初中八年级数学重点学习课件：重点专题突破（知识串讲）（解析版）.doc

1、专题15 重点专题突破知识网络重难突破一. 直角三角形斜边中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在RtABC中，DO为斜边AC的中线，则BO=12AC）拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.典例1如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，AB表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A下滑时，OP增大B上升时，OP减小C无论怎样滑动，OP不变D只要滑动，OP就变化【答案】C【解析】解：AOBO，点P是AB的中点，OP=12AB，在滑动的过程中OP的长度不变故选：C【点睛】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得O

2、P=12AB本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键典例2 已知：如图，在ABC中，CDAB垂足为D，BEAC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点求证：GFDE【答案】见解析【解析】证明：连接DG、EGCDAB，点G是BC的中点，在RtBCD中，DG=12BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）同理，EG=12BCDGEG（等量代换）F是DE的中点，GFDE 【点睛】作辅助线（连接DG、EG）构建RtBCD和RtBCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DGEG=12BC，从而判定DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线

3、合一”的性质推知GFDE本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键 二. 一次函数与不等式一次函数与一元一次不等式的关系：（1）从数的角度看，求一元一次不等式kx+b0或kx+b0的解集就是求x为何值时，一次函数y=kx+b的函数值大于0或小于0从形的角度看，求一元一次不等式kx+b0或kx+b0的解集就是求直线y=kx+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标（2）一元一次不等式 (y1 ，是已知数，且y1 )的解集就是直线上满足y1 那条线段所对应的自变量的取值范围（3） ax+bcx+d

4、或ax+bcx+d（ac，且ac0）的解集就是y=ax+b的函数值大于或小于y=cx+d的函数值时自变量x的取值范围，也是直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方或下方时对应的横坐标的取值范围典例1（2018春朔州期末）如图，若一次函数ykx+b的图象与x轴交于点（2，0），与y轴交于点（0，3）下列结论：关于x的方程kx+b0的解为x2；y随x的增大而减小；关于x的方程kx+b3的解为x0；关于x的不等式kx+b0的解为x2其中所有正确的为（）ABCD【答案】A【解析】解：当一次函数ykx+b的图象与x轴的交于点（2，0），x2时，ykx+b0，所以正确；一次函数图象经过第二、四象限，y随x

5、的增大而减小，所以正确；一次函数ykx+b的图象与y轴交于点（0，3），x0时，ykx+b3，所以正确；当x2时，y0，关于x关于x的不等式kx+b0的解为x2，所以错误故选：A【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数ykx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合也考查了一次函数的性质典例2（2018春邻水县期末）如图所示，函数y1|x|和y2kx+b的图象相交于（1，1），（2，2）两点当y1y2时，x的取值范围是_【答案】x2或x1【解析】解：由函数

6、图象可知，当x2或x1时，函数y1|x|的图象落在y2kx+b的上方，当y1y2时，x的取值范围是x2或x1故答案为x2或x1【点睛】函数y1|x|的图象落在y2kx+b上方的部分对应的x的取值范围即为所求本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键典例3（2018春花都区期末）如图，一次函数ykx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，则不等式kx+b10的解集是_【答案】x0【解析】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，即y随x的增大而减小，一次函数ykx+b的图象与y轴交于点（0，1），当x0时，有kx+b10故答案为x0.【点睛】由一次函数ykx+b的图象过

7、点（0，1），且y随x的增大而减小，从而得出不等式kx+b10的解集本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键典例4（2018春如皋市期末）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：y，称点Q为点P的“可控变点”例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（1，2）的“可控变点”为点（1，2）根据定义，解答下列问题；（1）点（3，4）的“可控变点”为点_（2）点P1的“可控变点”为点P2，点P2的“可控变点”为点P3，点P3的“可控变点”为点P4，以此类推若点P2018的坐标为（3，a），则点P1的坐标为_（3）若点

8、N（a，3）是函数yx+4图象上点M的“可控变点”，求点M的坐标【答案】见解析【解析】解：（1）x30，根据“可控变点”的定义可得，点（3，4）的“可控变点”为点（3，4），故答案为：（3，4）；（2）当x0时，点P1（x，y）的“可控变点”为点P2（x，y），点P2（x，y）的“可控变点”为点P3（x，y），点P3（x，y）的“可控变点”为点P4（x，y），点P4（x，y）的“可控变点”为点P5（x，y），故每四次变化出现一次循环；当x0时，同理可得每四次变化出现一次循环；20184504+2，当点P2018的坐标为（3，a），则点P1的坐标为（3，a），故答案为：（3，a）；（3）由题意知

