5.5基本不等式课件(人教A版选修4-5).ppt

1、（一）、基本不等式（一）、基本不等式不等式的性质不等式的性质(对称性或反身性对称性或反身性)1、abbaabbcac，abacbcabcdacbd，(传递性传递性)(可加性可加性)移项法则移项法则2、(同向可相加同向可相加)2答案答案3答案答案3、基本不等式、基本不等式2222如果a，bR，那么a+b 2ab，如果a，bR，那么a+b 2ab，当且仅当a=b时等 当且仅当a=b时等定理1：定理1：号成立。号成立。几何解释几何解释22ba ab（基本不等式）（基本不等式）a+ba+b 如果a，b0，那么ab，如果a，b0，那么ab，2 2 当且仅当a=b时等 当且仅当a=b时等定理2：定理2：号

2、成立。号成立。算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数几何解释几何解释OabDabACB 可以用来求最值可以用来求最值(积定和小积定和小，和定积大和定积大)注：一正、二定、三等。注：一正、二定、三等。课堂练习：课堂练习：),(2211222Rbababaabba总结：总结：当且仅当ba 时取等号变形式：变形式：abbaab2),(22222Rbababaab),(222Rbabaab例例 1求证求证:(1)在所有周长相同的矩形中在所有周长相同的矩形中,正方正方 -形的面积最大形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中在所有面积相同的矩形中,正方正方 -形的周长最短形的周长最短.xyS周长周长L

3、=2x+2y设矩形周长为设矩形周长为L,面积为面积为S,一边长为一边长为x,一边长为一边长为y,例例2:某某居民小区要建一做八边形的休闲场所居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体它的主体造型平面图是由两个相同的矩形造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和和EFGH构成的构成的面积为面积为200平方米的十字型地域平方米的十字型地域.计划在正方形计划在正方形MNPQ上上建一座花坛建一座花坛,造价为每平方米造价为每平方米4200元元,在四个相同的矩形在四个相同的矩形上上(图中阴影部分图中阴影部分)铺花岗岩地坪铺花岗岩地坪,造价每平方米造价每平方米210元元,再再在四个空角在四个空角(图中四个三角形

4、图中四个三角形)上铺草坪上铺草坪,每平方米造价每平方米造价80元元.(1)设总造价为设总造价为S元元,AD长长 x 为米为米,试建立试建立S关于关于x的函数的函数关系式关系式;(2)当为何值时当为何值时S最小最小,并求出这个最小值并求出这个最小值.QDBCFAEHGPMN解解:设设AM=AM=y米米22200-42004xxyxyx因因而而 224200210 480 2Sxxyy于于是是010 2xx书 P7新课：三个正数的算术新课：三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式类比基本不等式得类比基本不等式得例例1 求函数求函数 在在 上的最大值上的最大值.(),211303 yxx注：一正、

5、二定、三等。注：一正、二定、三等。问题问题 求证求证:在表面积一定的长方体中在表面积一定的长方体中,以正以正方体的体积最大方体的体积最大.xyz vxyz解：设长方体的三边长解：设长方体的三边长度分别为度分别为x、y、z,则长则长方体的体积为方体的体积为222Sxyxzyz而而略略例例2:如图，把一块边长是如图，把一块边长是a 的正方形铁的正方形铁 片的各角切片的各角切 去大小相同的小正方形，去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？小时？才能使盒子的

6、容积最大？ax2(2)0)2vaxxax解解：依依 意 意有有 （题题3,()27x y zRxyzxyz已已知知，例例3：3：求证求证:OA|axa0 0关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离.证明证明:1:10.0.当当ab0 0时时,|,|()|(|)|22222222 ababababaabbaa bbabab2 20 0.当当ab00时时,|,|()|(|)|22222222222 ababababaabbaabbaa bbabab综合综合1 10 0,2,20 0知定理成立知定理成立.a b

7、ab ab a b ab a b ab 由这个图，你还能发现什么结论？由这个图，你还能发现什么结论？答案继续答案继续例例2 2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第这两个地点分别位于公路路碑的第1010公里公里和第和第2020公里处公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程要使两个施工队每天往返的路程之和最小之和最小,生活区应该建于何处生活区应

8、该建于何处?1010 x2020解：如果生活区建于公路路碑的第解：如果生活区建于公路路碑的第 x km km处，两处，两施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为S(S(x)km)km那么那么 S(S(x)=2(|)=2(|x-10|+|-10|+|x-20|)-20|)-230(10)()10(1020)230(20)xxS xxxx 2020404060601010202030300 010,S x所所以以（）的的最最小小值值是是答答:生活区建于两路碑生活区建于两路碑间的任意位置都满足条间的任意位置都满足条件件.方法一方法一:利用绝对值的几何意义观察；利用绝对值的几何意义观察；方

