河北省衡水中学-高三年级上学期四调考试数学（理）试卷Word版含解析(1).docx

1、河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1下列命题正确的个数为梯形一定是平面图形；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平

2、面有三个公共点，则这两个平面重合.A0 B1 C2 D32已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a4=A52 B3 C72 D43已知双曲线my2-x2=1(mR)与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为Ay=3x By=3x Cy=13x Dy=33x4如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有A40条 B60条 C80条 D120条5函数f(x)=x2-2|x|的图象大致是ABCD6若tan(x2+4)+tan(x2-4)=32，则tanx=A-2 B2

3、C34 D-347某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为A72 B56 C57 D638一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A96+36 B72+48 C48+96 D24+489已知函数f(x)=cosxsin2x，下列结论不正确的是Ay=f(x)的图象关于点(,0)中心对称By=f(x)既是奇函数，又是周期函数Cy=f(x)的图象关于直线x=2对称Dy=f(x)的最大值为3210如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成

4、，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A20009 B400027 C81 D12811已知y2=4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2=4x于A,B，AFB=600，则|AB|=A476 B473 C4 D312已知fx=x2,x0-xe1-x+ax2-a,x0是减函数，且fx+bx有三个零点，则b的取值范围为A0,ln22e-1,+ B0,ln22 Ce-1,+ Dln22e-1,+二、解答题13数列an满足a1=6，an+1=6an-9an（nN*）.（1）求证：数列1an-3是等差数列；（2）求数列l

5、gan的前999项和.14在四棱锥P-ABCD，AB/CD，ABC=900,BC=CD=PD=2，AB=4,PABD，平面PBC平面PCD，M,N分别是AD,PB中点.（1）证明：PD平面ABCD；（2）求MN与平面PDA所成角的正弦值.15在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b2+c2-a2=accosC+c2cosA.（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积SABC=2534，且a=5，求sinB+sinC.16如图，直线AQ平面，直线AQ平行四边形，四棱锥的顶点P在平面上，AB=7，AD=3，ADDB，ACBD=O,OP/AQ,AQ=2，M,N分别是AQ与CD的中点.

6、（1）求证：MN/平面QBC；（2）求二面角M-CB-Q的余弦值.17如图，椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为32，过抛物线C2：x2=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点，当|MF|=74时，M点在x轴上的射影为F1，连接NO,MO)并延长分别交C1于A,B两点，连接AB，OMN与OAB的面积分别记为SOMN，SOAB，设= SOMNSOAB.（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）求的取值范围.18已知函数f(x)=ax32-lnx-23的图象的一条切线为x轴.（1）求实数a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f(x)|，若存在不相等的两个实

7、数x1,x2满足g(x1)=g(x2)，求证：x1x21.三、填空题19已知向量m,n夹角为600，且|m|=1，|2m+n|=10，则|n|=_.20已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=1200,AB=2,BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_.21某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_种.22三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABC为正三角形，外接球表面积为12，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC的最大值为_.11 / 16学年河北省衡水

8、中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一

9、般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2C【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式，代入S8=4S4即可求出a1=12，再利用等差数列通项公式就能算出a4.【详解】an是公差为1的等差数列，S8=4S4，8a1+8712=4(4a1+4312)解得a1=12，则a4=12+31=72，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式的运用，是基础题。3A【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，进而知道双曲线的一个焦点，从而求出m，和双曲线的渐近线。【详解】抛物线x2=8y的焦点为(0,2)双曲线的一个焦点为(0,2)，1m+1=4，m=13双曲线的渐近线方程为y=3

10、x所以A选项是正确的.【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的标准方程及几何性质，是基础题。4B【解析】试题分析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二竖，共有C52=10条路径，从C到B共有32=6条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有106=60条，故选B.考点：分步计数乘法原理.5B【解析】f(x)=x2-2x的定义域为R，f(-x)=-x2-2-x=x2-2x= f(x)则f(x)是偶函数又f0=-10故选B6C【解析】【分析】将题干所给等式利用两角和差的正切公式展开，然后利用二倍角的正切公式求出tanx.【详解】tan(x2+4)+tan(x2-4)=tan

11、x2+11-tanx2+tanx2-11+tanx2=4tanx21-tan2x2=2tanx=32，所以tanx= 34.【点睛】考查了三角函数公式的运用以及计算能力。7A【解析】【分析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，再将新组成的语文老师和数学老师分给两个学校。【详解】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有C21种，然后将新的4个语文老师分给两个学校C32A22种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校 C32A22种，所以共有C21C32A22C32A22=72种分配方法。【点睛】排列组合中多面手问题，要优先考虑多面手。8D【解析】【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四

12、分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.。【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V左=1413628=24，右半部分是三棱锥，其体积V右=1312668=48，所以该几何体的体积V总=24+48.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力。9C【解析】试题分析：对于A中，因为f(+x)=cos(+x)sin2(+x)=-cosxsin2x，则f(-x)=cos(-x)sin2(-x)=cosxsin2x，所以f(+x)+f(-x)=0，可得y=f(x)的图象关于(,0)中心对称，故A正确；对于B，

