高数6-多元函数积分学(1) 课件.ppt

1、专题2高等数学知识点解读第六章第六章 多元函数积分学多元函数积分学1 1.引引例例:曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 曲顶柱体曲顶柱体：若立体的底为：若立体的底为xOy平面上的有界闭区平面上的有界闭区域域 D,其侧面为以其侧面为以 D的边界线为准线，而母线平行的边界线为准线，而母线平行 z轴的柱面，其顶是二元函数轴的柱面，其顶是二元函数),(yxfz 所表示的曲面所表示的曲面.这样的几何体称为曲顶柱体这样的几何体称为曲顶柱体.第一节 二重积分的概念与计算一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质第第一一步步：将将区区域域 D无无限限细细分分，在在微微小小区区域域 d上上取取一一点点),(yx

2、,用用以以),(yxf为为高高，d为为底底的的平平顶顶柱柱体体体体积积),(yxfd近近似似代代替替d上上的的小小曲曲顶顶柱柱体体体体积积，即即得得体体积积微微元元 d),(dyxfV.第二步第二步:将体积微元将体积微元d),(dyxfV在区域在区域D上无限累加上无限累加(这一步记为这一步记为“D”),),则得所求曲顶柱体体积为则得所求曲顶柱体体积为 DyxfVd),(.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设),(yxf0,求求曲曲顶顶柱柱体体(如如下下图图)的的体体积积.x z O y),(y x f z D d 2 2二重积分的概念二重积分的概念设设),(yxfz 为定义在有界闭区域为定义在有

3、界闭区域D上的连续函上的连续函数，则上述两步后所得的表达式数，则上述两步后所得的表达式Dyxfd),(,即为函数即为函数),(yxf在区域在区域D上的二重积分上的二重积分.其中其中),(yxf称为被积函称为被积函数数,D为积分区域为积分区域,d),(yxf称为被积式称为被积式,d为面积为面积元素，元素，x与与 y称为积分变量称为积分变量.二重积分的几何意义：当二重积分的几何意义：当),(yxf 0时二重积分代表时二重积分代表曲顶柱体的体积；特别地曲顶柱体的体积；特别地,当当),(yxf=1=1 时时,Dd表示区域表示区域D的面积的面积.3 3二重积分的性质二重积分的性质性质性质 1 1 常数因

4、子可提到积分号外面，即常数因子可提到积分号外面，即d),(d),(DDyxfkyxkf.性质性质 2 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与函数和与差的积分等于各函数积分的和与差差,即即 d),(),(Dyxgyxf=Dyxfd),(Dyxgd),(.性质性质 3 3 若积分区域若积分区域 D分割为分割为 1D与与 2D两部分两部分,则有则有 d),(Dyxf=d),(1Dyxf d),(2Dyxf.设设D可表示为不等式可表示为不等式(如下页图如下页图(a)(a)(1xyy)(2xy,a x b.二、在直角坐标系中计算二重积分二、在直角坐标系中计算二重积分下下面面我我们们用用定定积积分分的的

5、“切切片片法法”来来求求这这个个曲曲顶顶柱柱体体体体积积.y x O x a b)(2 x y y )(1 x y y D O y x x a)(2 x y y )(1 x y y b z),(y x f z (a a)(b b)一一般般地地,过过 a,b 上上任任意意一一点点 x,且且垂垂直直于于 x 轴轴的的平平面面与与柱柱体体相相交交得得到到的的截截面面面面积积为为 )(xS=21()()(,)dyxyxf x yy.见见上上页页图图(b b),由由定定积积分分的的“平平行行截截面面面面积积为为已已知知,求求立立体体体体积积”的的方方法法可可知知,所所求求曲曲顶顶柱柱体体体体积积为为 a

6、bxxSVd)(xyyxfabxyxyd d),()()(21，所所以以 Dyxyxfdd),(xyyxfabxyxyd d),()()(21.上式也可简记为上式也可简记为Dyxyxfdd),(abxyxyyyxfx)()(21d),(d 公式就是二重积分化为定积分的计算方法，该公式就是二重积分化为定积分的计算方法，该方法也称为累次积分法方法也称为累次积分法.计算第一次积分时计算第一次积分时,视视 x为为常量，对变量常量，对变量 y由下限由下限)(1xy积到上限积到上限)(2xy,这时计算这时计算结果是一个关于结果是一个关于 x的函数，计算第二次积分时的函数，计算第二次积分时,x是积是积分变量