9、，点M的横坐标为a当a0时，a0，此时点M（a，3）代入yx+4，得3a+4，a1，符合题意，点M的坐标为（1，3）；当a0时，a0，此时点M（a，3）代入yx+4，得3a+4，a7，不合题意，舍去综上所述，点M的坐标为（1，3）【点睛】（1）依据“可控变点”的定义可得，点（3，4）的“可控变点”为点（3，4）；（2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点P2018的坐标为（3，a），则点P1的坐标为（3，a）；（3）分两种情况讨论：当a0时，a0；当a0时，a0，分别把点M的坐标代入函数yx+4即可得到结论本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义

10、“可控变点”，解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断三. 平行四边形的性质与判定1平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形2平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.典例1 （2017春林甸县期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD6，BC16，E是BC的中点点

11、P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动点P停止运动时，点Q也随之停止运动当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形【答案】见解析【解析】解：E是BC的中点，BECE=12BC8.当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：3t86t，解得：t3.5；当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：83t6t，解得：t1，当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形【点睛】分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案此题考查了梯形的性质以及

12、平行四边形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用典例2（2018春市中区期末）如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD、BFCG又作平行四边形CFHD、CGKE求证：H，C，K三点共线【答案】见解析【解析】证明：如图，连接DE交AC于N，连接EG交KC于M，连接DF交CH于Q，连接FG交BC于J，连接MN，NQ，QJ，JM，DG四边形AECD是平行四边形，ENND，同法可证：EMMG，MNDG，MN=12DG，同法可证：QJDG，QJ=12DG，MNQJ，MNQJ，四边形MNQJ是平行四边形，NJ与MQ互相

13、平分，ACBC，ANCN，CJBJ，M、C、Q共线，H，C，K三点共线【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型典例3（2017春肥城市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，ADAC，ADAC，E是AB的中点，F是AC延长线上的一点（1）若EDEF，求证：EDEF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）在（1）的条件下，若BC的延长线交DF于点Q，连接QA与QE试说明QAQE【答案】见解析【解析】解：

14、（1）证明：在ABCD中，ADAC，ADAC，ACBC，ACBC，连接CE，E是AB的中点，AEEC，CEAB，ACEBCE45，ECFEAD135，EDEF，CEFAED90CED，在CEF和AED中，CEFAED，EDEF；（2）由（1）知CEFAED，CFAD，ADAC，ACCF，DPAB，FPPB，CPABAE，四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知ACCF，CQAD，DQFQ，在RtDAF与RtDEF中，AQEQ=12DF【点睛】（1）根据平行四边形的想知道的ADAC，ADAC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CFAD，等量代换得

15、到ACCF，于是得到CP=12ABAE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）由（1）知ACCF，根据三角形的中位线的性质得到DQFQ，根据直角三角形的性质即可得到结论本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键典例4（2017春东城区期末）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OEOB，连接DE（1）求证：DEBE；（2）设CD与OE交于点F，若OF2+FD2OE2，CE3，DE4，求线段CF的长【答案】见解析【解析】解：（1）证明：平行四边形ABCD，OBODO

16、BOE，OEODOEDODEOBOE，OBEOEBOBE+OEB+ODE+OED180，OEB+OED90DEBE；（2）OEOD，OF2+FD2OE2，OF2+FD2OD2OFD为直角三角形，且OFD90在RtCED中，CED90，CE3，DE4，CD2CE2+DE2CD5又12CDEF=12CEDE，在RtCEF中，CFE90，CE3，EF=125，根据勾股定理得：CF=95【点睛】（1）先根据平行四边形的性质，得出ODOB，再根据OEOB，得出OEOBOD，最后根据三角形内角和定理，求得OEB+OED90，即可得出结论（2）证明OFD为直角三角形，得出OFD90在RtCED中，由勾股定理

17、求出CD5由三角形面积求出在RtCEF中，根据勾股定理求出CF即可本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理是关键巩固练习1如图，ABC中，ABAC10，BC8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A28B20C14D18【答案】C【解析】解：ABAC，AD平分BAC，BC8，ADBC，CDBD=12BC4，点E为AC的中点，DECE=12AC5，CDE的周长CD+DE+CE4+5+514故选：C2（2018春鄄城县期末）已知一次函数ykx+b（k，b是常数，且k0），x与y

