高等代数第四章-矩阵课件.ppt
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《高等代数第四章-矩阵课件.ppt》由用户(三亚风情)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 第四 矩阵 课件
- 资源描述:
-
1、1第四章 矩阵 1 1、矩阵概念的一些背景、矩阵概念的一些背景 矩阵是线性代数中最基本的概念之一,也矩阵是线性代数中最基本的概念之一,也是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武器之一。器之一。-2第四章 矩阵 矩阵在密码学中的应用实例古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码:在保留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下,把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第4个字母。人们为了纪念恺撒德,就把这种密码称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷,即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密文出现的频率是相通的。1929 年,Hill 提出了一种克服恺撒密码缺陷
2、的密码,该密码以矩阵变换的方法建立字母组间的对应关系,该方法的诞生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新阶段。-3第四章 矩阵 化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题,但是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种原子的个数,排列成的数字表称为化学反应矩阵。-4第四章 矩阵 定义1 由 个数排成的 行 列的数表nm mn njmiaij,2,1;,2,1 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为 矩阵矩阵.nm 矩阵的定义简记为 .ijnmijnmaaAA ,m nA这个数称为 的元素 简称为元.-5第四章 矩阵 例1 3
3、4695301是一个 实矩阵,42 2222222613i是一个 复矩阵,33 例2 n维向量也可以看成矩阵的特殊形式:n维维行向量行向量就是就是1n矩阵;矩阵;n维维列向量列向量就是就是n1矩阵。矩阵。-6第四章 矩阵 设设A(aij)mn,B(bij)lk,如果,如果ml,nk,且,且对于对于i1,2,m;j1,2,n,都成立,都成立,称称AB。如 9532是一个 矩阵,41 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例4ijija=b -7第四章 矩阵 2 2、矩阵的运算、矩阵的运算1、加法加法定义1设设 111212122212nnijsnsssnaaaaaa
4、Aaaaa 111212122212nnijsnsssnbbbbbbBbbbb -8第四章 矩阵 则则 111112121121212222221122ijijijsnsnnnnnsssssnsnCcabababababababababab 称为称为A和和B的的和和,记为,记为CA+B。注注 1)矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数2)矩阵加法满足 结合律:A+(B+C)=(A+B)+C;交换律:A+B=B+A。-9第四章 矩阵 3)元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为Osn或或O。对于所有的矩阵A,都有A+OA。4)矩阵 称为矩阵A的负矩阵,记为-A。则有A+(
5、-A)O。111212122212nnsssnaaaaaaaaa5)矩阵的减法定义为 ABA(-B)6)秩(AB)秩(A)秩(B)-10第四章 矩阵 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.例1 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 -11第四章 矩阵 引例 1 变量组之间的关系设有三组变量 x1,x2,x3,x4、y1,y2,y3、z1,z2,它们之间的关系分别为)1(.,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax2、乘法
6、 -12第四章 矩阵 )2(,232131322212122121111zbzbyzbzbyzbzby求 x1,x2,x3,x4与 z1,z2之间的关系.把(2)代入(1),得31kkikiyax2131jjkjkikzba2131jjkjikkzba3121kjkjikjzba -13第四章 矩阵 )3(.)4,3,2,1(3121izbajkkjikj如果用21)4()4,3,2,1(jjijiizcx来表示 x1,x2,x3,x4 与 z1,z2 之间的关系,比较(3),(4)两式,就有)5(.)2,1;4,3,2,1(31jibackkjikij -14第四章 矩阵 设某地区有甲、乙、
7、丙三个工厂,每个工厂都产 品工 厂甲乙丙 20 30 10 45 15 10 70 2020 15 35 25产量(单位:个)如下表所示:生产、4种产品.已知每个工厂的年 -15第四章 矩阵 已知每种产品的单价(元/个)和单位利润(元/个)如下表所示:项 目产 品单 价单位利润 100 20 150 45 300 120 200 60求各工厂的总收入与总利润.-16第四章 矩阵 容易算出各工厂的总收入与总利润,也项 目工 厂总收入总利润甲乙丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775本例中的三个表格可用三个矩阵表示,设,677519750103502800056501
