初中八年级数学重点学习课件：菱形（知识串讲）（解析版）.doc

1、专题09 菱形知识网络重难突破一. 菱形的性质1菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2菱形的性质菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（ACBD，AC是DAB和DCB的角平分线，BD是ADC和CBA的角平分线）对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直线（AC，BD）典例1（2017秋丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），对角线PM与ON交于点B，则点B的坐标为_【答案】（4，2）【解

2、析】解：顶点P的坐标是（3，4），OP5，四边形MNPO是菱形，OPOM5，点M坐标（5，0），PBBM，点B的横坐标4，纵坐标2，点B（4，2）故答案为（4，2）【点睛】由菱形的性质再结合勾股定理可求OM的长，则点M的坐标可求出，因为点B是PM中点，进而可求出点B的坐标本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，正确求出点M的坐标是解题关键典例2（2018春沙坪坝区期末）如图，菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O，BD8cm，AC6cm，过点O作OHCB于点H，则OH的长为（）A5cmBcmCcmDcm【答案】C【解析】解：四边形ABCD是菱形，ACBD，OCAC63，OB=12BD=128

3、4，在RtBOC中，由勾股定理得，BC=OB2+OC2=32+42=5，OHAB，SBOC=12OCOB=12CBOH，即1243=125OH，解得OH，故选：C【点睛】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB、OC，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据BOC的面积列式计算即可得解本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示BOC的面积列出方程典例3（2018秋锦州期末）如图，在菱形ABCD中，BAD120，CEAD，且CEBC，连接BE交对角线AC于点F，则EFC_【答案】105【解析】解：菱形ABCD中，BAD120，ABBCCDAD，BCD12

4、0，ACBACD=12BCD60，ACD是等边三角形，CEAD，ACEACD30，BCEACB+ACE90，CEBC，ECBE45，EFC180EACE1804530105.故答案为：105.【点睛】由菱形及菱形一个内角为120，易得ABC与ACD为等边三角形CEAD可由三线合一得CE平分ACD，即求得ACE的度数再由CEBC等腰三角形把E度数求出，用三角形内角和即能去EFC 典例4（2018春阜平县期末）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DEAB，垂足为E，DE：AB4：5，则下列结论：DE8cm；BE4cm；BD4cm；AC85cm；S菱形ABCD80cm，正

5、确的有（）ABCD【答案】B【解析】解：菱形ABCD的周长为40cm，AB=144cm10cm，DE：AB4：5，DE8cm，故正确；DEAB，且AD10cm，DE8cm，AE6（cm），BEABAE10cm6cm4cm，故正确；DE8cm，BE4cm，BD=BD2+BE2=82+42=45（cm），故正确；四边形ABCD是菱形，BO=12BD25cm，且ACBD，AO=AB2-BO2=102-(25)2=45（cm），AC2AO85cm，故正确；S菱形ABCD=12ACBD=1285480（cm2），故不正确，单位错误；正确的为，故选：B【点睛】由菱形的性质可求得菱形的边长，结合DE：AB4

6、：5可判断；在RtABE中由勾股定理可求得AE，则可求得BE，可判断；在RtBDE中由勾股定理可求得BD，可判断；由菱形的对角线互相平分，可求得BO，在RtAOB中可求得AO，可求得AC，可判断；根据求得的AC和BD可求得菱形的面积，可判断，可得出答案典例5（2018春渝中区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EPCD于点P，BAD110，则FPC的度数是（）A35B45C50D55【答案】D【解析】解：延长PF、EB交于点G；连接EF，连接AC四边形ABCD是菱形，AGDC，GBFPCF，F是BC中点，BFCF，在BGF和CPF中，BGFCPF，PFGF，点F为

7、PG的中点，GEP90，FPFGFE，FPCFGBGEF，则GEFBACBAD55，FPC的度数是55故选：D【点睛】延长PF、EB交于点G；连接EF，易证BGFCPF，则点F为PG的中点，FPFGFE，则FPCFGBGEF；连接AC，则GEFBAC=12BAD55，进而可求出FPC的度数解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，从而得到点F为PG的中点典例6（2018春松北区期末）如图，菱形ABCD，B60，AB4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连接EF，若EF2，则的值为_【答案】1或【解析】解：如图，连接AC、BD交于点O四边形ABCD是菱形，ABC60，AB4，易知ABC

