计算机控制技术及应用第四章-高级-数字控制器分析与设计课件.ppt

1、第四章第四章 高级数字控制器的分析与设计高级数字控制器的分析与设计 n数字控制器状态变量分析理论基础数字控制器状态变量分析理论基础n数字控制器状态变量设计法数字控制器状态变量设计法 对于计算机控制系统的分析与设计，与经典方法对于计算机控制系统的分析与设计，与经典方法相比，状态变量法有以下的优点：相比，状态变量法有以下的优点：1 1采用状态变量法有利于直接利用计算机求解采用状态变量法有利于直接利用计算机求解和分析。和分析。2 2状态变量法不但适用于单输入单输出系统，状态变量法不但适用于单输入单输出系统，也适用于多变量系统。并且在各种情况下系统模型具也适用于多变量系统。并且在各种情况下系统模型具有

2、统一的形式。有统一的形式。3 3状态变量法还可应用于非线性系统、时变系状态变量法还可应用于非线性系统、时变系统的分析与设计。统的分析与设计。4 4状态变量法有利于采用现代分析的方法，如状态变量法有利于采用现代分析的方法，如优化方法等实现控制系统设计。优化方法等实现控制系统设计。41 数字控制器状态变量分析理论基础数字控制器状态变量分析理论基础4 41 11 1 状态空间与状态方程状态空间与状态方程 采用适当的变换，可以将上述采用适当的变换，可以将上述n n阶差分方程化成等价阶差分方程化成等价的的n n个一阶差分方程组成的方程组。采用矩阵符号可以个一阶差分方程组成的方程组。采用矩阵符号可以将后者

3、表示成一个一阶向量矩阵差分方程，从而大大简将后者表示成一个一阶向量矩阵差分方程，从而大大简化系统方程的数学表达式。利用状态变量法的概念，一化系统方程的数学表达式。利用状态变量法的概念，一方面能使工程技术人员针对给定的性能指标，用更一般方面能使工程技术人员针对给定的性能指标，用更一般的输入代替特定的典型输入的输入代替特定的典型输入(如脉冲函数、阶跃函数或如脉冲函数、阶跃函数或正弦函数正弦函数)来实现系统的设计。另一方面还可以帮助工来实现系统的设计。另一方面还可以帮助工程技术人员在系统分析和设计时考虑系统的初始条件，程技术人员在系统分析和设计时考虑系统的初始条件，而这个特点在经典方法中是不具备的。

4、而这个特点在经典方法中是不具备的。110110()(1)(1)()()(1)(1)()nnny knay kna y ka y kb u knb u knbu kbu k 离散时间系统的运动可以通过差分方程描述：离散时间系统的运动可以通过差分方程描述：状态变量状态变量:在描述系统运动的所有变量中，必定可在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，它们已经足以描述对以找到数目最少的一组变量，它们已经足以描述对象的全部运动。象的全部运动。状态向量状态向量:如果完全描述一个给定系统的动态行为如果完全描述一个给定系统的动态行为需要需要n n个状态变量，则用这个状态变量，则用这n n个状

5、态变量构成的列向个状态变量构成的列向量量x(k)x(k)就叫做该系统的状态向量。就叫做该系统的状态向量。状态空间状态空间:状态向量状态向量x x的所有可能值的集合称为状的所有可能值的集合称为状态空间。态空间。状态方程状态方程:描述系统状态变量和系统输入之间关系描述系统状态变量和系统输入之间关系的一阶差分方程组称为状态方程。状态方程的主要的一阶差分方程组称为状态方程。状态方程的主要特征是：在全部被控变量中，只选择一组状态变特征是：在全部被控变量中，只选择一组状态变量来列方程，其它被控变量不进入方程。状态方量来列方程，其它被控变量不进入方程。状态方程必须写成标准形式。程必须写成标准形式。状态法的主

6、要概念状态法的主要概念 线性定常离散时间系统的状态方程描述为：线性定常离散时间系统的状态方程描述为：D(k)u(k)C(k)x(k)y(k)(1)()()kkkxAxBu()()kkyCx线性状态方程的标准形式是：线性状态方程的标准形式是：输出方程的标准形式为：输出方程的标准形式为：对于状态空间描述，状态方程的形式与所选的状对于状态空间描述，状态方程的形式与所选的状态变量有关，因而不是惟一的。态变量有关，因而不是惟一的。B(k)u(k)A(k)x(k)x(k 1(4.4)(4.5)(4.3)(4.2)n例例41 设离散时间系统由差分方程设离散时间系统由差分方程3(2)(1)()()4y ky

