齐次线性方程组有非零解的条件课件.pptx

1、n维行向量(或行阵)：12,na aa n维或12,naaa ,.nCnR=ai=bi=(0,0,0)=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)，+=(a1+b1,a2+b2,an+bn),k =(ka1,ka2,kan),k R.=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)向量的运算向量空间：n维向量的全体及加法，数乘p.104 性质线性组合、线性方程组的向量形式12,ln 对对于于 维维向向量量组组如如果果存存在在一一组组数数12,lk kk1122,llkkk 12,l 12,l 线性组合的全体.1212,:,llL 121,1lliiiiLkkKil 1122121212(1,0

2、,0)(0,1,0)(0,0,1)(,0,0)(0,0)(0,0,)(,)=解:=nnnnnaaaaaaaaaa aa (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)12n12n1122.nnaaa求求 注：可由 线性表出。,12n向量的线性表示与线性方程组的关系 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 mnnnnmmaaaaaaaaa21222122121111,21 nxxxX mbbbb21.bAX 结论：1122,nnxxxb 12(,),nXb 或或401101011110321),(T TT TT TA 0101111

3、04011 2510011104011 252325100010001.252325321 所以，所以，例 将=(1,0,-4)T 用 1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T 线性表出.解12345123113,1,5,3221223 m ,.,21s ,.,2112,.,m 12,.,s 加推论1,2,31,1,2,ljijiiajs 1112121222121212,.,sssllllsaaaaaaaaa 12,l 12,.,s 12112212()llllkkkkkk 定义I 等价定义IIm ,.,21mkkk,.,21使得0.2211 mmkkk m ,.,2

4、1，注：注：)11111(),00011(),00001(21 n 0.2211 mmxxx ）或或0(AXm ,.,21 mA 21 mmmmmmmaaaaaaaaa21222122121111,若上述结论如何？，注：此时矩阵为方阵 mA 21 m ,.,21线性相关mAR)(0 Am ,.,21线性无关0.2211 mmxxx m ,.,21mAR)(：mmmmmmmaaaaaaaaa21222122121111,若 mA 21 m ,.,21mAR)(0 A齐次线性方程组只有零解齐次线性方程组只有零解系数矩阵的列向量线性无关系数矩阵的列向量线性无关m ,.,21mnm ,.,21m ,.

5、,21，sjamiiijj,2,1,1 s ,.,21123,112223313,m ,.,21 ,.,21m则 可由m ,.,21m ,.,21m ,.,21若 可由m ,.,21，sjamiiijj,2,1,1 smijaA )(sAR)(s ,.,21s ,.,21()=R Assjamiiijj,2,1,1 Ams .2121 12.s 0).().(.21212211 AXXxxxmsss sxxxX21的.m ,.,21s .2112,.,s 12,.,tst则则 必线性相关。必线性相关。12,.,s 12,.,s 12,.,tst且 线性无关，则12,.,s 12,.,s 12,

6、.,t则则 =s t12,.,s 12,.,s且 线性无关，则 线性无关，且这两组向量等价。12,.,s 12,.,s isii ,.,21isii ,.,21则称 组isii ,.,21m ,.,21isii ,.,21向量组的秩注:(1)(1)向量组的极大无关组不是唯一的向量组的极大无关组不是唯一的.(2(2)单个零向量构成的向量组无极大线性无关组单个零向量构成的向量组无极大线性无关组.(3 3)不全是零向量的不全是零向量的向量向量组一定有极组一定有极大大线性无关线性无关组组.(4)4)向量组本身与其极大无关组等价向量组本身与其极大无关组等价.(5)(5)同一向量组的两个极大无关组间是等价

7、同一向量组的两个极大无关组间是等价的，所含的，所含向量的个数一样向量的个数一样.(4)(4)向量向量组组中中的任一个非零向量都可扩充为一个极大的任一个非零向量都可扩充为一个极大线性无关组线性无关组.mr ,.,21 mrm ,.,21m ,.,21 mrm ,.,21m ,.,2112,.,s m ,.,21 1212,.,.,smrr 则 rrm ,.,21，,211 212 21,21,1212(,)(,)01rr 或或1212(,.,)=r(,.,)str 12,.,s 12,.,t 12,.,s 12,.,t 1211(,)=rllsr 122(,)=rlr 21 rlrs 向量组的秩