7、，积分限是常数分变量，积分限是常数,计算结果是一个定值计算结果是一个定值.完完全全类类似似地地可可得得 Dyxyxfdd),(21()()d(,)ddxycxyyf x yxO y x)(2 y x x x)(1 y x c d D（2 2）用公式或时）用公式或时,要求要求 D分分别满足别满足:平行于平行于 y轴或轴或 x轴的直线轴的直线与与 D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点.如果如果D不满足这个条件，则需把不满足这个条件，则需把 D分割分割成几块成几块(见右图见右图),),然后分块计算然后分块计算;O y x D (3)(3)一个重积分常常是既可以先对一个重积分常常是既可以先对 y

8、积分积分(公式公式),),又可以先对又可以先对 x积分积分(公式公式),),而这两种不同的积分次序，而这两种不同的积分次序，往往导致计算的繁简程度差别很大往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地那么，该如何恰当地选择积分次序呢选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明我们结合下述各例加以说明.化二重积分为累次积分时化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：需注意以下几点：（1 1）累次积分的下限必须小于上限）累次积分的下限必须小于上限;例例 1 1 计计算算Dyxxydd,其其中中 D:22yx 1 x 0，y 0.解解 作作D的图形的图形(见下图见下图).).先对先对 y积分积分(固定

9、固定 x),),y的变化范围由的变化范围由 0到到 21x,然后再在然后再在 x的的最大变化范围最大变化范围0,10,1内对内对 x积分，于是得到积分，于是得到 O y x D 1 1 x Dyxxydd211120001dd()2xxxy yxy2411200111(1)d().22248xxxxx本本题题若若先先对对x积积分分，解解法法类类似似.例例 2 2 计计算算Dyxxydd22,其其中中D由由抛抛物物线线xy 2及及直直线线 2 xy所所围围成成.解解 画画D的图形的图形(见下图见下图).).选择先对选择先对 x积分积分,这这时时 D的表示式为的表示式为 2122yyxy,从而从而

10、Dyxxydd22=21222d2dyyxxyy yyyyyyxyyyd)44(d|)(216234221222 =356157345127345yyyy.O y x D 2 y x 2 y x 1 2)1,1(A)2,4(B 例例 2 2 求椭圆抛物面求椭圆抛物面4422yxz与平面与平面 0z所所围成的立体体积围成的立体体积.解解 画出所围立体的示意图画出所围立体的示意图(见图见图 a),a),考虑到图形的考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可对称性，只需计算第一卦限部分即可,其中其中 D如图如图(b)(b)所所示示.故故yxyxVDdd44422=yyxxxd44d42041602

11、22 =xyyxyxd12144241602032=16d)4(31620232xx.O y x 2 4 2 4 16 x y D (a)(a)z O y x 2 4 4 4 2 2 y x z (b)(b)1.1.极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素设函数的积分区域为设函数的积分区域为 D，用，用 r取一系列常数取一系列常数(得到一族中心在极点的同心圆得到一族中心在极点的同心圆)和和 取一系列常取一系列常数数(得到一族过极点的射线得到一族过极点的射线)的两组曲线，将的两组曲线，将 D分成分成许多小区域许多小区域(见下图见下图),),于是得到了极坐标系下的面于是得到了极坐标系下的面积元素为

12、积元素为 dddrr.再分别用再分别用sin,cosyrx代换被代换被积函数积函数),(yxf中的中的,yx这样二重积分在这样二重积分在极坐标系下表达形式为极坐标系下表达形式为 Dyxfd),(Drrrrfdd)sin,cos(.O x d d r r d d 三、在极坐标系中计算二重积分三、在极坐标系中计算二重积分O x )(1 r r )(2 r r (a)(a)2.2.极坐标系下化二重积分为累次积分极坐标系下化二重积分为累次积分 设设D(图图 a a)位于两条射线位于两条射线和和之间，之间，D的的两段边界线极坐标方程为两段边界线极坐标方程为 )(),(21rrrr 则二重积分就可化为如下