7、ky ku k描述。试写出系统的状态方程和输出方程。描述。试写出系统的状态方程和输出方程。选取状态变量选取状态变量x1(k)=y(k)、x2(k)=y(k+1)，显然，显然，x x1(k)(k)和和x x2(k)(k)满足关系式满足关系式 x1(k+1)=x2(k)，x2(k+1)=y(k+2)并且并且x1(k)x1(k)和和x2(k)x2(k)是一组数目最少的足以描述系统全是一组数目最少的足以描述系统全部运动的变量。因此它是系统的一组状态变量。可以部运动的变量。因此它是系统的一组状态变量。可以直观地写系统的状态方程直观地写系统的状态方程(k)x)(kx211 )()()(43)1(212ku

8、kxkxkx 和和12()()()x kkx kx12()()()xkkxkx令令为系统的状态向量，则可以将状态方程简写成为系统的状态向量，则可以将状态方程简写成010(1)()()3114()10()kkky kk xxux由式由式(4(44)4)和式和式(4(45)5)可见，系统的输入输出关系被可见，系统的输入输出关系被分成两段进行描述，即动态方程的一段分成两段进行描述，即动态方程的一段(式式4 44)4)描述描述系统输入和初始条件引起系统内部状态的变化；代数系统输入和初始条件引起系统内部状态的变化；代数方程的一段方程的一段(式式4 45)5)则描述系统内部状态变化引起系则描述系统内部状态

9、变化引起系统输出的变化。统输出的变化。412 线性定常离散系统的状态方程描述线性定常离散系统的状态方程描述(1)差分方程不含输入函数的高阶差分差分方程不含输入函数的高阶差分1 化高阶差分方程为状态方程化高阶差分方程为状态方程 y(k+n)an-1y(k+n-1)a1y(k+1)a0y(k)bu(k)12()()()(1)()(1)nxky kxky kxky knL L L L L L L L令：令：(4.6)(4.7)1122012101000(1)()00100(1)()()00010(1)()nnnx kx kx kx ku kx kx kaaaab LLLLLLLMMMLL12()()

10、()100()nx kxky kxkLM写成状态方程形式有写成状态方程形式有：(4.9)(4.8)(2)差分方程包含输入函数的高阶差分差分方程包含输入函数的高阶差分 11010()(1)(1)()()(1)()nnny knay kna y ka y kb u knbu knb u k)()()()()1()()1()()()1()()()()(121101111201kuhkxakxakxakxkuhkxkxkuhkxkxkuhkykxnnnnnnn 选择状态变量，令选择状态变量，令(4.10)(4.11)为了方便记忆，可写为了方便记忆，可写成成)()()()()1()()()1()()()

11、1()()()1(1211011232121kuhkxakxakxakxkuhkxkxkuhkxkxkuhkxkxnnnnnnn由式（由式（4.104.10）及式（）及式（4.114.11）可以导出）可以导出(4.13)11122201210100()(1)0010()(1)()0001(1)()nnnnx khx kx khx ku kx kaaaax khLLLLLLLMMMLMML)()()()(001)(021kuhkxkxkxkyn 写成状态方程描述，有写成状态方程描述，有(4.14)(4.15)n例例4已知离散时间系统的差分方程描述为已知离散时间系统的差分方程描述为(3)4(2)(

12、1)3()2(1)()y ky ky ky ku ku k 试求它的状态方程描述。试求它的状态方程描述。)()1()()()1()()()()(22311201kuhkxkxkuhkxkxkuhkykx 令令 则则 030 bh 720413041004120210321hhhhhhn所以系统的状态方程描述为所以系统的状态方程描述为 720)()()(413100010)1()1()1(321321kxkxkxkxkxkx )()()(001)(321kxkxkxky2 化脉冲传递函数为状态方程化脉冲传递函数为状态方程 设离散系统的脉冲传递函数为设离散系统的脉冲传递函数为：)()()()()(

13、01110111zAzBazazazbzbzbzbzUzYzGnnnmmmm 引入中间变量引入中间变量x(z)，使得，使得)()()()()()()(zxzAzxzBzUzYzG 可取：可取：)()()(zUzxzA)()()(zYzxzB(4.16)(4.19)(4.20)(4.21)根据根据z变换的超前定理变换的超前定理)()()1()1()(011kukxakxankxankxn )(100)()()(100001000010)1()1()1(21121021kukxkxkxaaaakxkxkxnnn )()()(00)(21210kxkxkxbbbbkynmj)x(kx(z)zj(4.

