[工学]数字信号处理课件第三章4离散傅里叶变换的性质.ppt

1、2022-7-30信号处理四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：10()()()()NnkNNnX kDFT x nx n WRk101()()()()NnkNNkx nIDFT X kX k WRnN2jNNWe其中：2022-7-30信号处理1、线性：,a b为任意常数这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且12max,NN N11()()X kDFT x n22()()XkDFT x n若1212()()()()DFT ax nbx naX kbXk则2022-7-30信号处理2、序列的圆周移位()()()mNNxnx nmR

2、n 定义：()()()x nx nx nm()mxn周期延拓移位取主值序列()Nx nm2022-7-30信号处理2022-7-30信号处理有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。()()()()mmNNXkDFT xnDFT x nmRn()mkNWX k()()()()NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证：()()NDFS x nm Rk()()mkNNWX k Rk()mkNWX k2022-7-30信号处理调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位2()()()()jnlnlNNNNIDFT XklRkW x nex n()()()()NNNIDFT

3、XklRkIDFT X kl Rk证：()()NIDFS X kl Rn()()()nlnlNNNW x n RnW x n2022-7-30信号处理21()cos()()()2NNNnlDFT x nXklXklRkN21()sin()()()2NNNnlDFT x nXklXklRkNj1()()()2NNNIDFTXklXklRkj证：1()()2nlnlNNWx nW x nj22()2jnljnlNNeex nj2()sinnlx nN2022-7-30信号处理3、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：()()()eox nx nx n*()()1/2()()eex n

4、xnx nxn*()()1/2()()oox nxnx nxn 其中：任意序列可表示成 和 之和:()ex n()ox n2022-7-30信号处理*1()()()2ex nx nxn*1()()()2ex nx nxn()Nx n*()NxNn2022-7-30信号处理其中：*()()1/2()()oox nxnx nxn*1/2()()NNx nxNn共轭反对称分量：*()()1/2()()eex nxnx nxn*1/2()()NNx nxNn共轭对称分量：()()()eox nx nx n任意周期序列：2022-7-30信号处理定义：()()()epopx nxnxn则任意有限长序列：

5、()()()opoNxnx n Rn*1/2()()()NNNx nxNnRn圆周共轭反对称序列：()()()epeNxnx n Rn*1/2()()()NNNx nxNnRn圆周共轭对称序列：2022-7-30信号处理圆周共轭对称序列满足：*()()()epepNNxnxNnRn Re()Re()()epepNNxnxNnRn实部圆周偶对称 Im()Im()()epepNNxnxNnRn 虚部圆周奇对称 ()()()epepNNxnxNnRn幅度圆周偶对称arg()arg()()epepNNxnxNnRn 幅角圆周奇对称 2022-7-30信号处理2022-7-30信号处理2022-7-30

6、信号处理圆周共轭反对称序列满足：*()()()opopNNxnxNnRn Re()Re()()opopNNxnxNnRn 实部圆周奇对称 Im()Im()()opopNNxnxNnRn虚部圆周偶对称()()()opopNNxnxNnRn幅度圆周偶对称 幅角没有对称性2022-7-30信号处理*()()()opopNNXkXNkRk*1/2()()()NNNXkXNkRk()()()epopX kXkXk同理：*1/2()()()NNNXkXNkRk*()()()epepNNXkXNkRk其中：2022-7-30信号处理 序列 DFT共轭对称性()()x nX kRe()()epx nXkIm(

7、)()opjx nXk()Re()epxnX k()Im()opxnjX k2022-7-30信号处理 序列 DFT实数序列的共轭对称性Re()()()epx nXkX kIm()0()0opjx nXk()Re()epxnX k()Im()opxnjX k2022-7-30信号处理纯虚序列的共轭对称性 序列 DFTRe()0()0epx nXkIm()()()opjx nXkX k()Re()epxnX k()Im()opxnjX k2022-7-30信号处理 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:11()()DFT x nX k22(

8、)()DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12()()()w nx njx n12()()()()W kDFT w nDFT x njx n则12()()DFT x njDFT x n12()()X kjXk2022-7-30信号处理1()Re()x nw n由得11()()Re()()epX kDFT x nDFTw nWk*1()()()2NNNWkWNkRk2()Im()x nw n由得221()()Im()()opXkDFT x nDFTw nWkj*1()()()2NNNWkWNkRkj2022-7-30信号处理()2DFT ()2DFT:()x nNNx nNX k例：设

9、是点实数序列，试用一次 点来计算的点()x n解：将按奇偶分组，令12()(2)0,1,.,1()(21)0,1,.,1x nxnnNx nxnnN12 ()()()w nx njx n构成一个复序列12()DFT()()()()w nNW kDFT w nX kjXk对进行一次 点运算 得12()()1()()epopX kWkXkWkjDFTN均为 点()2DFTX kN而是点?2022-7-30信号处理4、复共轭序列*()()()()()NNNNDFT x nXkRkXNkRk1*0()()()NnkNNnDFT x nx n WRk证：*10()()NnkNNnx n WRk*()()