13、的累次积分则二重积分就可化为如下的累次积分 Dyxfd),()()(21d)sin,cos(rrrrrrfd.如果极点如果极点O在在D内部内部(图图 b),b),则有则有 Dyxfd),()(020d)sin,cos(drrrrrf.O x )(r r (b)(b)例例 5 5 将将二二重重积积分分Dyxfd),(化化为为极极坐坐标标系系下下的的累累次次积积分分，其其中中D:22yx yRx,2 0.解解 画出画出D的图形的图形(见下图见下图),),D可表示为可表示为 02,0 rcos2R,y x O D cos 2 R r R 2 于于是是得得到到 Dyxfd),(cos2020d)sin

14、,cos(dRrrrrf.例例 6 6 计计算算Dyxyxdde)(22,D:22yx 2a.解解 选用极坐标系计算，选用极坐标系计算，D表示为表示为:0ra,0 2,故有故有 Dyxyxdde)(22=Darrrrrr200deddde22 =)e1(de21-22a020ar.例例 7 7 计算计算Dyxxdd2,其中其中D是两圆是两圆122 yx和和422 yx之间的环形区域之间的环形区域.解解 作作D的图形的图形(见下图见下图),),选用极坐标，它可表示选用极坐标，它可表示为为 1r2,02 于是于是 Dyxxdd2213202221220ddcosdcosdrrrrr =202134

15、15dd22cos1rr.2 y x 1 O 例例 8 8 求由锥面求由锥面224yxz与旋转抛物面与旋转抛物面222yxz所围立体的体积所围立体的体积(见下图见下图).).解解 选用极坐标计算选用极坐标计算.yxyxyxVDdd)(21)4(2222 =Drrrrdd242,求立体在求立体在xOy面上的投影区域面上的投影区域 D.由由 ,242222yxzyxz 消去消去 yx,得得22(4)210160zzzz即 亦即亦即 0)8)(2(zz 得得 8,2zz(舍去舍去)因此，因此，D由由2422ryx即围成围成.x y O D 4 z 故故得得 200243232203208322d24

16、drrrrrrrV.说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的说明：二重积分在两种坐标系中的计算选取适当的坐标系对计算二重积分是至关重要的坐标系对计算二重积分是至关重要的.一般说来，当积分一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有区域为圆形、扇形、环行区域，而被积函数中含有22yx 的项时的项时,采用极坐标计算往往比较简便采用极坐标计算往往比较简便.例例 1 1 设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为设一薄板的占有区域为中心在原点，半径为 R的圆域，面密度为的圆域，面密度为22yx，求薄板的质量，求薄板的质量.解解 应应用用微微元元法法，在在圆圆域域 D上上任任取取一一个个

17、微微小小区区域域d，视视面面密密度度不不变变，则则得得质质量量微微元元 ,d)(d),(d22yxyxm将将上上述述微微元元在在区区域域 D上上积积分分，即即得得 DyxmD,d)(22：22yx 2R,用极坐标计算，有用极坐标计算，有 4200221ddRrrrmR.一般地，面密度为一般地，面密度为),(yxu的平面薄板的平面薄板 D的质量是的质量是Dyxmd),(.第二节 二重积分应用举例一、平面薄板的质量一、平面薄板的质量设有薄板，占有区域设有薄板，占有区域 D，在点，在点),(yx的密度为的密度为),(yx，求薄板重心的坐标求薄板重心的坐标.在区域在区域D上任期一微小区域上任期一微小区

18、域 d，d),(dyxm，设，设想这部分质量集中在想这部分质量集中在 点点),(yx处，于是得薄板对坐标轴的处，于是得薄板对坐标轴的静力矩微元（见右图）为静力矩微元（见右图）为 d),(dyxxmy d),(dyxymx,O y x d y x 将上述微元在将上述微元在D上积分，得上积分，得 d),(Dyyxxm,Dxyxymd),(,二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心于是，薄板重心坐标为于是，薄板重心坐标为 DDyxyxxxd),(d),(,DDyxyxyyd),(d),(.若若薄薄板板是是均均匀匀的的，是是常常数数，则则重重心心坐坐标标为为 DxAxd1,DxAyd1 其其中中A为为区区