14、23)(4.24)例例4 4已知离散时间系统脉冲传递函数已知离散时间系统脉冲传递函数3412)(23 zzzzzG试求它的状态空间描述试求它的状态空间描述。根据式根据式(4.23)(4.23)和式和式(4.24)(4.24)立即可得出它的状态方程描立即可得出它的状态方程描述为：述为：112233123(1)010()0(1)001()0()(1)314()1()()120()()xkxkxkxku kxkxkxky kxkxk 4 41 13 3 离散系统状态方程的解离散系统状态方程的解 1 时域法时域法2-1(1)(0)(0)(2)(1)(1)(0)(0)(1)(0)(0)(1)()(0)(

15、0)(1)(1)kkkkk-2xAxuxAxBuA AxBuBuA xABuBuxA xABuABuBu(1)()()kkkxAxBu由由x(0)出发可得出发可得 110()(0)()kkk iiki xA xABu写成卷积和的形式有：写成卷积和的形式有：(4.26)(4.25)利用输出方程式，则有系统输出利用输出方程式，则有系统输出 110()(0)()kkk iiki yCA xCABu特别地，若特别地，若u0，则式，则式(44)变成齐次状态方程：变成齐次状态方程：它的解为：它的解为：()kkA称称(1)(),(0)kkAI为状态方程式为状态方程式(44)的状态转移矩阵，它是满足条件：的状

16、态转移矩阵，它是满足条件：(4.27)(4.28)(4.29)(4.30)(4.31)1Ax(k)x(k )x(Ax(k)k0)(k利用利用 可将式可将式(429)重写为重写为()()(0)kkxx10()()(0)(1)()kikkkii xxBu10()()(0)(1)()kikkkii yCxCBu状态方程式重写成状态方程式重写成:系统的输出为系统的输出为:由式上可见，线性离散系统的解由两项组成。由式上可见，线性离散系统的解由两项组成。即：零输入响应即：零输入响应 零状态响应零状态响应 ()(0)kCx10(1)()kikii CBu(4.32)(4.33)(4.34)2 频域法频域法频

17、域法的思想是利用频域法的思想是利用z变换求解状态方程变换求解状态方程式（式（4.4）。对方程式（）。对方程式（4.4）两边进行）两边进行z变换得变换得:()(0)()()zzzzzXXAXBU11()()(0)()()zzzzzXIAXIABU1111()()(0)()()kZzzZzzxIAXIABU由上式可解得由上式可解得两边取两边取z反变换可得反变换可得(4.35)(4.36)(4.37)11()()()(0)()()zzzzzzYCXC IAXC IABU1111()()(0)()()kZzzZzzyC I AXC I ABU而系统输出而系统输出z的变换的变换从而，有式从而，有式4.3

18、9(4.38)(4.39)对于齐次状态方程式（对于齐次状态方程式（4.28），有，有 1()()(0)zzzXIAX1()()kZzzAIA11()kZz zAIA根据上式可以计算出状态转移矩阵：根据上式可以计算出状态转移矩阵：()kkAx(k)=Akx(0)本节所讨论的离散系统状态方程的解，是指它的封本节所讨论的离散系统状态方程的解，是指它的封闭形式的解。而对计算机求解而言，根据系统的初始条闭形式的解。而对计算机求解而言，根据系统的初始条件和输入，利用状态方程式本身，就可以迭代地求出系件和输入，利用状态方程式本身，就可以迭代地求出系统各时刻的状态值。这也是离散系统状态方程描述的优统各时刻的状

19、态值。这也是离散系统状态方程描述的优点之一。点之一。比较式（比较式（4.40）和式（）和式（4.29），可得），可得(4.40)(4.41)(4.42)n例例4.4 4.4 已知离散系统状态方程已知离散系统状态方程011(1)()()0.1611kku k xx给定给定 ，以及，以及 ，试分别用时域法和频域法求解试分别用时域法和频域法求解x(k)。1(0)1x()1,0,1,2,u kkn用时域法求解以上状态方程，必须先求得系统状态用时域法求解以上状态方程，必须先求得系统状态转移矩阵转移矩阵Ak。由式（由式（4.42）)AI(A11zzZk 11116.01zzzZ )8.0)(2.0()8.