8、与矩阵秩的关系123451101212136,0112401115 1234511012121360112401115 1234510101011020001300000 1234511012121360112401115 R(A)R(B)R(A+B)R(A B)R(A)R(B).R(AB)minR(A),R(B).(3)的证明 设R(A)=r,R(B)=s,所以存在可逆矩阵P，Q 使得 000sEPBQ 0000C1C21C1CECPBQAPABQs 进行分块进行分块对矩阵对矩阵记为矩阵记为矩阵1()()()R AR APR C 例 设A为mn矩阵，B为nm矩阵，nm,证明：(AB)X=0有

9、非零解。证明 显然AB为mm方阵，另外一方面，()min(),()R ABR A R Bnm因此 AB的 m个列向量线性相关，即(AB)X=0 有非零解。齐次线性方程组有非零解的条件齐次线性方程组有非零解的条件11112212112222112200 (1)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xaxaxaxax v若记111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 12nxxxx 111221221212,nnxxxxXXxx1122k Xk X 齐次线性方程组解的结构基础解系注12345123450320 xxxxxxxxxx 123450 xxxxx 11121212

10、22120rrrrrraaaaaaDaaa1,11,1,10010000rnr rr nccccB 12,rrnxxx11,111,22122,112,222,11,22(3)rrrrnnrrrrnnrr rrr rrrnnxcxcxc xxcxcxc xxcxcxc x11,111,221,11,2211rrrrnnrr rrr rrrnnrrnnxcxcxc xxcxcxc xxxxxx111211212100010001rrnr rr rr nnccccccxxx1,11,21,1,212,100010001rrnr rr rrnn rcccccc 100010001122121111n

11、rnnrrrrrrccxccxccxxrnrnxxx 2211。系。123412341234030230 xxxxxxxxxxxx 111111131123A110100120000124342xxxxx 24,xx1110,0201 1211100201kk sAAB 21 12nB 00021 sAAA 00021sAAA n 2111221233233 321,321,例非非 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组若记 mnnmmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 nmmmnnaaaaaaaaaA212222111211 nxx

12、xX21 nbbbb21非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构性质1 设 都是非齐次线性方程组的解，则 是其对应齐次线性方程组的解。21,21 性质2 设 是非齐次线性方程组的解，是对应齐次线性方程组 Ax0 的解，则 仍是非齐次线性方程组的解。X X X非齐次线性方程组的通解（一般解）可表示为 其中 为任意实数,是非齐次线性方程组的一个解（称为特解）,是 对应齐次线性方程组Ax=0 的基础解系。02211 rnrnkkkrnkkk,21rn ,210 12341234123423135322223xxxxxxxxxxxx 213132321231112311315320540121

13、22305401123110540100002rrrrrrB 1234123411234203123xxxxxxxxxxxx 213111110111101113100241111123001222rrrrB 13232211101210012200000rrrrr 1243412122xxxxx 24,xx 11221213241110002010 xxxkkxx 12,k k1110,0201 121200 123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax 4132124231111011110012210122101320132321101231111

14、1010111012210122100101001010001000010rrrrrrrrBababaaababaa 1）当a1时，R(A)=R(B)=4，这时原方程组有唯一解 011132124321xabxabaxaabx1342341221xxxxxx 12121234111122,010001xxkkk kRxx 其其中中0 AXA0)(AXAXAXAXAX=0 n R(A)=nR(AA)1111221,222112222,221122,2200 (1)0nnnnnnnnna xa xaxa xa xaxa xaxax TnnnnTnTnbbbbbbbbb221222212212111

15、,1111221,222112222,221122,2200 (2 0)nnnnnnnnnb yb ybyb yb ybyb yb yby TnnnnTnTnbbbbbbbbb221222212212111,0 TAB0 TBA TnnnnnTnTnaaakaaakaaak22122221222121111,其中可k1，k2，kn为任意实数。rn ,21rnrn *,*,*,2211rnrncccc 22110*1210 rncccc*0*110 rnrnkkk rnrn *,*,*,22110*)(1110 rnrnrnkkkkk rn ,21010 rnkkk01 rnkk，010 rnkkkrn ,2100 krn ,21*)(*)(*)(*2211 rnrncccrnrncccc 22110*rncccc 21011210 rncccc即