8、，ADC都是等边三角形，ACAB4，OBOD23，BD43，当点F与A重合时，易知EF23，此时DFDC4，DFDC=1，当点F是CD的中点时，BEEC，DFCF，EF=12BD23，满足条件，此时DF2，DC4，故答案为1或12【点睛】当点F与A重合时，易知EF23，此时DFDC4，可得DFDC=1，当点F是CD的中点时，由BEEC，DFCF，推出EF=12BD23，满足条件.典例7（2018春兰陵县期末）在菱形ABCD中，ABC60，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CFAE，连接BE、EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BEEF（2）如图2，当点E不是线段

9、AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，ABBC，ABC60，ABC是等边三角形，BCA60，E是线段AC的中点，CBEABE30，AECE，CFAE，CECF，FCEFBCA30，CBEF30，BEEF；（2）结论成立；理由如下：过点E作EGBC交AB于点G，如图所示：四边形ABCD为菱形，ABBC，BCD120，ABCD，ACD60，DCFABC60，ECF120，又ABC60，ABC是等边三角形，ABAC，ACB60，又EGBC，AGEABC60，又BAC60，AGE是等边三

10、角形，AGAEGE，AGE60，BGCE，BGE120ECF，又CFAE，GECF，在BGE和CEF中，BG=CEBGE=ECFGE=CF，BGEECF（SAS），BEEF【点睛】（1）由菱形的性质和已知条件得出ABC是等边三角形，得出BCA60，由等边三角形的性质和已知条件得出CECF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出CBEF，即可得出结论；（2）过点E作EGBC交AB延长线于点G，先证明ABC是等边三角形，得出ABAC，ACB60，再证明AGE是等边三角形，得出AGAEGE，AGE60，然后证明BGEECF，即可得出结论.二. 菱形的判定菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是

11、菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.典例1（2018春玄武区期末）如图，E、F分别为ABC的边BC、AB的中点，延长EF至点D，使得DFEF，连接DA、DB、AE（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若ABAC，求证：四边形AEBD是菱形【答案】见解析【解析】证明：（1）E、F分别为ABC的边BC、BA的中点，EFAC，EFAC，DFEF，EF=12DE，ACDE，四边形ACED是平行四边形；（2）四边形ACED是平行四边形，ADEC，DEAC，ADEC，BEEC，ADBE，ADBE，四边形AEBD是平行四边形，ACAB，ACDE，ABED，四边形AEBD

12、是菱形【点睛】（1）由已知可得：EF是ABC的中位线，则可得EFAC，EFAC，又由DFEF，易得ACDE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ACED是平行四边形；（2）想办法证明四边形AEBD是平行四边形，ABDE即可；此题考查了平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）、菱形的判定（对角线垂直的平行四边形是菱形）以及三角形中位线的性质（三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半）解题的关键是仔细分析图形，注意数形结合思想的应用典例2（2018春内乡县期末）如图，在等边三角形ABC中，BC6cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以l

13、cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，试判定四边形AFCE的形状并说明理由；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形【答案】见解析【解析】解：（1）四边形AFCE是平行四边形理由：AGBC，EADDCF，AEDDFC，D为AC的中点，ADCD，在ADE和CDF中，ADECDF（AAS），DEDF四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CFACAE6，则此时的时间t616（s）【点睛】（1）由题意得到ADCD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AA

14、S即可得证ADECDF，由该全等三角形的性质和平行四边形的判定定理推知四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CFACAE6，由E的速度求出E运动的时间即可动点问题是中考的热点，应加强动点问题的训练三. 菱形的性质与判定1在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形2菱形的判定方法有两种，有两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，还有一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.3菱形的面积由两种计算方法：平行四边形的面积公式：底高；两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.拓展：任何一个对角线

15、互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.4菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 典例1（2018春丹东期末）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点下列结论：EGEF； EFGGBE； FB平分EFG；EA平分GEF；四边形BEFG是菱形其中正确的是_【答案】【解析】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：E、F分别是OC、OD的中点，EFCD，且EFCD，四边形ABCD为平行四边形，ABCD，且ABCD，FEGBGE（两直线平行，内错角相等），点G为AB的中点，BG=12AB=12CDFE，在EF