10、NNXkRk*1()0()()NN k nNNnx n WRk*()()NNXNkRk2022-7-30信号处理 *NNDFT xnRnXk1*0()()()()NnkNNNNNnDFT xnRnxnRn W证：*10()NnkNNnxnW*10()NmkNNmx mW*10NnkNNnxnW*()Xkmn 令*10NnkNnx n W2022-7-30信号处理5、DFT形式下的Parseval定理11*001()()()()NNnkx n y nX k YkN*111*0001()()()()NNNnkNnnkx n y nx nY k WN证：11*001()()NNnkNknYkx n

11、WN1*01()()NkX k YkN2022-7-30信号处理11*001()()()()NNnkx n x nX k XkN1122001()()NNnkx nX kN即：()()y nx n令，则2022-7-30信号处理6、圆周卷积和1210()()()NNNmx m xnmRn12()()()Y kX kXk若1120()()()()()NNNmy nIDFT Y kx m xnmRn则12()()x nx nN设和都是点数为 的有限长序列1212max(,)NNNN NN（若不等，分别为、点，则取，对序列补零使其为 点）11()()DFT x nX k22()()DFT x nXk

12、2022-7-30信号处理12()()()()()Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若，则 1120()()Nmx m x nm1120()()()()()()NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120()()NNNmxmxnm1120()()NNmx m xnm2022-7-30信号处理圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加12()()x nx nN1120()()()()NNNmy nx m xnmRn1210()()()NNNmx m xnmRn21()()x nx nNN用 表示圆周卷积和2022-7-30信号处

13、理2022-7-30信号处理1524()(5)()()()x nn R nx nR n例：已知序列，求两个序列的6点圆周卷积和。-3-2-10 1 2 3 4 56 75 4 3 2 1 01 1 1 1 0 0 1 0 01 1 1 1 0 01 1 1 1 11 0 0 1 1 11 01 0 0 1 1 11 1 0 0 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 1 1n m1/x n m2/xn m 266xmRn 2661xmRn 2662xmRn 2663xmRn 2664xmRn 2665xmRn26xm 26xm8 10 12 14

14、 10 6 ()y n2022-7-30信号处理2022-7-30信号处理同样，利用对称性11201()()()NNNlX l XklRkN12101()()()NNNlXl XklRkN12()()()y nx nx n若10()()()NnkNnY kDFT y ny n W则2022-7-30信号处理7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积1122()01 ()01x nnNx nnN设：12max,NN N令1112120()()*()()()Nlmy nx nx nx m x nm2121210()()()*()Nmx m x nmx nx n线性卷积：112120()()()()()()

15、NcNNmy nx nx nx m xnmRn121210()()()()()NNNmx m xnmRnx nx nN点圆周卷积：NN2022-7-30信号处理讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：1120()()()NNmrx mx nrNm Rn1120()()()NNrmx m x nrNm Rn()()lNry nrN Rn对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；222()()()Nrx nxnx nrN对x2(n)周期延拓：1120()()()()NcNNmy nx m xnmRn圆周卷积：2022-7-30信号处理121NNNN即 当圆周卷积长度时，点圆周卷积能代表线性卷积12

16、()1ly nNN而的长度为()()NclNy ny n点圆周卷积是线性卷积以 为周期的周期延拓序列的主值序列。12-1()lNNNy nN只有当时，以 为周期进行周期延拓才无混叠现象N1212()()()*()x nx nx nx n1212102NNNnNN2022-7-30信号处理2022-7-30信号处理2022-7-30信号处理小结：线性卷积求解方法时域直接求解 ()()*()()()my nx nh nx m h nm补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)=x(n)*h(n)()()()()y nIZT Y zIZT X zH zz z

17、()()()()X zZT x nH zZT h nz变换法DFT法2022-7-30信号处理8、线性相关与圆周相关*()()()xynrmx n y nm*()()nx nm y n线性相关：*()()()xxnrmx n x nm*()()()xxnx nm x nrm自相关函数：2022-7-30信号处理*()()()xyyxxyrmrmrm相关函数不满足交换率：*()()()yxnrmy n x nm*()()kx k y km*()()kx k y km*()()kx k y km*()xyrm*()()()xynrmx n y nm2022-7-30信号处理相关函数的z变换：*1(

18、)()()xyRzX z Yz()()mxyxymRzrm z*()()mmnx n y nm z*()()mnmx ny nm z*()()()k nnkx ny k z*()()nknkx n zy k z*1()()X z Yz2022-7-30信号处理*()()()jjjxyReX eYe2()()jjxxReX e相关函数的频谱：2022-7-30信号处理圆周相关定理 ()()xyxyrmIDFT Rk则1*0()()()NNNnx n ynmRn*()()()xyRkX kYk若1*0()()()NNNny n x nmRn2022-7-30信号处理*()()()xyRkX kYk证：先延拓成周期序列 ()()xyxyrmIDFS Rk则 1*01()()NmkNkYk X k WN11*001()()NNnkmkNNknYkx n W WN11*()001()()NNn m kNnkx nYk WN1*0()()Nnx n y nm1*0()()Nny n x nm 则取主值序列1*0()()()NNNnx n ynmRn1*0()()()()NxyNNnrmy n x nmRn2022-7-30信号处理当 时，圆周相关可完全代表线性相关121NNN类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系