初中八年级数学重点学习课件：矩形（知识点串讲）(解析版).doc

1、专题08 矩形知识网络重难突破一. 矩形的性质矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 矩形的四个角都是直角；（BAD=ADC=DCB=CBA=90）矩形的对角线相等；（AC=BD）对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在RtADC中，DO为斜边AC的中线，则DO=12AC）拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.典例1（2018春全椒县期末）如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，将矩形沿AC折叠，点D

2、落在点E处，且CE与AB交于F，那么SACF为（）A12B15C6D10【答案】D【解析】解：四边形ABCD是矩形，B90，ABCD，DCABAC，矩形沿AC折叠，点D落在点E处，ACDACE，DCAECA，BACECA，AFCF，设AFCFx，则BF8x，在RtBCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2CF2，即42+（8x）2x2，解得：x5，AF5，SACF=12AFBC=125410故选：D【点睛】由矩形的性质得出B90，ABCD，得出DCABAC，由折叠的性质得出ACDACE，得出DCAECA，因此BACECA，证出AFCF，设AFCFx，则BF8x，根据勾股定理得出方程：42+（8x

3、）2x2，解方程求出AF，即可得出结果本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键典例2（2018春建昌县期末）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO若COB60，FOFC，则下列结论：AOECOF；EOBCMB；FBOC，OMCM；四边形EBFD是菱形；MB：OE3：2.其中正确结论的个数是（）A5B4C3D2【答案】B【解析】解：四边形ABCD是矩形，ABCD，OCFOAE，O为AC的中点，AOCO，在AOE和COF中OAE=OCFAO=COAOE=C

4、OF，AOECOF，正确；连接BD，四边形ABCD是矩形，ACBD，AC、BD互相平分，O为AC中点，BD也过O点，OBOC，COB60，OBOC，OBC是等边三角形，OBBCOC，OBC60，在OBF与CBF中BF=BFFO=FCOB=BC，OBFCBF（SSS），OBF与CBF关于直线BF对称，FBOC，OMCM；正确，OBC60，ABO30，OBFCBF，OBMCBM30，ABOOBF，ABCD，OCFOAE，OAOC，易证AOECOF，OEOF，OBEF，四边形EBFD是菱形，正确，EOBFOBFCB，EOBCMB错误错误，OMBBOF90，OBF30，MB=OM33，OF=OM32，

5、OEOF，MB：OE3：2，正确；综上可知其中正确结论的个数是4个，故选：B【点睛】由矩形的性质和全等三角形的判定方法即可证明AOECOF；根据已知得出OBFCBF，可求得OBF与CBF关于直线BF对称，进而求得FBOC，OMCM；因为EOBFOBFCB，故EOB不会全等于CBM先证得ABOOBF30，再证得OEOF，进而证得OBEF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；根据三角函数求得MB和OF的长，根据OEOF即可求得MB：OE的值本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型典例3（2018

6、春滨江区期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BEAC于点E，DF平分ADC，交EB的延长线于点F，BC6，CD3，则BEBF为（）A23B34C25D35【答案】C【解析】证明：四边形ABCD为矩形，ACBD，ADC90，OAOD，COD2ADO，又BEAC，EOB+EBO90，EBOBDF+F，2ADO+BDF+F90，又DF平分ADC，ADO+BDF=12ADC45，2ADO+BDF+F45+CDO+F90，ADO+F45，又BDF+ADO45，BDFF，BFBD，ACBF，BC6，CD3，AD6，BFAC=62+32=35，SABC=12ACBEABBC，BE=3635，BE

7、BF=6535=25，故选：C【点睛】由矩形的性质可得COB2CDO，EBOBDF+F，结合角平分线的定义可求得FBDF，可证明BFBD，结合矩形的性质可得ACBF，根据三角形的面积公式得到BE，于是得到结论本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用典例4（2018春宝山区期末）如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，如果ABE、ECF、FDA的面积分别刚好为6、2、5，那么矩形ABCD的面积为_【答案】20【解析】解：设ABCDa，ADBCb,SABE6,12ABBE6,BE=12a,ECb-12a,SEFC2,12