20、0)(2.0(16.0)8.0)(2.0()8.0)(2.0()1(21zzzzzzzzzzzzzZ kkkkkkkk)8.0(34)2.0(31)8.0(38.0)2.0(38.0)8.0(35)2.0(35)8.0(31)2.0(34利用公式（利用公式（4.26）110()(0)()kkk iiki xA xABu可计算出可计算出x(k)x(k)。n用频域法计算。首先，我们有用频域法计算。首先，我们有 111(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)()0.16(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)zzzzzzzzzzzIA已知已知u(k)=1，k=0，1，所以，它的，所以，它的z变换变换

21、1)(zzzU则则2211(0)()211zzzzzzzzzzzzz xBU于是于是212(2)(0.2)(0.8)(1)()()(0)()(1.84)(0.2)(0.8)(1)zzzzzzzzzzz zzzzXIAxBU因此因此 187)8.0(96.17)2.0(64.31825)8.0(922)2.0(617)(X)(x1kkkkzZk由例由例44可见，采用频域法求离散系统状态方程的解，可见，采用频域法求离散系统状态方程的解，一般来说比时域法要简单一些。一般来说比时域法要简单一些。414 离散系统状态方程与脉冲传递函数的关系离散系统状态方程与脉冲传递函数的关系 12()()()()mzz

22、zzUUUU12()()()()pzzzzYYYY111211222212()()()()()()()()()()mmpppmgzgzgzgzgzgzzgzgzgzG如果系统有多个输入量，多个输出量，每个输入如果系统有多个输入量，多个输出量，每个输入量和每个输出量之间的关系都可以用脉冲传递函数描量和每个输出量之间的关系都可以用脉冲传递函数描述，这样就产生了脉冲传递函数矩阵的概念。述，这样就产生了脉冲传递函数矩阵的概念。(4.43)(4.44)()()()zzzYGU)()()()()()()(2211zUzgzUzgzUzgzYmimiii )(0)()()(jmujiijmzUzYzg 所有

23、的所有的()(0)()()()()zzzzzzzXxAXBUYCX系统的状态方程分别作系统的状态方程分别作z z变换变换 由式：由式：得得 (4.46)(4.47)(4.48)1()()()zzzXIAB U1()()()zzzYCIABU1()()zzGCIAB因为脉冲传递函数的定义要求初始条件为零，即因为脉冲传递函数的定义要求初始条件为零，即x(0)x(0)0 0，有，有和和与与4.504.50比较得系统脉冲传递函数矩阵比较得系统脉冲传递函数矩阵在线性代数中，我们知道在线性代数中，我们知道(zI(zI一一A)A)的逆矩阵可写成的逆矩阵可写成1()()det()adj zzzIAIAIA其中

24、，其中，det(zIdet(zI一一A)A)表示表示(zI(zI一一A)A)的行列式；的行列式；adj(zIadj(zI一一A)A)表示表示(zI(zI一一A)A)的伴随矩阵。的伴随矩阵。(4.49)(4.50)(4.51)n代人式代人式(4.51)中可得中可得()()det()Cadj zzzIA BGIAdet()0z IA脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵G(z)G(z)所对应系统的特征方程所对应系统的特征方程 (4.52)(4.53)n 例例45 离散系统状态方程表达式离散系统状态方程表达式 其中其中(1)()()()()kkkkkxAxBuyCx010A043112001001B100

25、C001 试求系统的脉冲传递函数矩阵。试求系统的脉冲传递函数矩阵。因为因为 10()043112zzzzIA所以所以 1232()()det()6112313(2)36113(4)(1)(4)adj zzzzzzz zzzzzzzz zIAIAIA123232()()611230010013(2)3100016113(4)(1)(4)01231(1)(4)6113zzzzzz zzzzzzzz zzzz zzzzGC IAB415 能控性与能观测性能控性与能观测性 在状态空间的描述中，除了输入量和输出量外，在状态空间的描述中，除了输入量和输出量外，还引入了描述系统内部运动状态的状态向量。把状态

26、还引入了描述系统内部运动状态的状态向量。把状态向量看作系统的被控制量，就产生了状态能否被输入向量看作系统的被控制量，就产生了状态能否被输入量所控制和能否由输出量观测出来的问题。一个实际量所控制和能否由输出量观测出来的问题。一个实际系统的能控性、能观测性有四种可能的组合：系统的能控性、能观测性有四种可能的组合：能控能能控能观测，不能控不能观测，能控不能观测，不能控能观观测，不能控不能观测，能控不能观测，不能控能观测。测。能控性和能观测性从能控性和能观测性从状态的控制能力状态的控制能力和和状态的测状态的测辨能力辨能力两个方面揭示了控制系统构成的基本问题，克两个方面揭示了控制系统构成的基本问题，克服