9、法二方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论需要分类讨论;方法三方法三:两边同时平方去掉绝对值符号两边同时平方去掉绝对值符号;方法四方法四:利用函数图象观察利用函数图象观察.这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.主要方法有主要方法有:0-1不等式不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于的解集表示到原点的距离小于1的点的集合的点的集合.1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1探索：不等式探索：不等式|x|1的解集的解集.方法一：方法一：利用绝对值的利用绝对值的几何意义几何意义观察观察当当x

10、0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1当当x0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x1，即，即x1 0 x1 1x0综合综合得，原不等式的解集为得，原不等式的解集为x|1x1方法二方法二:利用利用绝对值的定义绝对值的定义去掉绝对值符号去掉绝对值符号,需要需要分类讨论分类讨论探索：不等式探索：不等式|x|1的解集。的解集。对原不等式两边平方得对原不等式两边平方得x21 即即 x210即即(x+1)(x1)0即即1x1所以，不等式所以，不等式|x|1的解集为的解集为x|-1x1方法三：方法三：两边同时两边同时平方去掉绝对值平方去掉绝对值符号符号.从函数观点看，不等式从函数观点看，不等式|x|1

11、的解集表示函数的解集表示函数y=|x|的的图象位于函数图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的的图象下方的部分对应的x的取值范围的取值范围.oxy111y=1所以，不等式所以，不等式|x|1的的解集为解集为x|-1x1方法四：方法四：利用利用函数图象函数图象观察观察一般地，可得解集规律一般地，可得解集规律:形如形如|x|a(a0)的含绝对值的不等式的含绝对值的不等式的解集的解集:不等式不等式|x|a的解集为的解集为x|-axa的解集为的解集为x|xa 0-aa0-aa(1)|32|7x(4)1|34|6x2(2)|3|4xx(3)|32|1x试解下列不等式：试解下列不等式：课堂练习一：课堂练习

12、一：小小 结结 一一)()(xgxf)()(xgxf或或不等式不等式形如形如1答案答案2答案答案课堂练习课堂练习：2.2.试解不等式试解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5 解绝对值不等式关键是去绝对值符号解绝对值不等式关键是去绝对值符号,你有什么方法解决这个问题你有什么方法解决这个问题?还有没有其他方法还有没有其他方法?2.2.试解不等式试解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5方法一：方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数形结利用绝对值的几何意义，体现了数形结合的思想合的思想-2-21 12 2-3-3解解:|:|x-1|+|-1|+|x+2|=5+2|=5的解为的解

13、为x=-3=-3或或x=2=2所以原所以原不等式不等式的解为的解为 23x xx 或或方法小结方法小结2.2.解不等式解不等式|x-1|+|-1|+|x+2|5+2|5解：解：当当x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于x2 2x-211-(-(x-1)+(-1)+(x+2)+2)5 5x-21-21x-3-3x综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为23x xx或或3 3当当x-21)1)-(-(x-1)+(-1)+(x+2)-5 (-2+2)-5 (-2x1)1)-(-(x-1)-(-1)-(x+2)-5 (+2)-5 (x-2)1)1)-2 (-2-2 (-2x1)1)-2-2x

14、-6 (-6 (x-2)-2)令令f(x)=|)=|x-1|+|-1|+|x+2|-5,+2|-5,则则-3-31 12 2-2-2-2-2xy由图象知不等式的解集为由图象知不等式的解集为23x xx或或f(x)=)=方法三：方法三：通过构造函数，利用函数的图象，体现通过构造函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想了函数与方程的思想方法小结方法小结形如,xaxbc xaxbc不等式2.2.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|14.4.不等式不等式 有解的条件是有解的条件是 ()()43xxa()1B a ()1D a 1()10C a 1()010AaB B1

15、、教材、教材P20第第5，8题题aRx2104xxaaa5、已知，若关于的方程有实根，的取值范围是 则x34xxaa6、如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围10,41a 1.1.解不等式解不等式|2|2x-4|-|3-4|-|3x+9|1+9|22时，原不等式同解于时，原不等式同解于x223 3当当x-3-3时，原不等式同解于时，原不等式同解于2 2当当-3-3x2 2时，原不等式同解于时，原不等式同解于x-3-3-(2-(2x-4)+(3-4)+(3x+9)1+9)1(2(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)22-(2-(2x-4)-(3-4)-(3x+9)1+9)1x-32-32 x-13-13x6 62 25 5综合上述知不等式的解集为综合上述知不等式的解集为6135x xx 或或