19、域域D的的面面积积.例例 2 2 设设半半径径为为 1 1 的的半半圆圆形形薄薄板板上上各各点点处处的的面面密密度度等等于于该该点点到到圆圆心心的的距距离离，求求此此半半圆圆的的重重心心.Dyxmd223dd100rrr Dxyxymd22rrrrd)(sind100 21ddsin0103rr,故得故得 23mmyx,重心坐标为重心坐标为23,0.D 1 1 x y O 例例 3 3 求求内内半半径径为为 1R，外外半半径径为为 2R，密密度度均均匀匀的的圆圆环环形形薄薄板板关关于于圆圆心心的的转转动动惯惯量量.解解 建坐标系建坐标系(见下图见下图).).先求转动惯量微元先求转动惯量微元 d

20、)(d220yxI(为密度为密度)将微元在圆环域内积分，将微元在圆环域内积分，则得则得 DyxId)(220 用极坐标计算用极坐标计算,D表示为表示为 1Rr2R,02,于是于是 ).(21dd4142202021RRrrrIRR D x y 1 R O 2 R 三、平面薄板的转动惯量三、平面薄板的转动惯量第三节第三节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算引引例例 设设有有一一质质量量非非均均匀匀分分布布的的物物体体，占占有有空空间间 区区 域域,在在的的 每每 一一 点点),(zyx处处 的的 体体 密密 度度 为为),(zyx,求求该该物物体体质质量量.设设),(zyxf是定义在空间有

21、界闭区域是定义在空间有界闭区域 上的连续函上的连续函数，则经上述“取微元”及“无限累加”两步数，则经上述“取微元”及“无限累加”两步,所得的表所得的表达式达式Vzyxfd),(称为函数称为函数),(zyxf在区域在区域 上的三上的三重积分，其中重积分，其中),(zyxf称为被积函数，称为被积函数，称为积分区域，称为积分区域，Vd称为体积元素称为体积元素.利用三重积分，可以得到利用三重积分，可以得到空间区域空间区域 的体积为的体积为 VVd.二、在直角坐标系中计算三重积分二、在直角坐标系中计算三重积分 若对区域若对区域用平行于三个坐标面的平面去分割，则用平行于三个坐标面的平面去分割，则 Vd为小

22、长方体为小长方体,于是体积元素于是体积元素zyxVdddd，从而，从而 Vzyxfd),(Dzyxzyxfddd),(.一、三重积分的概念一、三重积分的概念 2.2.三重积分的计算三重积分的计算设设由上、下两个曲面由上、下两个曲面),(2yxzz 和和),(1yxzz 所围成所围成（1z2z），又），又在在 xOy 坐标面上的投影区域为坐标面上的投影区域为 D(见见下下图图),),则计算公式为则计算公式为 在作第一个积分时在作第一个积分时,视视yx,为常为常数，将数，将),(zyxf对对z z积分（由积分（由),(1zyxz积到积到),(2zyxz）,积分积分的结果是的结果是(yx,)的一个函

23、数，然的一个函数，然后再将这个函数在后再将这个函数在 D上作二重上作二重积分计算积分计算.D x O)(2 x y y )(1 x y y 2 z 1 z a b y z 如如 D 可表示为可表示为:)(1xybxaxyy),(2(见上图见上图),),则三重积分就化为了三个定积分的累次积分则三重积分就化为了三个定积分的累次积分 zyxzyxfddd),(21(,)(,)D(,)d d d.z x yz x yf x y zz x y ),(),()()(2121d),(ddddd),(yxzyxzxyxybazzyxfyxzyxzyxf.例例 1 1 计算三重积分计算三重积分zyxxIddd,

24、其中其中 为三坐为三坐标平面及平面标平面及平面12zyx所围成的区域所围成的区域(见下图见下图).).解解 在面在面 xOy 上投影区域上投影区域 D 为为OAB,其 中 直 线其 中 直 线AB是 平 面是 平 面12zyx与平面与平面0z的交线的交线,其在其在xOy面上的方程为面上的方程为12yx.先对先对 z积分积分,z的变化范围从的变化范围从 0 0 到到yx221;再对再对 y 积分积分,y由由 0 0 变到变到)1(21x；最后；最后对对 x 积分积分,x 由由 0 0 变到变到 1 1，于是，于是 O x y z 1 1 A C B 2 1 yxDzxyxI210ddd11(1)