8、ECCF2,CF=4aab-12,DFa-4aab-12,SADF5,12ADDF5,b（a-4aab-12）10,（ab）226ab+1200,ab20或ab6（不合题意舍去）,矩形ABCD的面积为20.故答案为20.【点睛】设ABCDa，ADBCb，根据三角形的面积依次求出BE，EC，CF，DF的长度，再根据ADF面积为5，可列方程，可求ab的值，即可得矩形ABCD的面积此题考查了面积与等积变换的知识以及直角三角形与矩形的性质此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用典例5（2017秋镇江期末）如图，长方形ABCD中，AB6，BC4，在长方形的内部以CD边为斜边任意作RtCDE，连

9、接AE，则线段AE长的最小值是_【答案】2【解析】解：如图，取CD的中点F，连接AF，当A，E，F共线时则AE最短，则DF=1263，在长方形ABCD中，ADBC4，由勾股定理得，AF=AD2+DF2=42+32=5，F是RtCDE斜边CD的中点，EF=12CD=1263，AEAFEF532，即线段AE长的最小值是2故答案为：2【点睛】取CD的中点F，连接AF，利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12CD，当A，E，F三点共线时AE的长最小，然后根据AEAFEF计算即可得解本题考查了矩形的对边相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股

10、定理的应用，判断出AE最短时的情况是解题的关键典例6（2018春青山区期末）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AB与CD上，点G、H在对角线AC上，AGCH，BEDF（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）若EGEH，AB8，BC4求AE的长【答案】见解析【解析】解：（1）矩形ABCD中，ABCD，FCHEAG，又CDAB，BEDF，CFAE，又CHAG，AEGCFH，GEFH，CHFAGE，FHGEGH，FHGE，四边形EGFH是平行四边形；（2）如图，连接EF，AF，EGEH，四边形EGFH是平行四边形，四边形GFHE为菱形，EF垂直平分GH，又AGCH，EF垂直平分AC，AFC

11、FAE，设AEx，则FCAFx，DF8x，在RtADF中，AD2+DF2AF2，42+（8x）2x2，解得x5，AE5【点睛】（1）依据矩形的性质，即可得出AEGCFH，进而得到GEFH，CHFAGE，由FHGEGH，可得FHGE，即可得到四边形EGFH是平行四边形；（2）由菱形的性质，即可得到EF垂直平分AC，进而得出AFCFAE，设AEx，则FCAFx，DF8x，依据RtADF中，AD2+DF2AF2，即可得到方程，即可得到AE的长此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用注意准确作出辅助线是解此题的关键典例7（2018春长丰县期末）如图，矩形ABCD中，A

12、B9，AD4E为CD边上一点，CE6点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE设点P运动的时间为t秒（1）求AE的长；（2）当t为何值时，PAE为直角三角形？【答案】见解析【解析】解：（1）矩形ABCD中，AB9，AD4，CDAB9，D90，DE963，AE=DE2+AD2=32+42=5；（2）若EPA90，t6；若PEA90，（6t）2+42+52（9t）2，解得t综上所述，当t6或t=23时，PAE为直角三角形.【点睛】（1）在直角ADE中，利用勾股定理进行解答；（2）需要分类讨论：AE为斜边和AP为斜边两种情况下的直角三角形；本题考查了矩形的性质，综合勾股定理

13、，直角三角形的性质等知识点，要注意分类讨论，以防漏解典例8（2018春繁昌县期末）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（ABBC）的对角线交点O旋转（如图），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图（三角板的一直角边与OD重合）中，BN2CD2+CN2；在图（三角板的一直角边与OC重合）中，CN2BN2+CD2请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由（2）试探究图中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由【答案】见解析【解析】（1）选，证明：

14、连接DN，四边形ABCD是矩形，OBOD，DON90，BNDN，BCD90，DN2CD2+CN2，BN2CD2+CN2；（2）证明：延长NO交AD于点P，连接PM，MN，四边形ABCD是矩形，ODOB，ADBC，DPOBNO，PDONBO，在BON和DOP中NBO=PDOBNO=DPOOB=OD，BONDOP（AAS），ONOP，BNPD，MON90，PMMN，ADCBCD90，PM2PD2+DM2，MN2CM2+CN2，PD2+DM2CM2+CN2，BN2+DM2CM2+CN2【点睛】（1）连接DN，根据矩形得出OBOD，根据线段垂直平分线得出BNDN，根据勾股定理求出DN的平方，即可求出答