27、了经典方法的局限性。服了经典方法的局限性。能控性和能观测性粗略地说来，是指一个系统的能控性和能观测性粗略地说来，是指一个系统的工作状态能否得到控制和能否通过输出和输入变量而工作状态能否得到控制和能否通过输出和输入变量而唯一确定的性质。唯一确定的性质。1 能控性能控性 对于状态方程式对于状态方程式 所描述的所描述的n n阶系统，如果能找到有界整数阶系统，如果能找到有界整数k k个有限输个有限输入序列入序列u(0)u(0)，u(1)u(1)，u(ku(k一一1)1)，使系统从初始，使系统从初始状态状态x(0)x(0)，到达任一终态，到达任一终态x(n)x(n)x xf f，则称式，则称式 所示系统

28、为状态所示系统为状态x(0)x(0)能控的。如果系统对任意初始状态都能控，则称系能控的。如果系统对任意初始状态都能控，则称系统为状态完全能控，或称统为状态完全能控，或称(A(A，B)B)为状态完全能控的，为状态完全能控的，简称系统具有能控性。简称系统具有能控性。(1)()()kkkxAxBu(1)()()kkkxAxBu能达性定义：能达性定义：若在有限个采样周期内，存在着适当的若在有限个采样周期内，存在着适当的控制序列，使得系统能由任意初始状态达到另一个任控制序列，使得系统能由任意初始状态达到另一个任意指定的终点，则称系统为完全能达的。意指定的终点，则称系统为完全能达的。能控性定义：能控性定义

29、：若在有限个采样周期内，存在着适当的若在有限个采样周期内，存在着适当的控制序列，使得系统能由任意初始状态达到原点，则控制序列，使得系统能由任意初始状态达到原点，则称系统为完全能控的。称系统为完全能控的。按上述定义，若系统为完全能达的，则它一定是按上述定义，若系统为完全能达的，则它一定是完全能控的完全能控的(将能达性定义中具有任意指定的终点指定将能达性定义中具有任意指定的终点指定为原点即为能控性为原点即为能控性)。但是，反过来能控的系统不一定。但是，反过来能控的系统不一定是能达的。只有当状态方程中的系统矩阵是能达的。只有当状态方程中的系统矩阵A A是非奇异的是非奇异的时候，系统的能控性才等价于能

30、达性。时候，系统的能控性才等价于能达性。设式设式 所示的系统阶所示的系统阶次为次为n n，系统的初始状态为，系统的初始状态为x(0)x(0)，则在，则在u(k)u(k)的作用下，的作用下，根据式根据式(4(426)26)有有110()(0)()nnn iini xA xABu写成矩阵形式，有写成矩阵形式，有1(1)(2)()(0)(1)(0)nnnnn uuxA xBABABuu(4.54)(4.55)(1)()()kkkxAxBu1nrankn BABAB1ncWBABAB称称WcWc为系统能控性矩阵。为系统能控性矩阵。存在控制序列存在控制序列 将系统由将系统由x(0)x(0)转移转移到任意

31、终点到任意终点x(n)x(n)，等价于上述方程中当左边，等价于上述方程中当左边x(n)x(n)取任取任意值时，都能存在解意值时，都能存在解 。(0),(1)nuu(1),(1),(0)nuuu显然，满足该条件的充分必要条件是显然，满足该条件的充分必要条件是 对于对于n n阶系统，若它对应的系统能控性矩阵阶系统，若它对应的系统能控性矩阵WcWc的秩为的秩为n n，则可以经过则可以经过n n个采样周期个采样周期后，由初始状态后，由初始状态x(0)x(0)，在控制，在控制序列序列u(k)u(k)，k=0k=0，1 1，n n一一1 1的作用下，达到任意的的作用下，达到任意的终点。终点。(4.56)(

32、4.57)110(1)(0)()nnn iinixAxA Bu11()(1)(1)(0)(1)(0)nnnnnn uuxAxBABABA Buu反过来，对于反过来，对于n n阶线性定常离散系统，若它不能在控制阶线性定常离散系统，若它不能在控制序列作用下由序列作用下由x(0)x(0)出发，经过出发，经过n n个采样周期后到达任意个采样周期后到达任意终点，则它在大于终点，则它在大于n n个采样周期后也不能到达该终点。个采样周期后也不能到达该终点。这是因为，若取（这是因为，若取（n+1n+1）个采样周期，则有）个采样周期，则有 即即根据根据CayleyCayleyHalmitonHalmiton定理