13、因为f(2+x)=cos(2+x)sin2(2+x)=-sinx(-sin2x)=sinxsin2x，f(2-x)=cos(2-x)sin2(2-x)=sinxsin2x，所以f(2+x)=f(2-x)，可得y=f(x)的图象关于x=2中心对称，故B正确；对于C，化简得f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx(1-sin2x)，令t=sinx,f(x)=g(t)=2t(1-2t2),-1t1，因为g(t)=2t(1-t2)的导数g(t)=2-6t2=2(1+3t)(1-3t)，所以当t(-1,-33)或t(33,1)时，g(t)0，函数g(t)为增函数，因此函数g(t)的

14、最大值为t=-1或t=33时的函数值，结合g(-1)=0g(33)=439，可得g(t)的最大值为439，由此可得f(x)的最大值为439，而不是32，所以不正确；对于D，因为f(-x)=cos(-x)sin(-2x)=-cosxsin2x=-f(x)，所以f(x)是奇函数，因为f(2+x)=cos(2+x)sin(4+2x)=cosxsin2x=f(x)，所以2为函数的一个周期，得f(x)为周期，可得f(x)既是奇函数，又是周期函数，所以正确，故选D.考点：三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质及三角函数的最值问题，其中解答中涉及到三角函数的解析式、三角函数的奇

15、偶性、三角函数的单调性和周期性等知识点的综合考查，着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数的图象的对称性等知识，体现了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10B【解析】【分析】小圆柱的底面半径为r (0r5)，小圆柱的高分为2部分，上半部分在大圆柱内为5，下半部分深入半球内为h (0h5)，由于下半部分截面r,h,和球的半径构成直角三角形，即r2+h2=52，从而可以找出体积表达式进而利用函数知识求出最值。【详解】小圆柱的高分为上下两部分，上部分同大圆柱一样为5，下部分深入底部半球内设为h (0h5)，小圆柱的底面半径设为r (0r5)，由于r,h,和球的半径构成直角三角

16、形，即r2+h2=52，所以小圆柱体积V=r2h+5=25-h2h+5，(0h5)，求导V=-（3h-5）(h+5)，当0h53时，体积V单调递增，当53hx10，因为kQA=kQB，即2x2x2+1=2x1x1+1，整理化简得x1x2=1，|AB|2=(x2-x1)2+(2x2-2x1)2，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，代入余弦定理|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cos600整理化简得：x1+x2=103，又因为x1x2=1，所以x1=13，x2=3，|AB|=(x2-x1)2+(2x2-2x1)2=473，选B.【点睛】圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦

17、定理是解决本题的关键。12D【解析】【分析】由于分段函数f(x)是减函数，从而知道当x0时，f(x)=-x(e1-x+ax2-a)为减函数，此时导函数f(x)0恒成立，从而求出a=1。再由于y=f(x)+bx有三个零点，也就是函数y=f(x)与y=-bx图象有三个交点，通过讨论-b与交点的情况进而求出b的取值范围。【详解】当x0，f(x)=-x(e1-x+ax2-a)单调递减，可得x0时，f(x)=-x(e1-x+ax2-a)-x(-e1-x+a2)=(x-1)(e1-x-a)0在恒成立。当0x1，e1-x-a0恒成立，可得ae1-x，而1e1-xe，所以a1，当x1，e1-x-a0恒成立，可

18、得ae1-x，而0e1-x1，所以a1，故a=1.由题意知：y=f(x)与y=-bx图象有三个交点，当-b0时，只有一个交点，不合题意，当-b0时，f(x)=-bx，即b=e1-x+x2-1有唯一解。令g(x)=e1-x+x2-1，g(x)=-e1-x+12.令gx=0得x=1+ln2，所以x0,1+ln2时，gx0，g(x)单调递增。g(x)min=g(1+ln2)=ln22 ，x0时，g(x)e-1，x+时，g(x)+，所以要使b=e1-x+x2-1在(0,+)有唯一解，只需b=ln22或be-1.故选D.【点睛】零点问题是近年高考中常考题型，常常转化为构造两个函数交点问题，利用数形结合也

19、是常见的方法。13（1）见解析；（2）nlg3+lg(n+1)【解析】【分析】（1）方程两边减3后，取倒数可化简得1an+1-3-1an-3=13，即可证明（2）化简lgan=lg3(n+1)n=lg3+lg(n+1)-lgn，相加相消求和即可.【详解】（1）数列an满足：a1=6，an+1=6an-9an（nN*）1an+1-3= 16an-9an-3=an-3+33(an-3)=13+1an-3 ，所以，1an+1-3-1an-3=13，即，数列1an-3是以1a1-3=13为首项，13为公差的等差数列；（2）由（1）得1an+1-3=13+（n-1)13，解之得：an=3(n+1)n；所

