福建省厦门科技中学-高三（上）开学数学试卷（文科）（解析版）.docx

1、福建省厦门科技中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M=1,2，3，4，N=x|y=x-3，则MN=()A. B. 4C. 3,4D. 1,2【答案】C【解析】解：M=1,2，3，4，N=x|y=x-3=3,+)，则MN=3,4，故选：C进而确定出N，找出两集合的交集即可此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2. 已知复数z=52-i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为()A. 1B. iC. -1D. -i【答案】C【解析】解：z=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i，z-=2-i，则z的共轭复数的

2、虚部为-1故选：C直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 已知曲线y=x3+2x在点(1,3)处的切线与直线ax-y+=0垂直，则实数a的值为()A. 5B. -5C. 15D. -15【答案】D【解析】解：y=x3+2x的导数为y=3x2+2，可得曲线y=x3+2x在点(1,3)的处的切线的斜率为5，由切线与直线ax-y+=0垂直，可得5a=-1，解得a=-15故选：D求出函数的导数，可得曲线y=x3+2x在点(1,3)的处的切线的斜率为5，再利用切线与已知直线垂直的条件：斜率之积为-1，建立方程，可求a的值本题考查导数的运用

3、：求切线的斜率，考查导数的几何意义，考查两条直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于基本知识的考查4. 如图的折线图是某农村小卖部年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是()A. 该小卖部年前五个月中三月份的利润最高B. 该小卖部年前五个月的利润一直呈增长趋势C. 该小卖部年前五个月的利润的中位数为0.8万元D. 该小卖部年前五个月的总利润为3.5万元【答案】D【解析】解：前五个月的利润，一月份为3-2.5=0.5万元，二月份为3.5-2.8=0.7万元，三月份为3.8-3=0.8万元，四月份为4-3.5=0.5万元，五月份为5-4=1万元，故A，B错误，其利润的中位数0.

4、7万元，故C错误，利润总和为0.5+0.5+0.7+0.8+1=3.5万元，故D正确故选：D分别求出5个月的利润，以及根据中位数的定义即可判断本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题5. 如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为a，b，c的正方形和一个直角三角形围成.现已知a=3，b=4，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为()A. 328B. 356C. 325D. 625【答案】A【解析】解：a=3，b=4，c=5，S=a2+b2+c2+12ab=9+16+25+6=56

5、，其中S=6，该点取自其中的直角三角形区域的概率为656=328，故选：AS=a2+b2+c2+12ab=9+16+25+6=56，其中S=6，从而求出满足条件的概率即可本题考查考查概率性质、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为()A. 4x225+y26=1B. x24+y22=1C. x22+y2=1D. x24+y23=1【答案】D【解析】解：依题意椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12得ca=12，椭圆C的长轴长与焦距之和为6，2a+2c=6，

6、解得a=2，c=1，则b=3，所以椭圆C的标准方程为：x24+y23=1故选：D利用已知条件求出a，b，即可求解椭圆方程本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查7. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2A1B1=2B1C1，且ABBC，点M是A1C1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为()A. 13B. 223C. 324D. 12【答案】B【解析】解：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2A1B1=2B1C1，且ABBC，点M是A1C1，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2A1B1=2B1C1=2，则M(12

7、,1,12)，B(0,0，0)，A(1,0，0)，A1(1,0，2)，MB=(-12,-1,-12)，AA1=(0,0，2)，设异面直线MB与AA1所成角为，则cos=|MBAA1|MB|AA1|=41842=223异面直线MB与AA1所成角的余弦值为223故选：B以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MB与AA1所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8. 设命题p：将函数y=cos2x的图象向右平移5个单位得到函数y=cos(2

8、x-5)的图象；命题q：若tan=2，则cos2-2sin2sin2=-74，则下列命题为真命题的是()A. pqB. p(q)C. (p)qD. (p)(q)【答案】C【解析】解：将函数y=cos2x的图象向右平移5个单位，得到函数y=cos2(x-5)=cos(2x-25)的图象，故命题p为假命题；由tan=2，得cos2-2sin2sin2=1-2tan22tan=1-2422=-74，故命题q为真命题(p)q为真命题故选：C由三角函数的图象平移判断p，由tan=2求得cos2-2sin2sin2的值判断q，再由复合命题的真假判断得答案本题考查复合命题的真假判断，考查了三角函数的图象平移