25、122000dddxxyxyx z )1(21010d)21(dxyyxxx=1032481d)2(41xxxx.例例 2 2 一个物体由旋转抛物面一个物体由旋转抛物面22yxz及平面及平面 1z所围成（见右图）所围成（见右图）,已已知其任一点处的密度知其任一点处的密度 与到与到z z轴距离成正比，求其质量轴距离成正比，求其质量 m.解解 据题意据题意,密度密度22yxk，于是物体，于是物体的质量为的质量为 zyxyxkmddd22其中其中为为由曲面由曲面22yxz及平面及平面1z所围成的区域所围成的区域.在在 坐坐 标标 面面 xOy 上上 的的 投投 影影 区区 域域 D 为为圆圆22yx

26、 1,过过 D 内内 的的 任任 意意 点点 M 引引 平平行行 与与z z轴轴 的的 直直 线线，其其 与与表表 面面 相相 交交 两两 点点的的 竖竖 坐坐 标标z z分分 别别 是是22yxz与与1z,于于是是 x y z 1 O),(y x M zyxyxkmddd22zyxyxkyxDddd12222 =yxyxyxkDdd)(1 2222 =rrrkd)1(d102220=154k.三、在柱面坐标系中计算三重积分三、在柱面坐标系中计算三重积分 x y z O M x y z r),(z y x P),(z r O z r r z r z z z x y(a)(b)(a)(b)再将坐

27、标变换关系式代入被积函数再将坐标变换关系式代入被积函数),(zyxf中，便中，便得到三重积分在柱面坐标系中的表达式得到三重积分在柱面坐标系中的表达式 zrrzrrfVzyxfddd),sin,cos(d),(在计算时在计算时,再进一步将式化为累次积分再进一步将式化为累次积分.例例 3 3 计算三重积分计算三重积分Vyxd)(22，其中，其中 是是以以 z 轴为对称轴轴为对称轴,a为半径的圆柱体位于为半径的圆柱体位于 0zh 间的间的部分部分(h0)0)(见下图见下图).).解解 采用柱面坐标，则所给的积采用柱面坐标，则所给的积分区域分区域可用不等式组可用不等式组 0ra,0 2,0zh 表示，

28、因此表示，因此 zrrrVyxdddd)(222 =ahhazrr00432021ddd.x y z h O a 四、在球面坐标系中计算三重积分四、在球面坐标系中计算三重积分 为为了了应应用用球球面面坐坐标标来来计计算算),(zyxf在在上上的的三三重重积积分分，我我们们来来考考虑虑积积分分区区域域被被球球面面坐坐标标的的三三族族坐坐标标面面分分割割后后的的小小区区域域V的的体体积积,由由见见上上图图(b b)可可看看出出V可可以以近近似似地地看看作作为为以以,sin为为棱棱长长的的小小长长方方体体,因因此此 .sin2V M y x x y z z),(z y x P),(a a)x y s

29、in z (b b)再将再将坐标坐标变换变换关系式关系式代入被积函数代入被积函数),(zyxf中，便中，便得到三重积分在球面坐标系中的表达式得到三重积分在球面坐标系中的表达式 Vzyxfd),(dddsin)cos,sinsin,cossin(2f 在在计计算算时时,再再进进一一步步将将式式化化为为累累次次积积分分.例例 4 4 将三重积分将三重积分Vzyxfd),(化为球面坐标系中化为球面坐标系中的累次积分，其中的累次积分，其中是是222zyxRz2（见下图）（见下图）.解解 采用球面坐标，将采用球面坐标，将坐标坐标变换式变换式代入，则区域代入，则区域 边界的球面方程为边界的球面方程为 co

30、s2R Vzyxfd),(dddsin)cos,sinsin,cossin(2f .d)cos,sinsin,cossin(dsindcos2022020Rf 于是，于是，可用不等式组可用不等式组 0cos2R0,2,0 2 给出，给出，故故 z x y O cos 2 R 上的连续函上的连续函 是定义在是定义在()f P 设某物体的密度函数设某物体的密度函数 数当数当 是直线段时是直线段时,应用定积分就能计算得该物体应用定积分就能计算得该物体 的质量的质量.现在研究当现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题段时物体的质量的计算问题.