16、G和GBE中，EFGGBE（SAS），即成立，EGFGEB，GFBE（内错角相等，两直线平行），BD2BC，点O为平行四边形对角线交点，BOBDBC，E为OC中点，BEOC，GPAC，APGEPG90GPBE，G为AB中点，P为AE中点，即APPE，且GP=12BE，在APG和EGP中，AP=EPAPG=EPGGP=GP，APGEPG（SAS），AGEG=12AB，EGEF，即成立，EFBG，GFBE，四边形BGFE为平行四边形，GFBE，GP=12BE=12GF，GPFP，GFAC，GPEFPE90在GPE和FPE中，GP=FPGPE=FPEEP=EP，GPEFPE（SAS），GEPFEP，

17、EA平分GEF，即成立故答案为：【点睛】由中点的性质可得出EFCD，且EF=12CDBG，结合平行即可证得结论成立，由BD2BC得出BOBC，即而得出BEAC，由中线的性质可知GPBE，且GP=12BE，AOEO，通过证APGEPG得出AGEGEF得出成立，再证GPEFPE得出成立，此题得解解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等典例2（2018春滁州期末）在ABC中，ABC90，BD为AC边上的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连接BG，DF（1）求证：BDDF；（2）求证：四边形BDFG为菱

18、形；（3）若AG5，CF，求四边形BDFG的周长【答案】见解析【解析】解：（1）证明：AGBD，CFBD，CFAG，又D为AC的中点，DF=12AC，又BDAC，BDDF，（2）证明：BDGF，BDFG，四边形BDFG为平行四边形，又BDDF，四边形BDFG为菱形，（3）设GFx，则AF5x，AC2x，在RtAFC中，（2x）2（5x）2，解得：x12，x2=-163（舍去），GF2，菱形BDFG的周长为8【点睛】（1）利用平行线的性质得到CFA90，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，（2）利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用（1）得结论即可得证，（

19、3）设GFx，则AF5x，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可典例3（2018春抚顺期末）如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EFAB，分别交AC、BC于点E、F，作PQAC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G（1）求证：四边形AQPE是菱形（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半【答案】见解析【解析】解：（1）证明：EFAB，PQAC，四边形AEPQ为平行四边形，BADEPA，ABAC，

20、AD平分CAB，CADBAD，CADEPA，EAEP，四边形AEPQ为菱形（2）结论：四边形EQBF是平行四边形四边形AQPE是菱形，ADEQ，即AGQ90，ABAC，AD平分BAC，ADBC即ADB90，EQBC，EFQB，四边形EQBF是平行四边形（3）P为EF中点，即AP=23AD时，S菱形AEPQ=12S四边形EFBQ四边形AEPQ为菱形，ADEQ，ABAC，AD平分BAC，ADBC，EQBC，又EFAB，四边形EFBQ为平行四边形作ENAB于N，如图所示：则S菱形AEPQEPEN=12EFENS四边形EFBQ【点睛】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD

21、平分BAC和PEAQ可证EAPEPA，得出AEEP，即可得出结论；（2）只要证明EQBC，EFAB即可；（3）S菱形AEPQEPh，S平行四边形EFBQEFh，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EPEF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ=12S四边形EFBQ巩固练习1（2018春海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（）A（0，5）B（0，6）C（0，7）D（0，8）【答案】A【解析】解：A（12，13），OD12，AD13，四边形ABCD是菱形，CDAD13，在RtODC中，OC

22、=CD2-OD2=132-122=5，C（0，5）故选：A2（2018春柘城县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC8cm，BD6cm，DHAB于点H，且DH与AC交于点G，AG=74cm，则GH的长为（）A2825cmB2120cmC2815cmD2521cm【答案】B【解析】解：四边形ABCD是菱形，对角线AC8cm，BD6cm，AO4cm，BO3cm，在RtAOB中，AB5cm，12BDACABDH，DH=245cm，在RtDHB中，BHcm，则AHABBH=75cm，GH=AG2-AH2=(74)2-(75)2=2120cm故选：B3（2018春南京期末）如图，在菱形ABCD中，

23、A60，点E、F分别为AD、DC上的动点，EBF60，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A逐渐增加B逐渐减小C保持不变且与EF的长度相等D保持不变且与AB的长度相等【答案】D【解析】解：连接BD，四边形ABCD是菱形，ABADCD，A60，ABD是等边三角形，ABBD，ABD60，DCAB，CDBABD60，ACDB，EBF60，ABE+EBDEBD+DBF，ABEDBF，在ABE和DBF中，ABEDBF（AAS），AEDF，AE+CFDF+CFCDAB，故选：D4（2018春安国市期末）如图，点O是AC的中点，将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形