9、及化简求值，是中档题9. 设函数f(x)=sinx+3cosx，g(x)=6sin2x2+cosx，若直线x=x1，x=x2分别是曲线y=f(x)与y=g(x)的对称轴，则f(x1-x2)=()A. 2B. 0C. 2D. 1【答案】C【解析】解：函数f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+3)，g(x)=6sin2x2+cosx=61-cosx2+cosx=3-3cosx+cosx=3-2cosx，若直线x=x1，x=x2分别是曲线y=f(x)与y=g(x)的对称轴，则x1+3=k+2，x=n，n、kZ即x1-=k+6，x2=n，x1-x2=k-n+6，则f(x1-x2)=2sin(x

10、1-x2)+3=2sin(k-n+6+3)=2cos(k-n)=2，故选：C利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象的对称形求得x1-x2的值，可得f(x1-x2)的值本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象的对称形，属于中档题10. 某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是()A. B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】解：几何体可能是圆锥，底面半径为1，高为3，几何体的体积为：13123=，几何体如果是正四棱锥，底面是正方形边长为2，高为3，几何体的体积为：12223=6；几何体如果是三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为2，三角形的高为2

11、，三棱锥的高为3，几何体的体积为：1312223=2，几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是：4故选：C判断几何体的形状，然后求解几何体的体积，判断选项即可本题考查简单几何体的三视图，求解几何体的体积，考查空间想象能力11. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上.若AF1F2的周长为10a，则|F1A|F2A|=()A. 4a2B. 8a2C. 10a2D. 16a2【答案】B【解析】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C

12、上.若AF1F2的周长为10a，不妨A在双曲线右支，可得：|F1A|+|F2A|+2c=10a，|F1A|-|F2A|=2a，c=2a，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，所以|F1A|F2A|=8a2故选：B利用双曲线的离心率以及定义结合AF1F2的周长为10a，求出|F1A|、|F2A|；然后推出结果本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力12. 对于函数y=f(x)，若存在x0，使f(x0)+f(-x0)=0，则称点(x0,f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)=-x+2,x0x2+2x,x0，则曲线f(x)的“优美点”个数为()A. 1B. 2C. 4D

13、. 6【答案】B【解析】解：由x0，联立y=-x+2和y=-x2+2x，解得x=1或x=2，则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”，故选：B求得x0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001)(ii)经计算求得y与x之间的回归方程为y=1.382x-2.774.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围；(x值精确到0.01)(2)试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况相关公式：r=i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(xi-x-)2i=1n(yi

14、-y-)2参考数据：i=15(xi-x-)(yi-y-)=69.10i=15(xi-x-)2i=1n(yi-y-)278【答案】解：(1)(i)由i=15(xi-x-)(yi-y-)=69.10，i=15(xi-x-)2i=1n(yi-y-)278，则相关系数r=i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(xi-x-)2i=1n(yi-y-)2=69.10780.886；|r|0.75，可认为y与x有较强的线性相关关系；(ii)由题意y与x之间的回归方程为y=1.382x-2.774，由y=1.382x-2.77425，解得x20.10，300x6030，外卖甲所获取的日纯利润大于或等于60

15、30元；(2)根据表格中数据，计算x甲-=15(5+2+9+8+11)=7，x乙-=15(2.2+2.3+10+5+15)=6.9，s甲2=15(5-7)2+(2-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(11-7)2=505，s乙2=15(2.2-6.9)2+(2.3-6.9)2+(10-6.9)2+(5-6.9)2+(15-6.9)2=139.285，从平均值看，甲的平均值大些，即甲的接单量多些；从方差看，甲的方差小些，即甲的接单量波动性小些【解析】(1)(i)由题中数据，计算相关系数r，比较即可得出结论；(ii)由题意令y=1.382x-2.77425解得x的取值范围，计算300x的取值范围

16、即可；(2)根据表格中数据计算平均数与方差，比较即可本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了相关系数的计算问题，是基础题20. 已知点F是抛物线C：y2=2px(p0)的焦点，若点P(x0,4)在抛物线C上，且|PF|=52p.(1)求抛物线C的方程；(2)动直线l：x=my+1(mR)与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D(t,0)(其中t0)，使得向量DA|DA|+DB|DB|与向量OD共线(其中O为坐标原点)？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为(p2,0)，准线方程为x=-p2，即有|PF|=x0+p2=