31、(1,2,).ini.iP(2)近似求和近似求和：在：在每一个每一个 上任取一点上任取一点 由于由于 n(1)分割分割：把：把 分成分成 个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 i 第四节第四节 曲线积分曲线积分一一 第一类（对弧长的）曲线积分第一类（对弧长的）曲线积分1.1.第一类曲线积分的定义第一类曲线积分的定义()f P 为为i 上的连续函数上的连续函数,故当故当 的弧长都很小时的弧长都很小时,i(),iif P 每一小段每一小段 的质量可近似地等于的质量可近似地等于 其中其中 i i 为小曲线段为小曲线段 的长度的长度.于是在整个于是在整个 上的质量就近似地等于和式上的质量就近似地等

32、于和式 1().niiif P 1max0ii nd(3)当对当对的分割越来越细密的分割越来越细密(即即 )时时,上述上述和式的极限和式的极限就应是该物体的质量就应是该物体的质量.由上面看到由上面看到,求物质曲线段的质量求物质曲线段的质量,与求直线段的质与求直线段的质 量一样量一样,也是通过也是通过“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”来得来得到的到的.下面给出这类积分的定义下面给出这类积分的定义.(1,2,),iiL inL个可求长度的小曲线段个可求长度的小曲线段 的弧的弧长长n,它把它把 LLTL定义在定义在 上的函数上的函数.对曲线对曲线 做分割做分割 分成分成,isT1|ma

33、x,ii nTs iL记为记为 分割分割 的细度为的细度为 在在 上任上任取取 一点一点(,)(1,2,).iiin 若有极限若有极限|01lim(,),niiiTifsJ 为平面上可求长度的曲线段为平面上可求长度的曲线段,L(,)f x y定义定义1 设设 为为J(,)iiT 与与点点且且 的值与分割的值与分割 的取法无关的取法无关,则称此则称此 极极限为限为(,)f x yL在在上的上的第一类曲线积分第一类曲线积分,记作记作(,)d.Lf x ys为空间可求长曲线段为空间可求长曲线段,L(,)f x y zL若若 为定义在为定义在 上上 (,)f x y zL的函数的函数,则可类似地定义则

34、可类似地定义 在空间曲线在空间曲线 上上 的第一类曲线积分的第一类曲线积分,并且记作并且记作 (,)d.Lf x y zs于是前面讲到的质量分布在曲线段于是前面讲到的质量分布在曲线段 L上的物体的质上的物体的质 量可由第一类曲线积分量可由第一类曲线积分(1)或或(2)求得求得.(,)d(1,2,)iLfx ys ik(1,2,)ic ik1.若若,为为 常数常数,则则1(,)dkiiLic f x ys也存在也存在,且且11(,)d(,)d.kkiiiiLLiic f x yscf x ysL12,kL LL2.若曲线段若曲线段 由曲线由曲线 首尾相接而首尾相接而成成,(,)d(1,2,)iL

35、f x ys ik(,)dLf x ys都存在都存在,则则 也存在也存在,且且1(,)d(,)d.ikLLif x ysf x ys3(,)d(,)dLLf x ysg x ys若若与与 都存在都存在,且在且在 L上上则则(,)(,),f x yg x y(,)d(,)d.LLf x ysg x ys4(,)d(,)dLLf x ysf x ys若若存存在在,则则|也存在也存在,|(,)d|(,)|d.LLf x ysf x ys且且 (,)dLf x ys若若L,s5存在存在,的弧长为的弧长为则存在常数则存在常数(,)d,Lf x yscs,c使得使得inf(,)sup(,).LLf x y

36、cf x y这这里里6.第一类曲线积分的第一类曲线积分的几何意义几何意义 为为LLOxy(,)f x y若若 为坐标平面为坐标平面 上的分段光滑曲线上的分段光滑曲线,上定义的连续非负函数上定义的连续非负函数.由第一类曲线的定义由第一类曲线的定义,易见易见 Lz以以 为准线为准线,母线平行于母线平行于 轴的柱面上截取轴的柱面上截取 0(,)zf x y (,)d.Lf x ys的部分的面积就是的部分的面积就是 yxzOL(,)zf x y 定理定理1 设有光滑曲线设有光滑曲线 (),:,(),xtLtyt (,)f x yL 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数,则则 22(,)d(),(