20、以，lgan=lg3(n+1)n=lg3+lg(n+1)-lgn于是，Tn=lg3+lg2-lg1+lg3+lg3-lg2+lg3+lg(n+1)-lgn=nlg3+lg(n+1)【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和，属于中档题.14（1）见解析（2）105【解析】【分析】（1）要证明直线PD平面ABCD，只需要证明直线PD与平面ABCD内两条相交直线都垂直，通过题中条件分析证明PD分别垂直于BD和BC即可。（2）建立空间直角坐标系，通过找出平面PDA的法向量，利用空间向量法计算线面角的公式即可。【详解】（1）取PC中点为Q，则由CD=PD可得D

21、QPC，因为平面PBC平面PCD，所以DQ平面PBC，故DQBC，而CDBC，CD交DQ于D，所以BC平面PDC，可得到BCPD.连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD=22,AD=22，而AB=4，则AD2+BD2=AB2，即BDAD，又BDPA，可得BD平面PAD，所以BDPD.又BCPD，BC与BD交于B，所以PD平面ABCD.（2）以D为原点，DA,DB,DP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则D0,0,0，A(22,0,0)，B(0,22,0)，P(0,0,2)，M(2,0,0)，N(0,2,1).平面PAD的法向量为DB=(0,22,0)，MN=(-2,

22、2,1),故所求线面角的正弦值为|cos|=|MNBD|MN|BD|=4522=105【点睛】在立体几何题中，二面角、线面角等问题，常常可以通过建立空间直角坐标系利用法向量方法来做，关键在于建立合适的坐标系，找准坐标和法向量，确定所求角。15（）A=3；（）3.【解析】试题分析：（）由余弦定理把已知条件化为2bccosA=accosC+c2cosA，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得cosA=12，从而得A角；（）由三角形面积公式求得bc=25，再由余弦定理可求得b2+c2=50，从而得b+c=10，再由正弦定理得sinB+sinC=(b+c)sinAa，计算

23、可得结论.试题解析：（）因为b2+c2-a2=accosC+c2cosA，所以由2bccosA=accosC+c2cosA，即2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin(A+C)，sin(A+C)=sin(-B)=sinB，2sinBcosA=sinB，即sinB(2cosA-1)=0，0B，sinB0，cosA=12，0A0)，由y=mxx2=4y，解得xN=4m，从而可求得ON=4m1+m2，同理可得OM,OA,OB,故可将=SOMNSOAB=ONOMOAOB化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果

24、。试题解析：（）由抛物线定义可得M(-c,74-b)，点M在抛物线x2=4by上，c2=4b(74-b)，即c2=7b-4b2 又由ca=32，得 c2=3b2将上式代入，得7b2=7b解得b=1,c=3,a=2，所以曲线C1的方程为x24+y2=1，曲线C2的方程为x2=4y。 （）设直线MN的方程为y=kx+1，由y=kx+1x2=4y消去y整理得x2-4kx-4=0，设M（x1,y1)，N(x2,y2).则x1x2=-4，设kON=m，kOM=m，则mm=y2x2y1x1=116x1x2=-14，所以m=-14m， 设直线ON的方程为y=mx (m0)，由y=mxx2=4y，解得xN=4

25、m，所以ON=1+m2xN=4m1+m2，由可知，用-14m代替m，可得OM=1m1+(-14m)2xM=1+116m2， 由y=mxx24+y2=1，解得xA=24m2+1，所以OA=1+m2xA=21+m24m2+1，用-14m代替m，可得OB=1+116m2xB=21+116m214m2+1所以=SOMNSOAB=ONOMOAOB=4m1+m21m1+116m221+m24m2+121+116m214m2+1=4m2+114m2+1=4m2+2+14m2=2m+12m2，当且仅当m=1时等号成立。所以的取值范围为2,+). 点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一

26、种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围18（）a=23;（）见解析.【解析】【试题分析】（1）依据题设条件借助导数的几何意义求解；（2）依据题设构造函数h(x)=23(x32-1)+x-1x-lnx，运用导数的知识分析推证：（）f(x)=3a2x-1x，x0，设切点坐标为(x0,0)，由题意得f(x0)=ax032-lnx0-23=0,f(x0)=3a2x0-1x0=0,

27、解得x0=1,a=23.（）g(x)=|23(x32-1)+x-1x-lnx|，令h(x)=23(x32-1)+x-1x-lnx，则h(x)=(x-1x)+(12x+1x2)，当x1时，x-1x0，h(x)0，h(x)又可以写成(x+12x)+1-xx2，当0x0，h(x)0因此h(x)在(0,+)上大于0，h(x)在(0,+)上单调递增，又h(1)=0，因此h(x)在(0,1)上小于0，在(1,+)上大于0，g(x)=h(x),x1,-h(x),0x1时，01x0，故G(x)在(1,+)上单调递增，所以G(x)G(1)=0，所以g(x)-g(1x)0，不妨设0x11g(1x2)，而0x11，01x21，有单调性知x11x2，即x1x20)，f(h)=3-3h2，f(h)在(0,1)单调递增，在1,+)单调递减，所以h=1时，VP-ABCmax=f1=3.【点睛】本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.研究多面体的外接球问题，要运用球的性质，还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。