15、案；（2）延长NO交AD于点P，连接PM，MN，证BNODPO，推出OPON，DPBN，根据线段垂直平分线求出PMMN，根据勾股定理求出即可本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生的猜想能力和推理能力，题目比较好，但是有一定的难度二. 矩形的判定矩形的判定方法：有一个角时直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形.典例1（2018春费县期末）如图，D，E是ABC中AB，BC边上的点，且DEAC，ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H则下列结论错误的是（）A若BGCH，则四边形BH

16、CG为矩形B若BECE时，四边形BHCG为矩形C若HECE，则四边形BHCG为平行四边形D若CH3，CG4，则CE2.5【答案】C【解析】解：ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H，HCG90，ECGACG；DEACACGHGCECGECEG；同理：HEEC，HEECEG=12HG；若CHBG，HCGBGC90，EGBEBG，BEEG，BEEGHEEC，CHBG是平行四边形，且HCG90，CHBG是矩形；故A正确；若BECE，BECEHEEG，CHBG是平行四边形，且HCG90，CHBG是矩形，故B正确；若HEEC，则不可以证明则四边形BHCG为平行四边形，故C错误；若CH3，C

17、G4，根据勾股定理可得HG5，CE2.5，故D正确故选：C【点睛】由ACB角平分线和它的外角的平分线分别交DE于点G和H可得HCG90，ECGACG即可得HEECEG，再根据A，B，C，D的条件，进行判断本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，关键是灵活这些判定解决问题典例2（2018春北海期末）如图，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交ACB、外角ACD的平分线于点E，F（1）若CE4，CF3，求OC的长（2）连接AE、AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由【答案】见解析【解析】（1）证明：EF交ACB的平分线于点E，交AC

18、B的外角平分线于点F，OCEBCE，OCFDCF，EFBC，OECBCE，OFCDCF，OECOCE，OFCOCF，OEOC，OFOC，OEOF；OCE+BCE+OCF+DCF180，ECF90，在RtCEF中，由勾股定理得：EF=CE2+CF2=5，OCOE=12EF2.5；（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AOCO，EOFO，四边形AECF是平行四边形，ECF90，平行四边形AECF是矩形【点睛】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出OECOCE，OFCOCF，证出OEOCOF，ECF90，由勾股定理求

19、出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出ECF90是解题关键三. 矩形的判定与性质1矩形的性质：边：对边平行且相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相平分且相等；对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形性质的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2矩形的性质：典例1（2018春岚山区期末）在ABC中，AB12，AC5，BC13，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则PM的最小值为_【答案】3013【解

20、析】解：连接AP，AB2+AC2169，BC2169AB2+AC2BC2BAC90，且PEAB，PFAC四边形AEPF是矩形APEF，EPF90又M是EF的中点PM=12EF当EF值最小时，PM值最小，即当AP值最小时，PM值最小根据 垂线段最短，即当APBC时AP值最小此时SABC=12ABAC=12BCAPAP=6013EF=6013PM=3013故答案为3013【点睛】根据题意可证ABC是直角三角形，则可以证四边形AEPF是矩形，可得APEF，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半，可得APEF2PM，则AP值最小时，PM值最小，根据垂线段最短，可求AP最小值，即可得PM的最小值本题考查了

21、矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，以及垂线段最短，关键是证EFAP典例2（2018春如皋市期末）如图，矩形ABCD中，CEBD于E，CF平分DCE与DB交于点F（1）求证：BFBC；（2）若AB4cm，AD3cm，求CF的长【答案】见解析【解析】证明：（1）四边形ABCD是矩形，BCD90，CDB+DBC90CEBD，DBC+ECB90ECBCDBCFBCDB+DCF，BCFECB+ECF，DCFECF，CFBBCF，BFBC.（2）四边形ABCD是矩形，DCAB4（cm），BCAD3（cm）在RtBCD中，由勾股定理得BD=AB2+AD2=42+32=5又BDCEBCDC，CE=BCDCBD

22、=125BE=BC2-CE2=32-(125)2=95EFBFBE3-95=65CF=CE2+EF2=(125)2+(65)2=655cm【点睛】（1）要求证：BFBC只要证明CFBFCB就可以，从而转化为证明BCEBDC就可以；（2）已知AB4cm，AD3cm，就是已知BCBF3cm，CD4cm，在直角BCD中，根据三角形的面积等于12BDCE=12BCDC，就可以求出CE的长要求CF的长，可以在直角CEF中用勾股定理求得其中EFBFBE，BE在直角BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，