24、OBCD，则图中阴影部分的面积是（）A1cm2B2cm2C3cm2D4cm2【答案】A【解析】解：由平移的性质得，ABCDOECF，且AOOC=12AC，故四边形OECF的面积是ABCD面积的，即图中阴影部分的面积为1cm2故选：A5（2018春永康市期末）如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EGAB于G，已知12，则下列结论：AEBE；BFAD；AC2BF；CEBF+BG其中正确的结论是（）ABCD【答案】A【解析】解：连接DB交AC于OABCD为菱形ADCB，ADAB，ACBD，AOCO，DACCAB1DAC，且12CAB2AEBE故正确AEBE，EGABAGGBAB

25、F是AD中点AF=12ADAFAG，且DACCAB，AEAEAEFAEG，AFEAEG90BFAD 故正确ABAB，AFBAOB，2CABAFBABOBFAOACAC2BF 故正确2+CAB+CAD90且2CABCAD2CABCAD30BO=12ABBG且EBEBRtEGBRtEOBEGEOCECO+EOBF+EG故错误故选：A6（2018春房山区期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形则小米的依据是_【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形【解析】解：AC的垂直平

26、分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，AOCO，AOMCON，ADBC，AMOCNO，在AOM和CON中AMO=CNOAOM=CONAO=CO AOMCON（AAS）AMCN，又AMCN，四边形AMCN是平行四边形，又MNAC，四边形AMCN是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）故答案为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形7（2018春嘉兴期末）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，A60，连结DF，则DF的长为_【答案】37【解析】解：延长FG交AD于点M，过点D作DHAB交AB于点H，交GF的延长线于点N，四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，GFBE，EFAM，四

27、边形AMFE是平行四边形，AMEF2，MFAEAB+BE5+27，DMADAM523，A60，DAH30，MN=12DM=32，DN=MD2-MN2=332，NFMFMN=112，在RtDNF中，DF，故答案为：378（2018春天津期末）如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，BEAF60，（1）求证：BAECEF；（2）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想BAE与CEF的大小关系，并给予证明【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在图（1）中，连接AC四边形ABCD是菱形，ABBC，ABCD，CA平分BCDB60，ABC是等边三角

28、形，BBAC60，ABACABCD，ACDBAC60，BACD60EAF60，BAE+EACEAC+CAF60，BAECAF在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），AEAF，AEF为等边三角形，AEF60，CEF+AEB120BAE+AEB120，BAECEF（2）BAECEF在图（2）中，连接AC，由（I）知：ABCACD60，EAFBAC60，ABAC，ABEACF120，BAECAF在ABE和ACF中，ABEACF（AAS），AEAF，AEF为等边三角形，AEF60，AEB+CEF60AEB+BAEABC60，BAECEF9（2018春遵义期末）如图，已知点P为ACB平分线上的一点，

29、ACB60，PDCA于D，PECB于E点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM（1）求证：DMME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：点P为ACB平分线上的一点，ACPBCP30，PDCA于D，PECB于E，PDPE，在RtDCP和RtECP中，RtDCPRtECP，CDCE，在DCM和ECM中CD=CEDCM=ECMCM=CM，DCMECM，DMME；（2）当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形理由如下：DCP30，PC2PD，CPD60，PDPE，MDME，当DMDP时，PDPEM

30、DME，则四边形DMEP为菱形，此时PDM为等边三角形，PDPM，CMPM，当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形10（2018春怀远县期末）如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF（1）求证：BAFDAF，AFDCFE；（2）若ABCD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得EFDBCD，并说理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在ABC和ADC中，ABCADC，BACDAC，在ABF和ADF中，ABFADF，AFBAFD，CFEAFB，AFDCFE，BAFDAC，AFDCFE；（2）ABCD，BACACD，BACDAC，BACACD，DACACD，ADCD，ABAD，CBCD，ABCBCDAD，四边形ABCD是菱形；（3）四边形ABCD是菱形，BCCD，BCFDCF，CFCF，BCFDCF，CBFCDF，BECD，BECDEF90，EFDBCD