17、5p2，即x0=2p，则16=4p2，解得p=2，则抛物线的方程为y2=4x；(2)在x轴上假设存在定点D(t,0)(其中t0)，使得DA|DA|+DB|DB|与向量OD共线，由DA|DA|，DB|DB|均为单位向量，且它们的和向量与OD共线，可得x轴平分ADB，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x=my+1和y2=4x，得y2-4my-4=0，=16(m2+1)0恒成立y1+y2=4m，y1y2=-4.设直线DA、DB的斜率分别为k1，k2，则由ODA=ODB得，k1+k2=y1x1-t+y2x2-t=y1(x2-t)+y2(x1-t)(x1-t)(x2-t)=y1(my2+1-t)

18、+y2(my1+1-t)(x1-t)(x2-t)=2my1y2+(1-t)(y1+y2)(x1-t)(x2-t)，2my1y2+(1-t)(y1+y2)=0，联立，得-4m(t+1)=0，故存在t=-1满足题意，综上，在x轴上存在一点D(-1,0)，使得x轴平分ADB，即DA|DA|+DB|DB|与向量OD共线【解析】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得P的坐标，解方程可得p=2，进而得到抛物线的方程；(2)在x轴上假设存在定点D(t,0)(其中t0)，使得DA|DA|+DB|DB|与向量OD共线，可得x轴平分ADB，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x=my+1和y

19、2=4x，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得m，t的方程，即有t=-1，可得结论本题考查抛物线的方程和性质，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查向量的四边形法则和直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于综合题21. 已知函数f(x)=x2+mx+1ex(m0)，其中e为自然对数的底数(1)讨论函数f(x)的极值；(2)若m(1,2)，证明：当x1，x21,m时，f(x1)-x2+1+1e【答案】(1)解：f(x)=(2x+m)ex-(x2+mx+1)ex(ex)2=-(x-1)x-(1-m)exm0时，1-m-x2+1+1e，只要证明f(x1)min(-x2+1+

20、1e)max即可，由(1)可知：f(x)在x1,m内单调递减，f(x1)min=f(m)=2m2+1emf(x1)min(-x2+1+1e)maxx21+1e-2m2+1em.m(1,2)，令g(m)=1+1e-2m2+1em.m(1,2)，g(m)=-4m-(2m2+1)em=(m+6-22)(m-2+62)em0，函数g(m)在m(1,2)上单调递减，g(m)g(1)=1+1e-3e=e-2e-x2+1+1e，只要证明f(x1)min(-x2+1+1e)max即可，由(1)可知：f(x)在x1,m内单调递减，可得f(x1)min=f(m).因此f(x1)min(-x2+1+1e)maxx2

21、1+1e-2m2+1em.m(1,2)，令g(m)=1+1e-2m2+1em.m(1,2)，利用导数研究其单调性即可得出本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为y=2+2sinx=2cos，(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为p=22cos(+4).(1)求圆C1的普通方程和圆C2的直角坐标方程；(2)若圆C1与圆C2相交于点A，B，求弦AB的长【答案】解：(1)圆C1的参数方程为y=2+2sinx=2cos，(为

22、参数)，转换为直角坐标方程为：x2+(y-2)2=4圆C2的极坐标方程为p=22cos(+4).转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x-2y，即：(x-1)2+(y+1)2=2(2)由于x2+(y-2)2=4(x-1)2+(y+1)2=2，整理得：x+y=0所以圆心(1,-1)到直线x+y=0的距离d=|0-0|2=0，圆心(1,-1)在直线x+y=0上，所以弦长AB=4【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换(2)利用量圆的位置关系，首先求出公共弦所在的直线方程，进一步利用点到直线的距离公式，判定圆心在直线上，最后求出弦长本题考查的知识要点：参数方程直角

23、坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用23. 已知函数f(x)=|2x+1|+2|x-3|(1)求不等式f(x)7x的解集；(2)若关于x的方程f(x)=|m|存在实数解，求实数m的取值范围【答案】解：(1)不等式f(x)7，即|2x-6|+|2x+1|7x，可化为x3解无解，解得1x3，解得x3，综合得：x1，即原不等式的解集为x|1(2)因为f(x)=|2x-6|+|2x+1|(2x-6)-(2x+1)|=7，关于x的方程f(x)=|m|存在实数解，|m|7有解，则解得：m7或m-7实数m的取值范围为m7或m-7【解析】(1)通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(2)求出f(x)的最小值，解关于m的不等式，解出即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题27 / 28