初中八年级数学重点学习课件:勾股定理的逆定理(知识点串讲)(解析版).doc
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1、专题04 勾股定理的逆定理知识网络重难突破一. 勾股定理的逆定理1勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为a、b、c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”,是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.典例1满足下列条件的ABC,不是直角三角形的是()Ab2c2a2Ba:b:c3:4:5CCABDA:B:C9:12:15【答案】D【解析】解:b2c2a2则b2a2+c2ABC是直角三角形;a:b:c3:4:5,设a3x,b4x,c5x,a2+b2c2,ABC是直角三角形;CAB,则BA+C,B90,ABC是直角三角形;A:B:C9:12:15,
2、设A、B、C分别为9x、12x、15x,则9x+12x+15x180,解得,x5,则A、B、C分别为45,60,75,ABC不是直角三角形;故选:D典例2如图,在四边形ABCD中,B90,ABBC2,AD1,CD3(1)求DAB的度数;(2)求四边形ABCD的面积【答案】见解析【解析】解:(1)连接AC,B90,ABBC2,BAC45,AD1,CD3,AD2+AC2=12+(22)2=9,CD29,AD2+AC2CD2,ADC是直角三角形,DAC90,DABDAC+BAC135(2)在 RtABC中,SABC=12BCAB=1222=2,在 RtADC中,SADC=12ADAC=12122=2
3、S四边形ABCD=SABC+SADC=2+2【点睛】(1)由于B90,ABBC2,利用勾股定理可求AC,并可求BAC45,而CD3,DA1,易得AC2+DA2CD2,可证ACD是直角三角形,于是有CAD90,从而易求BAD;(2)连接AC,则可以计算ABC的面积,根据AB、BC可以计算AC的长,根据AC,AD,CD可以判定ACD为直角三角形,根据AD,CD可以计算ACD的面积,四边形ABCD的面积为ABC和ADC面积之和解题的关键是连接AC,并证明ACD是直角三角形典例3如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的四个顶点都在格点上,请按要求完成下列各题(1)线段AB的长为_,BC
4、的长为_,CD的长为_;(2)连接AC,通过计算说明ACD和ABC是什么特殊三角形【答案】见解析【解析】解:(1)由勾股定理得:AB=22+12=5,BC=32+42=5,CD=22+22=22;故答案为:5,5,22;(2)AC=22+42=25,AD22+42=25,ACAD,ACD是等腰三角形;AB2+AC25+2025BC2,ABC是直角三角形【点睛】(1)把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可;(2)根据勾股定理的逆定理求出ACAD,即可判断ACD的形状;由勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形典例4如图,在四边形ABCD中,ABC90,AB3,BC4,CD
5、5,DA52,求BD的长【答案】见解析【解析】解:作DMBC,交BC延长线于M,如图所示:则M90,DCM+CDM90,ABC90,AB3,BC4,AC2AB2+BC225,AC5,AD52,CD5,AC2+CD2AD2,ACD是直角三角形,ACD90,ACB+DCM90,ACBCDM,ABCM90,在ABC和CMD中ACB=CDMABC=MAC=CD=5 ABCCMD,CMAB3,DMBC4,BMBC+CM7,BD,【点睛】作DMBC,交BC延长线于M,由勾股定理得出AC2AB2+BC225,求出AC2+CD2AD2,由勾股定理的逆定理得出ACD是直角三角形,ACD90,证出ACBCDM,得
6、出ABCCMD,由全等三角形的性质求出CMAB3,DMBC4,得出BMBC+CM7,再由勾股定理求出BD即可本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理;熟练掌握全等三角形的判定与性质,由勾股定理的逆定理证出ACD是直角三角形是解决问题的关键二. 勾股数1勾股数:满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数 注意:勾股数必须是正整数.2常见的几组勾股数:3、4、5; 5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41注意:如果是勾股数,当为正整数时,以为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.典例1阅读:所谓勾股数就是满足方程x2+y2z2的正整数解,即
7、满足勾股定理的三个正整数构成的一组数我国古代数学专著九章算术一书中,在历史上第一次给出该方程的解为x=12(m2n2),ymn,z=12(m2+n2),其中mn0,m、n是互质的奇数应用:已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数,其中一边长为37,且n5,求该直角三角形另两边的长【答案】见解析【解析】解:n5x(m252),y5m,z=12(m2+25)直角三角形的一边长为37分三种情况讨论,当x37时,12(m252)37解得m311(不合题意,舍去)当y37时,5m37,解得m=375(不合题意舍去);当z37时,37=12(m2+n2)解得m7,mn0,m、n是互质的奇数m7把m7代入得,
8、x12,y35综上所述:当n5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,35【点睛】讨论:当x37时,利用12(m252)37计算出m,然后分别计算出y和z;当y37时,利用5m37,解得m=375,不合题意舍去;当z37时,利用37=12(m2+n2)求出m7,从而得到当n5时,一边长为37的直角三角形另两边的长本题考查了勾股数:满足a2+b2c2 的三个正整数,称为勾股数其中三个数必须是正整数三. 勾股定理的应用1解勾股定理实际问题的一般步骤:仔细审题,读懂题意;找出或构造出与问题有关的直角三角形;在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程;求解所列算式或方程,直接或间接得到答案;作
9、答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.2求立体图形表面的最短路径关键点:解决有关立体图形中路线最短的问题,其关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题如圆柱侧面展开图为长方形,圆锥侧面展开图为扇形,长方体侧面展开图为长方形等运用平面上两点之间线段最短的道理,利用勾股定理求解典例1如图,已知某学校A与直线公路BD相距3000米,且与该公路上一个车站D相距5000米,现要在公路边建一个超市C,使之与学校A及车站D的距离相等,那么该超市与车站D的距离是多少米?【答案】见解析【解析】解:根据题意得:ACCD,ABD90在直角三角形ABD中,AB3000,AD5000,B
10、D=AD2-AB2=4000(m),设CDACx米,BC4000x(米),在RtABC中,AC2AB2+BC2,即x230002+(4000x)2解得:x3125,答:该超市与车站D的距离是3125米【点睛】根据题意,ACCD,ABD90,由AB、AD的长易求BD,设CDx米,则ACx,BCBDx在直角三角形ABC中运用勾股定理得关系式求解典例2如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行几米?【答案】见解析【解析】解:如图,设大树高为AB10m,小树高为CD4m,过C点作CEAB于E,则EBDC是矩形,连接AC,EB4m,EC
11、8m,AEABEB1046m,在RtAEC中,ACAE2+EC2=10(m),答:小鸟至少飞行10米【点睛】根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所行的路程最短,运用勾股定理可将两点之间的距离求出典例3生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的,则梯子比较稳定,如图1,AB为一长度为6米的梯子(1)当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到5.7米高的墙头吗?(2)如图2,若梯子底端向左滑动(32-2)米,那么梯子顶端将下滑多少米?【答案】见解析【解析】解:(1)设梯子放平稳时,可以到达x米高的墙头,得x262(613)2解得:x42或x42,5.7232
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