18、的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b0的解集是（） x210123y432101Ax0Bx0Cx2Dx2【答案】D【解析】解：当x2时，y0，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，故不等式kx+b0的解集是x2故选：D3如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CDBE，B40，那么BCE_度【答案】20【解析】解：连接DE，CE是ABC边AB上的中线，DE是ABD边AB上的中线，ADBC，DE=12ABBE，EDBB40，CDBE，CDDE，DECDCE=12EDB20，故答案为：204（2018春永安市期末）如图，一次函数yax+b的图象经过A（0，1）和B

19、（2，0）两点，则关于x的不等式ax+b1的解集是_【答案】x0【解析】解：当x0时，ax+b1，即不等式ax+b1的解集为x0故答案为：x05（2018春孝义市期末）如图，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点B（2，0），与y轴交于点A（0，5），与正比例函数ymx的图象交于点C，且点C的横坐标为43.（1）求一次函数ykx+b和正比例函数ymx的解析式；（2）结合图象直接写出不等式0kx+bmx的解集【答案】见解析【解析】解：（1）将A（0，5），B（2，0）代入ykx+b得：b=52k+b=0解得：一次函数的解析式为：y=-52x+5把x=43代入y=-52x+5解得：y=53点C的坐标

20、为（，）把C代入ymx得：m=54正比例函数的解析式为：y=54x（2）不等式0kx+bmx的解集即为0kx+b54x的解集由图可得：0kx+bx的解集为：x26在四边形ABCD中，ABCADC90，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EFBD【答案】见解析【解析】证明：如图，连接BE、DE，ABCADC90，E是AC的中点，BEDE=12AC，F是BD的中点，EFBD7（2017春楚雄州期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD12cm，BC15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同

21、时出发，设运动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示：AP_；DP_；BQ_；CQ_（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？【答案】见解析【解析】解：（1）t，12t，152t，2t（2）根据题意有APt，CQ2t，PD12t，BQ152tADBC，当APBQ时，四边形APQB是平行四边形t152t，解得t5t5s时四边形APQB是平行四边形；（3）由APtcm，CQ2tcm，AD12cm，BC15cm，PDADAP12t，如图1，ADBC，当PDQC时，四边形PDCQ是平行四边形即：12t2t，解得t4s，当t4s时，四边形PDCQ是平

22、行四边形8（2018春和平区期末）在ABCD中，（1）如图，若AB5，BC3，则ABCD的周长为_；若A70，则B的度数是_，C的度数是_；（2）如图，点E是ABCD外一点，连接DB并延长交CE于点F，且CFFE求证DFAE【答案】见解析【解析】解：（1）如图1中，四边形ABCD是平行四边形，ADBC3，ABCD5，ADBC，AC70，A+B180，B110，平行四边形ABCD的周长为16故答案为16，110，70（2）如图2中，连接AC交BD于O四边形ABCD是平行四边形，COOA，CFFB，OFAE，即DFAE9（2017春君山区期末）在ABCD和ADEF中，AB8，AF6，ABAF，M、

23、N分别是对角线AC、DF的中点，求MN的长【答案】见解析【解析】解：在ADEF中，连接AE，平行四边形的两条对角线互相平分，AE过M点，且 M是AE的中点连接EC，N是AC的中点，MN是ACE的中位线，在ABCD和ADEF中，ABAF，DCAB，DEAF，EDDC，CDE是直角三角形，AB8，AF6，DC8，DE6，CE=DE2+DC2=62+82=10，MNCE510（2018春顺德区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB5，AD3，E是AB上的一点，F是AD上的一点，连接BO和FO（1）当点E为AB中点时，求EO的长度；（2）求线段AO的取值范围；（3）当EOFO时，连接EF求证：BE+DFEF【答案】见解析【解析】解：（1）四边形ABCD为平行四边形，BCAD3，OAOC，点E为AB中点，OE为ABC的中位线，OEBC=32；（2）在ABC中，ABBCACAB+BC，而OAOC，532AO5+3，1AO4；（3）证明：延长FO交BC于G点，连接EG，如图，四边形ABCD为平行四边形，OBOD，BCAD，OBGODF，在OBG和ODF中，OBGODF，BGDF，OGOF，EOOF，EGEF，在BEG中，BE+BGEG，BE+FDEF