2020年高考理数一轮单元训练卷:第10单元空间向量在立体几何中的应用(提高卷).doc
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1、第10单元 空间向量在立体几何中的应用第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线与平面所成的角等于( )A120B30C60D60或30【答案】B【解析】设直线与平面所成的角为,则,故选B2若两个向量,则平面的一个法向量为( )ABCD【答案】A【解析】设平面ABC的法向量为,则,即,令,则,即平面ABC的一个法向量为,故选A3已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量不重合那么下列说法中:;正确的有( )A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】平面,不重合;平面,的法向量平行垂直
2、等价于平面,平行垂直,正确;直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面,都错误故选B4如图,平行六面体中,与交于点,设,则( )ABCD【答案】D【解析】,故选D5在正三棱柱中,若,则与所成角的大小为( )ABCD【答案】D【解析】由题意可得,平面,设,则,又,所以故,即,即与所成角的大小为故选D6已知在长方体中,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( )ABCD【答案】B【解析】在长方体中,是侧棱的中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,0,0,0,1,设平面的法向量为,则,取,得,设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角的正弦值为,故选B7已知,则
3、“”是“,构成空间的一个基底”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“”时,易得,不共面,即,能构成空间的一个基底,即“”是“,构成空间的一个基底”的充分条件;当,能构成空间的一个基底,则,不共面,设,共面,即,解得,即,即,能构成空间的一个基底时,m的取值范围为,即当,能构成空间的一个基底,不能推出,即“”是“,构成空间的一个基底”的不必要条件,综合得:“”是,构成空间的一个基底”的充分不必要条件,故选A8已知正四棱柱的体积为,底面ABCD的边长为1,则二面角的余弦值为( )ABCD【答案】C【解析】过D作于,连接AO,则就是二面角的平面
4、角正四棱柱的体积为,底面ABCD的边长为1,在中,可得,在中,故选C9在正方体中,点E是棱的中点,点F是线段上的一个动点有以下三个命题:异面直线与所成的角是定值;三棱锥的体积是定值;直线与平面所成的角是定值,其中真命题的个数是( )A3B2C1D0【答案】B【解析】以A点为坐标原点,AB,AD,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t,1,1-t),(0t1),可得=(1,1,1),=(t-1,1,-t),可得,故异面直线与所得角是定值,故正
5、确;三棱锥的底面面积为定值,且,点F是线段上的一个动点,可得F点到底面的距离为定值,故三棱锥的体积是定值,故正确;可得=(t,1,-t),=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为,可得不为定值,故错误;故选B10当动点在正方体的体对角线上运动时,异面直线与所成角的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】以为原点,分别为,轴正向,建立空间直角坐标系,则,设,则,故,对于函数,有:,故,又,故故选11三棱柱的侧棱与底面垂直,N是BC的中点,点P在上,且满足,当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时,的值为( )ABCD【答案】A【解析】如图,以AB,AC,分别为x,y,z轴
6、,建立空间直角坐标系,则0,平面ABC的一个法向量为,设直线PN与平面ABC所成的角为,当时,此时角最大故选A12如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC平面BCD,BAC与BCD均为等腰直角三角形,且BAC=BCD=90,BC=2,点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30的角,则线段PA长的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】以C为原点,CD为轴,CB为轴,过C作平面BCD的垂线为轴,建立空间直角坐标系,则,设,则,因为异面直线PQ与AC所成的角为,所以,即,所以,所以,解得,所以,即线段PA的长的取值范围是,故选B第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题
7、5分13若向量,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围为_【答案】【解析】因为与的夹角为钝角,所以且不同向,整理得当反向时,所以14已知在长方体中,E是侧棱的中点,则直线AE与平面所成角的正弦值为_【答案】【解析】在长方体中,是侧棱的中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设平面的法向量为,则,取,得,设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角的正弦值为15已知圆锥的顶点为,为底面中心,为底面圆周上不重合的三点,为底面的直径,为的中点设直线与平面所成角为,则的最大值为_【答案】【解析】以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则:,如图所示,由对称性不妨设且,则,
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