小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇（教师版）（附答案）.doc

1、名校真题 测试卷 找规律篇时间：15分钟 满分5分 姓名_ 测试成绩_1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4；4+5=9；9+7=16；16+9=25；25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写2001（ ）2002 3 （12年西城实验考题）一串分数：其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数

2、之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少?27583 5 (04年人大附中考题)请你从01、02、03、98、99中选取一些数，使得对于任何由09当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11，所

3、以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+888=19802000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，它们的差依次为5、15、45、135、405为等比数列，公比为3。它们的和为5+15+45+135+405+12151820，所以第六次后，和为1820+2+31825。5 【解】(1)，11，22，33，99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数

4、的就是19某个单一的数比如11111，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。(2)，比如这个数373737，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。(3)，同37的例子，01和10必选其一，02和20必选其一，09和90必选其一，选出9个12和21必选其一，13和31必选其一，19和91必选其一，选出8个。23和32必选其一，24和42必选其一，29和92必选其一，选出7个。89和98必选其一，选出1个。如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上1199这9个数就是54个。 小升初专项训练 找规律篇一、小升初考试热点

5、及命题方向找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在刚刚结束的12年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。二、2007年考点预测07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。三、典型例题解析1 与周期相关的找规律问题【例1】、（）化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？【解】化小数后，循环数字和都为27，这样199227=7321,

6、所以n=6。【例2】、（）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少？【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、1这样就使5个数一周期，所以20035=4003，所以余4。【例3】、（）某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是2月几日?【来源】 第五届“华杯赛”初赛第16题【解】因为372447，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。所以24天

7、中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子.2 图表中的找规律问题 【例4】、（）图中，任意_-个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是891，那么B=_.【来源】第十届数学竞赛初赛填空题第5题【解】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆

8、圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891(99)=11.【例5】（）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？【解】：本题考察学生“观察归纳猜想”的能力此表排列特点：第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；第一行第n个数是（n-1）2+1，第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1由此（1）（13-1）2+1+9=154；（2）127=112+6=（12-1）2+1+5，即左起12列，上起第6行位置3 较复杂的数列找规律【例6】、（）

9、设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12，第60个数是_。【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题【解】最大的（即第63个数）是 1+3+9+27+81+243=364 第60个数（倒数第4个数）是 36413360。【例7】、（）在两位数10，11，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?【来源】 第五届“华杯赛”初赛第15题【解】原

10、来的总和是10+11+98+99=4905，被7除余2的两位数是 72+2=16，73+2=23，713十2=93.共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的，因此这-手续使总和减少了(16+23+93)(1-)=588.6所以，经过改变之后，所有数的和是4905588.6=4316.4.【例8】、（）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分钟还有没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.【来源】 1990年小学数学奥林匹克决赛第8题斐波那契数列非常有意思 ！ 【解】

11、小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有 100+100+100=155(个).4 与斐波那契数列相关的找规律【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？ 现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有

12、三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。 我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。 显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。 在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“

13、斐波那契数”。【例9】（）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584绝对是一棵大树。【例10】（）有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 13根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看

14、只有1根的情况开始：1根，有：1种；2根，有1、1，2，共两种；3根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；4根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种；6根，得到24=13+7+4种；即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。由此得到，10根为274种。拓展爬楼梯问题。【例11】（）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则

15、除以2，如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？【来源】 仁华考题【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。5 有趣的猫捉耗子规律注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。【例12】、（）50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列一直这样，

16、问最后一只剩下的是原来的几号？【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、1250都是2的倍数； 第二次剩下的是：4、8、12、1648都是4=2的倍数； 第三次剩下的是：8、16、24都是8=2的倍数，这样每次剩下的都是2的倍数，现在要剩下一只，这样就是看150中2的最大数就是32号。【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号这样请问最后留下的3个数字是。【解】360【例13】、（）50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？ 【来源】03年圆明杯数

17、学竞赛试题【解】： 方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A人，A2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有5025+18，所以最后剩下的为18236号。现在剩下的是42号，所以开始取的为1+(4236)7号。方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚则最后剩下的均为1号。比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，而50枚先取503218枚后，剩32枚，取走了2、4、6、8、36，则37为剩下的32枚重排列后的1号，38为2号。故最后剩下的为37号，

18、即若开始取2号，剩下37号，现剩下的为42号，故开始从7号开始取的。【例14】、（）把11993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图121，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是

19、5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数18，最后剩的是1。我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。这样，数的个数是16，32，64，2n时，最后剩的都是起始数1。当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应

20、剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是时，下一步起始数就是最后剩下的数。解：因为1024=210，2048=211，21101993211，1993-1024=969，就是说，要剩210个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：9692=1938下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。练习 按照例1的操作规则（1）如果是1900这900个自然数，最后剩的是哪个数？（2）如果是11949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？说明：这道例题的解题思路是：特 殊 一 般 特 殊（简单情况） （一般规律） （较复杂情况）一

21、般规律：把1n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4，（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x是哪个数？解： 设2kn2k+1，k是自然数。x=（n-2k）2+1【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留1，擦去2；保留3，擦去4；（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？【解】剩下的规律是剩下时，都是最后一号留下，所以答案是1938。【例15】、（）100个小朋友围成一圈，并依次标号为1至100号。从第1号开始1至2报数，凡是报到1的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为止。问这个小朋友是多少号？【解】与上

22、题不同 小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与周期相关的找规律问题 参见例1，2，32）图表中的找规律问题 参见例4，53）较复杂的数列找规律 参见例6，7，84）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9，10，115）有趣的猫捉耗子规律 参见例12，13，14，15【课外知识】珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。那一天，她得到了许多人的赞美

23、。她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱人人都喜欢的那种可爱。作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1类型3；题2，3，4类型5；题5，6，7类型2， 、（）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55，。那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是_。【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是4181/6

24、765。、（）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？【解】 先取走15. （）把11992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4，。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？【解】 （1992-1024）2+1=1937. （）把11987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6；，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？【解】 .（）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B

25、，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多 种。ACBD【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149种，所以多5种。6、（）如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？ 【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法所以到8号房间总共有34种房间。7、（）如数表： 第1行 1 2 3 14 15第2行 30 29 28 17 16 第3行 31 32 33 44 45 第n行 A 第n1行 B 第n行有一个数A，它的下一行（第n1行）有一个数B，且A和B在同一竖列。如果A+B391，那么n=_。 【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题 【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开始，相邻两行第一列的两个数的和依次是 31，61，91，121，。（*） 每项比前一项多30，因此391是（*）中的第(39131)30113个数，即n13.