8、5500602001203004515020100253515202070101545103020,C,BA可以列表如下:-17第四章 矩阵 定义21 1221nijijijinnjikkjkca ba ba ba b.ABC iksnAakjnmBbijsmCc设,那么矩阵其中称为A与B的乘积,记为例222263422142 C22 16 32 816?-18第四章 矩阵 注 1)两个矩阵相乘,必须第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。2)计算法则:两个矩阵A与B乘积的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B第j列的对应元素乘积的和。3)矩阵乘法满足;AB CA BC(1)
9、结合律,A BCABAC;BC ABACA(2)分配律 -19第四章 矩阵 4)矩阵乘法不满足交换律,即一般来说ABBA例如 设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故5)矩阵乘法不满足消去律,即当 时,不一定有 ;ABACBC 因为由上例可以看到,两个不为零的矩阵的乘积可以是零。-20第四章 矩阵 100010001 定义3 主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的nn矩阵称为n级单位矩阵,记为 ,简记为E。nE显然有snnsnssnsnA EAE AA特别的,如果 ,则称 可交换.ABBA,A B -21第四章 矩阵 11kkAAAA A定义4 设A是一
10、nn矩阵,则A的方幂定义为由乘法结合律有注 1)方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。2)一般来说klk llkklA AAAAkkkABA B -22第四章 矩阵 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若令若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbBAXB方程组变成方程组变成 -23第四章 矩阵 例3 设101211300514A 034121311121B则034101212111303110514121CAB 567102621710 -24第四章 矩阵 3、数量乘法数量乘法
11、定义5 矩阵111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka()ijmnAakkA称为矩阵与数 的数量乘积,记作。注 1)用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k。2)数量乘法满足(1)kl AkAlA(2)k ABkAkB -25第四章 矩阵 (4)1AA(5)k ABkABA kB(6)kAkE AA kE(7)kElEkl E(8)kElEkl E(3);kl Ak lA定义矩阵000000kkkEk 通常称为数量矩阵。-26第四章 矩阵 4、转置定义6 设111212122212nnsssnaaaaaaAaaa11211122212ssnnnsnaaaaaaAa
12、aa 所谓A的转置就是指矩阵 -27第四章 矩阵 注 1)sn矩阵的转置是ns矩阵。2)矩阵的转置满足(1)AA(2)ABAB(3)ABB A(4)kAkA例如122458A1425;28A 18 6B18.6B -28第四章 矩阵 例4 已知已知,102324171,231102 BA.AB求解法1 102324171231102AB,1013173140 01714 133 10AB -29第四章 矩阵 解法2ABB A 213012131027241.1031314170 -30第四章 矩阵 3 3、矩阵乘积的行列式与秩、矩阵乘积的行列式与秩1、乘积的行列式乘积的行列式定理1 设A,B是
13、数域P上的两个nn矩阵,那么即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积。ABA B推论1 设 是数域P上的nn矩阵,于是1212mmA AAA AA12,mA AA -31第四章 矩阵 定义1 数域P上的nn矩阵A称为非退化的,如果 ;0A 推论2 否则称为退化的。设A,B是数域P上nn矩阵,矩阵AB为退化的充分 必要条件是A,B 中至少有一个是退化的。2、矩阵乘积的秩矩阵乘积的秩设A,B分别是数域P上nm和ms矩阵,于是定理2即乘积的秩不超过各因子秩。秩(AB)min秩(A),秩(B)12,tAA AA推论3 如果那么秩(A)秩(Aj)1minj t -32第四章 矩阵 如果矩阵如果矩阵B
14、满足满足ABBAE,那么,那么B就称为就称为A的的逆矩阵逆矩阵,记为,记为A-1。n级方阵矩阵级方阵矩阵A称为称为可逆可逆的,如果有的,如果有n级方阵级方阵B,使得使得 ABBAE这里这里E为为n级单位矩阵。级单位矩阵。4 4、矩阵的逆、矩阵的逆定义7定义81、矩阵的逆的定义注注 1)由矩阵乘法法则,只有方阵才有逆矩阵;2)若 是可逆矩阵,则它的逆矩阵是唯一的.A -33第四章 矩阵 例如 设111122,111122AB,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB2、逆矩阵的求法定义9111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 设设Aij是矩阵是矩阵中元素中元素aij的代的
15、代数余子式,矩阵数余子式,矩阵11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 为为A的的伴随矩阵伴随矩阵。-34第四章 矩阵 定理3 矩阵矩阵A是可逆的充分必要条件是是可逆的充分必要条件是A非退化,而非退化,而 1*10AAdAd 注注 1)由定理3可以看出,对于 n 级方阵A,B,如果 ABE,那么A,B就都是可逆并且它们互为逆 矩阵;2)定理3中给出了求逆矩阵的公式,但计算量一 般较大。推论如果矩阵如果矩阵A,B可逆,那么可逆,那么 与与AB也可逆,且也可逆,且A 11AA 111ABBA -35第四章 矩阵 1111,.AAAA若 可逆 则亦可逆 且总结 逆矩阵的运算性质 2
展开阅读全文