2.2直接证明与间接证明PPT优秀课件.ppt

1、直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.:.,证证明明与与间间接接证证明明直直接接证证明明方方法法我我们们将将学学习习两两类类基基本本的的本本节节加加以以证证明明辑辑推推理理的的方方式式须须通通过过逻逻数数学学结结论论的的正正确确性性必必科科学学的的显显著著特特点点这这正正是是数数学学区区别别于于其其他他是是需需要要证证明明的的确确性性合合情情推推理理所所得得结结论论的的正正我我们们知知道道综合法和分析法综合法和分析法1.2.2.,用用的的思思维维方方式式也也是是解解决决数数学学问问题题时时常常法法两两种种方方是是直直接接证证明明中中最最基基本本的的综综合合法法和和分分析析法法综合法综合法

2、1.abc4acbcba,0b,a:,2222求求证证已已知知例例如如结结论论通通过过推推理理推推导导出出所所要要的的义义、公公理理、定定理理等等出出发发某某些些数数学学定定我我们们经经常常从从已已知知条条件件和和在在数数证证明明中中.abc2cba,0a,bc2cb2222所以因为证明 .abc2acb,0b,ac2ac2222 所以又.abc4acbcba2222因此.methodlsynthetica,这这种种证证明明方方法法叫叫做做要要证证明明的的结结论论成成立立最最后后推推导导出出所所经经过过一一系系列列的的推推理理论论证证定定理理等等学学定定义义、公公理理、利利用用已已知知条条件件

3、和和某某些些数数一一般般地地综综合合法法.,果法果法又叫顺推证法或由因导又叫顺推证法或由因导综合法综合法:,Q,P表表示示为为则则综综合合法法可可用用框框图图表表示示所所要要证证明明的的结结论论等等定定义义、公公理理、定定理理表表示示已已知知条条件件、已已有有的的用用1QP 21QQ 32QQ QQn .ABC,c,b,a,C,B,A,c,b,aC,B,A,ABC1为等边三角形为等边三角形求证求证成等比数列成等比数列成等差数列成等差数列且且对应的边分别为对应的边分别为三个内角三个内角中中在在例例;CAB2,C,B,A转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等差数列成等差数列将将分析分析这这是是个

4、个隐隐含含条条的的内内角角为为,ABCC,B,A;CBA,明确表示出来是明确表示出来是件件.acb,c,b,a2转化为符号语言就是转化为符号语言就是成等比数列成等比数列.,.,为工具进行证明可以用余弦定理于是余弦定理正好满足要求状进而判断三角形的形系步寻找角和边之间的关那么就可以进一来如果能把角和边统一起此时.CAB2,C,B,A有成等差数列由证明.CBA,ABCC,B,A所以的内角为因为.3B,得由.acb,c,b,a2有成等比数列由.accaBcosac2cab,22222 可得由余弦定理及,0ca,acacca,222即得再由.CA.ca从而有因此.ABC.3CBA,是等边三角形所以得由

5、.,.,出来出来表示表示把其中的隐含条件明显把其中的隐含条件明显还要通过细致的分析还要通过细致的分析形语言等形语言等或把符号语言转换成图或把符号语言转换成图转换成符号语言转换成符号语言如把文字语言如把文字语言往往先作语言转换往往先作语言转换解决数学问题时解决数学问题时分析法分析法.2.PP,P;PP,P,PQ,Q,Q,3222111为为止止、公公理理等等已已知知条条件件、定定理理、定定义义的的条条件件直直到到找找到到一一个个明明显显成成立立充充分分条条件件成成立立的的再再去去寻寻求求成成立立为为了了证证明明充充分分条条件件成成立立的的再再去去寻寻求求成成立立为为了了证证明明充充分分条条件件成成

6、立立的的即即使使成成立立的的条条件件寻寻求求保保证证反反推推回回去去出出发发还还经经常常从从要要证证明明的的结结论论证证明明数数学学命命题题时时 .0b,0aab2ba,就就用用了了上上述述方方法法的的证证明明基基本本不不等等式式例例如如,ab2ba,ab2ba只需证要证,ab2ba0 0只需证.0ba只需证.,0ba因此原不等式成立显然成立由于).methodanalytical(.)(,这这种种证证方方法法叫叫做做为为止止公公理理等等、已已知知条条件件、定定理理、定定义义定定一一个个明明显显成成立立的的条条件件判判把把要要证证明明的的结结论论归归结结为为直直到到最最后后的的充充分分条条件件