33、，存在定理，存在10110nnnaaaAAAI其中是其中是A A的特征多项式的系数。可得的特征多项式的系数。可得1110nnnaaa AAAI1110nnnaaa A BABABB11nnnrankrank BABABBABABA B即即由此可得，由此可得，AnBAnB的各列是的各列是1nBABA中各列的线性组合，从而有中各列的线性组合，从而有(0),(1)nuu(0),()nuu(1)fnxx 显然，若不存在控制序列显然，若不存在控制序列 ，将，将系统由系统由x(0)x(0)转移到转移到x(n)=xfx(n)=xf，则也不存在序列，则也不存在序列 将系统由将系统由x(0)x(0)转移到转移到

34、。总结以上讨论，我们得到以下的结论：线性定常离散总结以上讨论，我们得到以下的结论：线性定常离散时间系统时间系统(或称系统或称系统(A，B)为完全可控的充要条件为完全可控的充要条件是式是式成立，即能控性矩阵成立，即能控性矩阵Wc为行满秩。为行满秩。1nrankn BABABn例例46 已知系统状态方程式已知系统状态方程式x(k+1)Ax(k)+Bu(k)，当，当A，B分别为以下值时，判定系分别为以下值时，判定系统统(A，B)的能控性。的能控性。(1)若若 0123A01 B则则 0123cWB AB因为因为 rank Wc2，系统能控；系统能控；(2)若若 00aaA12bbB1122babcb

35、abWB ABrank Wc12，系统不能控。系统不能控。则则 2 能观测性能观测性 对于状态方程式对于状态方程式(4(44)4)和式和式(4(45)5)所描述的线性定所描述的线性定常离散系统，如果根据在有限采样周期内的输出量常离散系统，如果根据在有限采样周期内的输出量y(k)y(k)，k k0 0，1 1，q q，其中，其中qq，可以唯一确定系统的任意，可以唯一确定系统的任意初态初态x(0)x(0)，则称，则称系统为状态完全能观测系统为状态完全能观测的或称的或称系统具有系统具有能观测性能观测性。)(Ax)1(xkk )(Cx)(ykk 为系统为系统(A(A，C)C)。系统的能观测性是讨论系统

36、的能观测性是讨论系统的输出系统的输出y(k)y(k)和状态变量和状态变量x(k)x(k)的联系问题，和输入的联系问题，和输入u(k)u(k)无关无关。因此，可以不考虑。因此，可以不考虑输人信号，即可令输人信号，即可令u(k)0u(k)0。从而可以只研究下面的状。从而可以只研究下面的状态方程和输出方程态方程和输出方程 (4.58)(4.59)根据式根据式(4(458)58)和式和式(4(459)59)，可得，可得)0()1()0()1()1()0()0(1xCAyCAxCxyCxynn用矩阵表示为用矩阵表示为)0()1()1()0(1xCACACyyynn(4.60)nrankn 1CACAC

37、10CACACWnW W0 0称为系统的能观测性矩阵。称为系统的能观测性矩阵。线性定常离散时间系统线性定常离散时间系统(A(A，C)C)状态完全能观测的状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵充要条件是能观测性矩阵W W0 0为列满秩。为列满秩。显然，对于显然，对于n n阶系统，观测其阶系统，观测其n n个输出向量，能确定其个输出向量，能确定其初始状态初始状态x(0)x(0)的充要条件是的充要条件是 设设(4.61)(4.62)n例例4.7 设离散时间系统状态方程描述如式设离散时间系统状态方程描述如式(458)和式和式(459)所示，其中所示，其中 210021302A010001C试求系统的能

38、观测性。试求系统的能观测性。021302210021302010001CA 3401234210021302021302CA2 故，系统为完全可观测的。在例题计算过程中，故，系统为完全可观测的。在例题计算过程中，我们可以知道，对于多输出系统，如已经计算出某一我们可以知道，对于多输出系统，如已经计算出某一qnqn使得使得3CACAC3CAC2C2 rankrankranknrankq 1CACAC即可判定系统的能观测性，即可判定系统的能观测性，没有必要继续计算下去没有必要继续计算下去。3 3 对偶原理对偶原理)()()()()1(kkkkkCxyBuAxx)()()()()1(kkkkkTTTx