23、灵活运用已知，理清思路，解决问题典例3（2018秋临渭区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB4cm，BC6cm，B60，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？【答案】见解析【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形ADBF，DEFCFE，EDCFCD，G是CD的中点，GDGC，GEDGFC，DECF，而DECF，四边形CEDF是平行四边形，（2）当AE4cm时，四边形CEDF是矩形理由：作APBC于P，AB4cm

24、，B60，BP2cm，四边形ABCD是平行四边形，CDEB60，DCAB4cm，ADBC6cm，AE4cm，DE2cmBP，ABPCDE，CEDAPB90，平行四边形CEDF是矩形，当AE4cm时，四边形CEDF是矩形当AE2时，四边形CEDF是菱形理由：AE2cm，AD6cmDE4cmDC4cm，CDEB60CDE是等边三角形DECE平行四边形CEDF是菱形当AE2时，四边形CEDF是菱形【点睛】（1）证CFGEDG，推出FGEG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）证明PBAEDC，推出CEDAPB90，即可得出答案；证明CDE是等边三角形，推出CEDE，即可得出答案本题考查了平行四边形的

25、性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形巩固练习1（2018春邢台期末）如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，150，则2的度数为（）A30B40C50D60【答案】C【解析】解：作BFa，3150，四边形ABCD是矩形，ABCBCD90，440，BFa，ab，BFb，5440，218059050，故选：C【点睛】作BFa，根据矩形的性质得到ABCBCD90，根据平行线的性质计算本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是90是解题的关键2（2018春滦县期末）如图，过矩形ABCD的对角线BD上

26、一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是（）AS1S2BS1S2CS1S2D无法确定【答案】B【解析】解：PQAB，MNAD四边形AMDN、PQCD、AMKP、QCNK、MBQK均是矩形SMKBSBKQ，SPDKSNDK，SADBSCDBS1SDABSMKBSPDK，S2SCDBSBKQSDNKS1S2故选：B【点睛】由PQAB、MNAD可知图中的四边形均为矩形，根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，可知SMKBSBKQ，SPDKSNDK，SADBSCDB，又因为S1SDABSMKBSPDK，S2SCDBSBKQSDNK，

27、所以S1S2根据已知可知图中所有的四边形都是矩形，利用矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分即可推出结论3（2018春资阳期末）如图，在ABC中，C90，AC6，BC8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PEAC于点E，PFBC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A1.2B2.4C2.5D4.8【答案】D【解析】解：连接PC，PEAC，PFBC，PECPFCC90，四边形ECFP是矩形，EFPC，当PC最小时，EF也最小，即当CPAB时，PC最小，AC6，BC8，AB10，PC的最小值为：线段EF长的最小值为4.8故选：D【点睛】连接PC，当CPAB时，PC最小，利用三角形面积解答即可本题

28、主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答4（2018春临西县期末）如图，矩形ABCD中，DEAC于E，且ADE：EDC3：2，则BDE的度数为（）A36B18C27D9【答案】B【解析】解：已知ADE：EDC3：2ADE54，EDC36，又因为DEAC，所以DCE903654，根据矩形的性质可得DOC18025472所以BDE180DOCDEO18故选：B【点睛】本题首先根据ADE：EDC3：2可推出ADE以及EDC的度数，然后求出ODC各角的度数便可求出BDE本题考查的是三角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般5（2018春张家港市期末）如图，矩形ABCD中，

29、AB2，BC4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则DCE的面积为（）ABC2D1【答案】B【解析】解：四边形ABCD是矩形，CDAB2，ADBC4，EO是AC的垂直平分线，AECE，设CEx，则EDADAE4x，在RtCDE中，CE2CD2+ED2，即x222+（4x）2，解得：x，即CE的长为52，DE4-52=32，所以DCE的面积2，故选：B【点睛】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AECE，设CEx，表示出ED的长度，然后在RtCDE中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的

30、点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键6（2018春宜宾期末）如图，平行四边形ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若ACD的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_【答案】4【解析】解：在ABCD中，ACD的面积为4，ABC的面积为4，SABC=12ACAE4，ACAE8，矩形AEFC的面积为8，阴影部分两个三角形的面积和844，故答案为：4【点睛】根据平行四边形的对角线把平行四边形分成的两个三角形的面积相等求出ABC的面积，再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式求出矩形的面积，然后求解即可本题考查了

