改进的一种状态一种状态.v 设设 R，若存在，若存在xR，使得，使得v称称政策政策 存在弱存在弱Pareto改进改进.这就是说存在另这就是说存在另一种政策一种政策x，它可以使所有的，它可以使所有的社会经济人社会经济人的境的境况都要好，这是皆大欢喜的事况都要好，这是皆大欢喜的事.现在，若不存现在，若不存xR，使得，使得v在经济学中，称在经济学中，称 为弱为弱Pareto最优，即多目标最优，即多目标问题中的弱问题

48、中的弱Pareto解，可见，弱解，可见，弱Pareto最优是最优是不会存在弱不会存在弱Pareto改进的一种状态改进的一种状态.v当当xR，并且记，并且记v在福利经济学中，称集合在福利经济学中，称集合v为福利空间中的为福利空间中的效用可能性集合效用可能性集合（即多目标（即多目标问题中的像集）问题中的像集）.可以证明：当可以证明：当R为凸集，为凸集，Uj（x）（j=1，p）为凹函数时，集合）为凹函数时，集合v 为凸集为凸集.v 例例10 企业最优工资比例分配问题某企业的工资分配针企业最优工资比例分配问题某企业的工资分配针对两种人群：一般员工和管理层员工，工资的分配比例对两种人群：一般员工和管理层

49、员工，工资的分配比例分别为分别为x1和和x2，其效用函数分别为：，其效用函数分别为：v 效用函数效用函数u1(x1)，u2（x2）表示）表示董事会董事会对两类人员获得对两类人员获得工资比例分别为工资比例分别为x1和和x2时的认可程度的一种描述，时的认可程度的一种描述，u1(x1)=x1，表明，表明董事会董事会认为对一般员工来说，所占份认为对一般员工来说，所占份额（工资比例）越大越好；额（工资比例）越大越好；u2(x2)=x2(1-x2)，表明，表明董事董事会会认为对管理层员工来说，按有关规定，所占份额太认为对管理层员工来说，按有关规定，所占份额太大或太小都不好大或太小都不好.见图见图5-21和

50、图和图5-22.v“政策集政策集”为：为：v如果写为多目标问题为：如果写为多目标问题为：v以下求效用可能性集合以下求效用可能性集合.由由x2=1-x1v得得u2=x2(1-x2)=(1-x1)x1=(1-u1)(u1)v故（见图故（见图5-23和图和图5-24）v 福利经济学家关心的另一个问题是研究如何由福利经济学家关心的另一个问题是研究如何由“社会经社会经济人济人”的效用函数的效用函数Ui（x）（）（i=1,p）得出）得出“社会福利函社会福利函数数”，进而研究福利最大化问题，进而研究福利最大化问题.社会福利函数是各个社社会福利函数是各个社会经济人的效用函数的函数，即会经济人的效用函数的函数，