37、)()()d.(3)Lf x ysfttttt L1iitttt到到证证 由弧长公式知道由弧长公式知道,上由上由 的弧长的弧长 122()()d.iititsttt22()()tt由由的连续性与积分中值定理的连续性与积分中值定理,有有 2 2 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算221()()().iiiiiiisttt 1(,)niiiifs 221(),()()(),niiiiiift 22221(),()()()()(),niiiiiiiift 所以所以 1,.iiiitt 设设这里这里 则有则有 1(,)niiiifs 221(),()()().(4)niiiiiift 令令12m

38、ax,0,nttttT则则当当时时 必必有有 t0 0.0lim0.t 现在证明现在证明 因为复合函数因为复合函数 (),()fttt 关关于于连续连续,所以在闭区所以在闭区 ,M,t 间间 上有界上有界,即存在常数即存在常数 使对一切使对一切 都有都有|(),()|.fttM 22()(),tt 在在再由再由 上连续上连续,所以它在所以它在 ,0,0,必必存存在在上一致连续上一致连续,即对任给的即对任给的 使当使当 时时,t 2222()()()(),iiii 从而从而 1|(),niiMtM ba 所以所以 0lim0.t 2201lim(),()()()niiiiitift 22(),(

39、)()()d.bafttttt因此当在因此当在(4)式两边取极限后式两边取极限后,即得所要证的即得所要证的(3)式式.,a b 上有连续的导函数时上有连续的导函数时,(3)式成为式成为 2(,)d(,()1()d;bLaf x ysf xxxx再由定积分定义再由定积分定义 (),yxxa b L 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示,且且 在在 ()x ,c d上有连续导函数时上有连续导函数时,(3)式成为式成为 2(,)d(),)1()d.dLcf x ysfyyyy例例1 设设 L 是半圆周是半圆周 cos,:0,sin,xatLtyat试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 22()d

40、.Lxys解解 22222230()d(cossin)d.Lxysaattta(),xyyc d 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示,且且 在在 ()y 例例2 24(0,0)(1,2)LyxOA设设是是从从到到一段一段(图图20-2),试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 d.Ly s解解 220d1d4Lyy syy2322022(1)34y4(2 21).3 由参由参 仿照定理仿照定理1,对于空间曲线积分对于空间曲线积分(2),当曲线当曲线 L量方程量方程 (),(),(),xtytzt t 表示时表示时,Oyx124yx 202 图图A (,)dLf x y zs222(),()

41、,()()()()d.(7)fttttttt 其计算公式为其计算公式为:2d,LxsL2222xyza例例3 计算计算 其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截得的圆周所截得的圆周.0 xyz解解 由对称性知由对称性知 222ddd,LLLxsyszs所以所以 22222312d()dd.333LLLaxsxyzssa4433(+)d,LxyxysL*例例4 计算计算 其中其中 为内摆线为内摆线 434433.xya解解 由对称性知由对称性知 dd0,LLx sy s1444333dd4d,LLLxsysxs其中其中 1(,),0.Lx yL x y33cos,sin,0,.2xat yat

42、 t 444333(+)d8dLLxyxysxs47433208cos3 sin cos dt4.atatta 222xya 222yza *例例5 求求圆柱面圆柱面 被圆柱面被圆柱面 所所 而内摆线的参数方程为而内摆线的参数方程为 因此因此 包围部分的面积包围部分的面积 A.解解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分,0.8AA Oxy它的面积为它的面积为 把把 平面上的平面上的 222xya L位于第一象限的四分之一圆周记为位于第一象限的四分之一圆周记为,则被围柱面则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于为

43、准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为积分的几何意义可知它的面积为 220ds.LAax 220zax的那部分柱面的那部分柱面.由第一型曲面由第一型曲面 轴的轴的 L 的参数方程为的参数方程为:cos,sin,0.2xat yatt 222200ds=1-cosdtLAaxata 2220sin dt.ata 因此因此,2088.AAa 定义定义,线密度为线密度为 (,)x y 的的 曲线状物体对于曲线状物体对于 x,y 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 注注 由第一类曲线积分的由第一类曲线积分的 yxzO222xya0A203 图图例例6 求线密度为求线密度为2(,)1yx y

44、x 的曲线段的曲线段 :ln,12L yxx 对于对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量.22d1yLx yIsx 22212ln11d1xxxxx 解解 213ln dln4.4xx x 2(,)dxLIyx ys 2(,)dyLIxx ys 和和在物理中还遇到过另一在物理中还遇到过另一种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题.例如一质点受力例如一质点受力 (,)F x y的作用沿平面曲线的作用沿平面曲线 L 从从点点 A 移动到点移动到点 B,求力求力 (,)F x y所作的功所作的功,见图见图 20-2.202 图图OyxA M0()(,)x yM1M2nM1nB M()FLPQ二、二、第二