31、矩形的性质，平行四边形的性质，根据三角形的面积求出矩形的面积是解题的关键，也是本题的难点7（2018春婺城区期末）如图，矩形ABCD中，AB8，点E是AD上的一点，有AE4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，GE5，则FO的长是_【答案】4【解析】解：矩形ABCD，AB8，AE4，A90，BE=AE2+AB2=45，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，EO，G是CD的中点，DGGC，在EDG与FCG中D=FCG=90DG=GCDGE=FGC，EDGFCG，EGGF5，EF10，在RtEFO中，OF=EF2-OE2=102-(25)2=45故答案为：

32、4【点睛】根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质得出EO的长，进而利用三角形全等得出EF的长，最后利用勾股定理得出FO即可此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质、勾股定理解答8（2018春庐阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（8，0），（0，3），OD5，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_【答案】（1，3）或（4，3）【解析】解：过P作PMOA于M，（1）当OPOD时，如图1所示：OP5，CO3，由勾股定理得：CP4，P（4，3）；（2）当ODPD时如图2所示：PDDO5，PM3，由勾股定理得：MD4，CP541或CP9（不

33、合题意），P（1，4）综上，满足题意的点P的坐标为（1，3）、（4，3）故答案为：（1，3）或（4，3）【点睛】根据当OPOD时，以及当ODPD时，分别进行讨论得出P点的坐标此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键9（2018春增城区期末）如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB6，BC8，点P为AD边上的一个动点，PEAC于点E，PFBD于点F，则PE+PF_【答案】【解析】解：连接OP，在直角ABD中，AB6，AD8，BD10，AOOD5，AOD的面积是 矩形ABCD的面积=148612即ODP的面

34、积+AOP的面积12，AOPE+12ODPF3，5（PE+PF）12，解得：PE+PF故答案为【点睛】连接OP，首先求得AOD的面积，根据AOD的面积ODP的面积+AOP的面积AOPEODPF，即可求解本题考查矩形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用面积法解决问题，属于中考常考题型10（2018春洛阳期末）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，AB4，BC8，P是边AD上一动点（不与A、D重合）（1）PO的延长线交BC于Q求四边形AQCP是平行四边形；（2）连接BP、DQ，四边形BPDQ能否成为菱形？若能，请直接写出此时AP的长；若不能，请说明理由【答案】见解析【解析】证

35、明：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，DACBCA，APQCQP，O是矩形ABCD对角线AC的中点，AOCO且DACBCA，APQCQP，AOPCOQ，APCQ且APCQ，四边形AQCP是平行四边形.（2）若四边形BPDQ为菱形，AQCQAP，BQ8CQ8AQ，在RtABQ中，AQ2AB2+BQ2，AQ216+（8AQ）2，AQ5，AP5.11（2018春黄陂区期末）如图，在矩形ABCD中，AF平分BAD交BC于E，交DC延长线于F，点G为EF的中点，连结DG（1）求证：BCDF；（2）连BD，求BD：DG的值【答案】见解析【解析】证明：（1）四边形ABCD为矩形，ADBC，BADADC9

36、0，AF平分BAD，DAF45，ADDF，BCDF；（2）连接CG，BG，点G为EF的中点，GFCG，FBCG45，在BCG与DFG中，BCGDFG（SAS），BGDG，CBGFDG，BDG为等腰直角三角形，BDDG，BD：DG：112（2018春沙坪坝区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BEDF（1）求证：AECF；（2）若AB3，AOD120，求BC的长度【答案】见解析【解析】解：（1）矩形ABCD，ADBC，ADBC，ADBCBD，BEDF，BDBEBDDF即DEBF，在ADE和CBFAD=BCADB=CBDDE=BF，ADECBF，AECF（2

37、）四边形ABCD是矩形，ACBD，DO=12BD，AODO，ADB=12(180-AOD)=12(180-120)=30，在RtADB中，BD2AB6，13（2018春洪山区期末）如图，在四边形ABCD中，BC，点E，F分别在边AB，BC上，AEDFDC（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当FDC与EFB满足数量关系_时，四边形AEFD是矩形【答案】见解析【解析】解：（1）证明：DFDC，DFCC，BCDFCB，AEDF，AEDF，四边形AEFD是平行四边形（2）结论：当FDC2EFB时，四边形AEFD是矩形；2DFC+FDC180，FDC2EFB，2DFC+2EFB180，DFC+EFB90，DFE1809090，四边形AEFD是平行四边形，四边形AEFD是矩形故答案为：FDC2EFB