7、逐逐步步寻寻求求使使它它成成立立从从要要证证明明的的结结论论出出发发一一般般地地分析法分析法.,因法因法又叫逆推证法或执果索又叫逆推证法或执果索分析法分析法:,Q为为则分析法可用框图表示则分析法可用框图表示表示要证明的结论表示要证明的结论用用1PQ 21PP 32PP 成立的条件成立的条件得到一个明显得到一个明显 .SCAF.F,SCE,E,SBA,BCAB,ABCSA,12.22求证求证垂足为垂足为垂线垂线的的作作过过垂足为垂足为的垂线的垂线作作过过平面平面所示所示如图如图例例ABCSEF12.2图图.,.,件件当当前前命命题题成成立立的的充充分分条条寻寻求求使使逐逐步步反反推推可可以以从从

8、结结论论出出发发这这时时较较困困难难因因而而用用综综合合法法比比它它们们确确定定如如何何在在证证明明中中使使用用我我们们不不容容易易垂垂直直条条件件较较多多中中本本例例所所给给的的已已知知条条件件分分析析.,垂垂直直的的问问题题转转化化为为证证明明直直线线与与平平面面的的问问题题线线互互相相垂垂直直通通常常可可以以把把证证明明两两条条直直在在立立体体几几何何中中ABCSEF12.2图图.EFSC,AESC,AEFSC;BCAF,SBAF,SBCAF.AEFSCSBCAF,成立成立需要证需要证面面平平要证要证成立成立要证要证需需平面平面证证要要平面平面证证或或平面平面证证可以考虑可以考虑在本例中

9、在本例中 .AEFSC,AEFSC)SCEF(F,SCE这个方向努力这个方向努力平面平面可以朝证明可以朝证明因此因此一个一个所需要的两个条件中的所需要的两个条件中的平面平面已经满足了已经满足了为符号语言就是为符号语言就是转化转化垂足为垂足为的垂线的垂线作作过过而已知条件而已知条件 ABCSEF12.2图图,AEFSCSCAF平面只需证要证证明 ,SBCAE平面只需证,SABBC平面只需证.SCAF,.,ABCSA 所以上式成立可知平面由),(SCAE因为只需证),(BCAE因为只需证),(SABC因为只需证.,.,新新认认识识你你对对这这两两种种证证明明方方法法的的说说说说回回顾顾以以往往的的

10、数数学学学学习习它它们们各各自自的的特特点点说说出出行行比比较较请请对对综综合合法法与与分分析析法法进进思思考考.,QP.P,;Q,:,下下面面来来看看一一个个例例子子成成立立就就可可以以证证明明结结论论成成立立可可以以推推出出若若由由得得到到中中间间结结论论的的结结构构特特点点去去转转化化条条件件根根据据结结论论得得到到中中间间结结论论点点去去转转化化结结论论根根据据条条件件结结构构特特和和分分析析法法结结合合起起来来使使用用我我们们经经常常把把综综合合法法在在解解决决问问题题时时事事实实上上 .tan12tan1tan1tan1:,sincossin,sin2cossin,Zk2k,322

11、222 求证求证且且已知已知例例 .1sin2sin42,1cossin2cossin,.,2222 得得由由于是于是系系发现其中蕴含数量关发现其中蕴含数量关点点观察已知条件的结论特观察已知条件的结论特已知条件中消去已知条件中消去因此第一步工作可以从因此第一步工作可以从现角现角发现结论中没有出发现结论中没有出比较已知条件和结论比较已知条件和结论分析分析 .,)sin(cos21sincos,1sinsin4,sincos21sincos.,:,1sin2sin4222222222222到到目目的的就就能能达达弦弦中中的的角角的的余余弦弦转转化化为为正正发发现现只只要要把把比比较较再再与与把把结

12、结论论转转化化为为弦弦函函数数余余把把正正切切函函数数化化为为正正即即名名称称数数函函一一统统论论于于是是尝尝试试转转化化结结但但函函数数名名称称不不同同角角相相同同发发现现与与结结论论相相比比较较把把 .1sin2sin4,1cossin2cossin222 可得代入上式把所以因为证明 .tan12tan1tan1tan1,2222 要证另一方面.cossin12cossin1cossin1cossin122222222 即证 ,sincos21sincos2222 即证 ,sin2121sin2122 即证.1sin2sin422 即证.,于是问题得证相同由于上式与:,Q,P程程可可用用框

13、框图图表表示示为为则则上上述述过过表表示示要要证证明明的的结结论论用用等等理理、公公理理表表示示已已知知条条件件定定义义、定定用用m1mn1nQQPP 1PP 21PP 1QQ 21QQ 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到

14、，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁

15、的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 9

16、9.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜

17、的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆

18、有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，

19、也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那

20、个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金