39、ByuCxAxS S1 1和和S S2 2称为互相对偶的系统。称为互相对偶的系统。系统系统S1：系统系统S2：对偶原理对偶原理 ：S S1 1的能控性等价于的能控性等价于S S2 2的能观测性；的能观测性；S S1 1的能的能观测性等价于观测性等价于S S2 2的能控性。的能控性。416 坐标变换与标准型坐标变换与标准型 1 1 坐标变换坐标变换Bu(k)Ax(k)x(k 1Cx(k)y(k)x(k)P(k)x1 (k)xPx(k)Bu(k)(k)xAP)(kxP 1Bu(k)P(k)xAPP)(kx111 (k)xCPy(k)(463)(464)重写状态方程式重写状态方程式(4.4)(4.4

40、)和式和式(4(45)5)所定义的系统如下所定义的系统如下设为任意一设为任意一n nn n维非奇异方阵。定义坐标变换维非奇异方阵。定义坐标变换或或 代人式代人式(4(463)63)有有即即 而输出方程为而输出方程为(465)因此，可得经坐标变换后系统的状态方程为因此，可得经坐标变换后系统的状态方程为u(k)B(k)xA)(kx1 (k)xCy(k)其中，其中，分别为变换后，分别为变换后系统的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。系统的系统矩阵、输入矩阵和输出矩阵。CPCBPBAPPA 11，下面考察式下面考察式(4(466)66)和式和式(4(467)67)所表示的脉冲传所表示的脉冲传递函数矩阵递函数

41、矩阵 BA)C(zIBPPA)(zICPPBPA)P(zIPCPBPAP)PCP(zIB)A(zICG(z)11111111111 (466)(467)(468)G(z)G(z)它与变换前的状态方程式它与变换前的状态方程式(4(463)63)和式和式(4(464)64)所对应的脉冲传递函数矩阵所对应的脉冲传递函数矩阵(4.50)(4.50)完全一致。完全一致。由此，我们可以得出结论，即坐标变换不改变系统的由此，我们可以得出结论，即坐标变换不改变系统的脉冲传递函数矩阵。即它不改变系统的输入输出特性。脉冲传递函数矩阵。即它不改变系统的输入输出特性。)(bu)(Ax)1(xkkk )(Cx)(ykk

42、 0)AIdet(0111 azazazznnn2 2 能控标准型能控标准型 A的特征方程的特征方程 考虑单输入单输出线性离散系统状态方程描述考虑单输入单输出线性离散系统状态方程描述 其中，其中，x(k)为为n维状态向量；维状态向量；u(k)和和y(k)分别为分别为输人和输出标量；输人和输出标量；A是是nn维方阵；维方阵；b是是n维列向量；维列向量；C是是n维行向量。维行向量。系统方程式系统方程式(469)的能控性矩阵的能控性矩阵 bA,Ab,b,W1nc (469)(470)(471)(472)()()det()Cadj zzzIA BGIAn假定该系统是完全能控的，因此假定该系统是完全能控

43、的，因此Wc为非奇异方阵，为非奇异方阵，取坐标变换阵取坐标变换阵MWPC 0001001011M1n32121aaaaaan(473)其中其中(474)M针对开环针对开环特征方程特征方程x(k)P(k)x1 (k)xPx(k)u(k)b(k)xA1)(kxCC (k)xCy(k)C 122101100000010000010APPAnnCaaaaa 显然显然M为一非奇异阵，从而为一非奇异阵，从而 为非奇异。取为非奇异。取坐标变换坐标变换MWPC和和 则变换后的系统状态方程具有以下形式则变换后的系统状态方程具有以下形式其中其中(475)(476)参考式参考式4.8 1000bPb1CCPC C不

44、具特殊的形式不具特殊的形式 结论：完全能控的单输入单输出系统，可以通过式结论：完全能控的单输入单输出系统，可以通过式(4(473)73)所定义的坐标变换矩阵进行坐标变换而变成所定义的坐标变换矩阵进行坐标变换而变成能控标准型。能控标准型。(478)(479)n例例4.8 已知式已知式(469)和式和式(470)所示系统状态所示系统状态方程描述中，方程描述中，400140002A 101b 011C 试求系统的能控标准型。试求系统的能控标准型。构造能控性矩阵构造能控性矩阵 1641810421WC显然有显然有rankc3，因此系统完全能控。求系统的特，因此系统完全能控。求系统的特征多项式征多项式3