45、类（对坐标的）曲线积分第二类（对坐标的）曲线积分 1 1 第二类曲线积分的定义第二类曲线积分的定义1n121,nMMM为此在曲线为此在曲线AB 内插入内插入 个分点个分点0,nAMBM它它们们与与 一起把有向曲线一起把有向曲线 AB 分成分成 n个个有向小曲线段有向小曲线段Mi-1Mi (i=1,2,n),若记小曲线若记小曲线 1|max.ii nTs(,)F x yxy轴轴和和设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为(,)(,),P x yQ x y与与那么那么(,)(,),(,).F x yP x yQ x y,isT的弧长为的弧长为 则分割则分割 的细度为的细度为段段Mi-1M

46、ixy轴轴和和又设小曲线段又设小曲线段Mi-1Mi 在在 轴上的投影分别为轴上的投影分别为 11(,)iixy1iiMM与与 分别为点分别为点 的坐标的坐标.记记 1(,),iiMMiiLxy(,)F x y于是力于是力 在小曲线段在小曲线段Mi-1Mi 上所作的功上所作的功1(,)(,)(,),iiiiiMMiiiiiiWFLPxQy (,)ii 1iiMM其中其中 为小曲线段为小曲线段 上任一点上任一点.因而力因而力(,)F x yAB 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于11,iiiiiixxxyyy与与 其中其中(,)iixy与与111(,)(,).nnniiiiiiii

47、iiWWPxQy 当细度当细度|0T 时时,上式右边和式的极限就应该是上式右边和式的极限就应该是 所求的功所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分的第二型曲线积分.定义定义1 设函数设函数 (,)(,)P x yQ x y与与定义在平面有向可定义在平面有向可 L,TL 求长度曲线求长度曲线 L:AB 上上.对对 的任一分割的任一分割 它把它把 分分 成成n个小曲线段个小曲线段Mi-1Mi (i=1,2,n),0,.nMA MB1iiMM其中其中 记个小曲线段记个小曲线段 的弧长的弧长 ,isT 1|max.ii nTsT为为 分割分割 的

48、细度的细度 又设又设 的分点的分点1,iiixxx1,(1,2,).iiiyyyin 1iiMM(,),ii 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限|0|011lim(,)lim(,)nniiiiiiTTiiPxQy 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点(,)ii 的取法无关的取法无关,则称此极则称此极限限为函数为函数(,),(,)P x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线 L 上的上的第二类第二类iM 的坐标为的坐标为 并记并记(,),iixy曲线积分曲线积分,记为记为 (,)d(,)dLP x yxQ x yy(,)d(,)d(1)ABP x yxQ x yy

49、或或(,)d(,)dLLP x yxQ x yy(,)d(,)dABABP x yxQ x yy上述积分上述积分(1)也可写作也可写作或或为书写简洁起见为书写简洁起见,(1)式常简写成式常简写成ddLP xQ ydd.ABP xQ y 或或 式可写成向量形式式可写成向量形式dd.(2)LP xQ y若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线,则记为则记为 若记若记(,)(,),(,),d(d,d),F x yP x y Q x ysxy 则则(1)dLFsd.(3)ABFs 或或 于是于是,力力(,)(,),(,)F x yP x y Q x y 沿有向曲线沿有向曲线:L AB对质点所作的功为对质

50、点所作的功为(,)d(,)d.LWP x yxQ x yy(,),P x y z(,),Q x y z若若L为空间有向可求长曲线为空间有向可求长曲线,(,)R x y z为定义在为定义在L上的函数上的函数,则可按上述办法类则可按上述办法类 似地定义沿空间有向曲线似地定义沿空间有向曲线L上的第二类曲线积分上的第二类曲线积分,并记为并记为(,)d(,)d(,)d,(4)LP x y zxQ x y zyR x y zz或简写成或简写成ddd.LP xQ yR z(,)(,),(,),(,)F x yP x y Q x y R x y 与与d(d,d,d)sxyz 当把当把看作三维向量时看作三维向量