45、23210)AIdet(23 zzz所求的能控标准型为所求的能控标准型为 103232100010APPA1C 100bPb1C 1714CPCC 3 能观测标准型能观测标准型 10CACACWn(480)MWQ01 )(xQ)(x 1kk u(k)B(k)xA1)(kx00 (k)xCy(k)0 令坐标变换矩阵令坐标变换矩阵 则则将式将式(4(469)69)和式和式(4(470)70)两式变成两式变成(481)(482)(483)121010100010001000AQQAnaaaaBQB10无特殊形式无特殊形式 1000CQC0 其中其中 称具有式称具有式(4.82)(4.82)和式和式(

46、4.83)(4.83)形式的状态方程为可观测形式的状态方程为可观测标准形。标准形。(486)(485)(484)为能观标准型为能观标准型的转置矩阵的转置矩阵4 42 2 数字控制器状态变量设计法数字控制器状态变量设计法 数字控制器状态空间设计法，就是利用数字控制器状态空间设计法，就是利用系统的状系统的状态空间描述态空间描述，根据对闭环系统性能指标，根据对闭环系统性能指标 的要求，直接的要求，直接设计出满足要求的数字控制器。设计出满足要求的数字控制器。根据控制系统的输入是被控对象的状态还是被控对根据控制系统的输入是被控对象的状态还是被控对象的输出，控制系统分成象的输出，控制系统分成状态反馈控制器

47、状态反馈控制器和和输出反馈控输出反馈控制器制器两种形式。状态反馈控制器具有较强大的功能和较两种形式。状态反馈控制器具有较强大的功能和较简单的结构。但是对于实际工程系统，往往简单的结构。但是对于实际工程系统，往往并不是所有并不是所有的状态都是可以直接量测的的状态都是可以直接量测的，因此，状态反馈通常难以，因此，状态反馈通常难以实现。这时可以借助于状态观测器，通过被控对象的输实现。这时可以借助于状态观测器，通过被控对象的输入和输出来重构被控对象的状态，实现状态反馈律。但入和输出来重构被控对象的状态，实现状态反馈律。但是这时整个控制器已变成输出反馈控制器了。是这时整个控制器已变成输出反馈控制器了。控

48、制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度控制系统的各种特性及其各种品质指标很大程度上由闭环系统的零点和极点的位置所决定。上由闭环系统的零点和极点的位置所决定。前面通过对离散时间系统的分析，我们知道，系前面通过对离散时间系统的分析，我们知道，系统的响应通常是统的响应通常是k型函数的组合，极点决定了型函数的组合，极点决定了函数函数的形式，即响应的各种模态，从而决定了系统的稳定的形式，即响应的各种模态，从而决定了系统的稳定性。而零点和极点在性。而零点和极点在z z平面上的分布状况决定了动态平面上的分布状况决定了动态响应表达式中对应的函数的系数大小，从而决定了相响应表达式中对应的函数的系数大小，从而决

49、定了相应模态对动态响应的贡献大小。应模态对动态响应的贡献大小。极点配置极点配置问题就是通过对问题就是通过对状态反馈矩阵状态反馈矩阵的选择，的选择，将闭环系统的极点配置在将闭环系统的极点配置在z z平面上所需要的位置，从平面上所需要的位置，从而达到一定性能指标的要求而达到一定性能指标的要求。421状态反馈极点配置控制系统的设计状态反馈极点配置控制系统的设计 bu(k)Ax(k)1)x(k vx(k)fu(k)T bv)x(k)bf(A1)x(kT ),f,(z,f)bfAdet(zIn1T 01n1nn21pzpz)(z)(z(zP(z)n 若选择控制输入为状态反馈，有：若选择控制输入为状态反馈

50、，有：1 1 单输入系统状态反馈极点配置单输入系统状态反馈极点配置闭环系统的状态方程闭环系统的状态方程 闭环系统的特征多项式闭环系统的特征多项式 待配置的闭环特征多项式待配置的闭环特征多项式P(z)P(z)本节我们假定系本节我们假定系统完全能控，并统完全能控，并且系统的所有状且系统的所有状态都可以直接量态都可以直接量测。测。(487)(488)(490)(491)(492)要求系统闭环极点为要求系统闭环极点为 ，试求状态反试求状态反馈增益向量馈增益向量n例例4 49 9 已知二阶系统已知二阶系统)(1.0005.0)()(101.01)1()1(2121kukxkxkxkx 6.01 8.02