偏微分课程课件4-双曲型方程的差分方法(I).ppt

1、1第三章第三章 双曲型方程定解问题双曲型方程定解问题 的有限差分法的有限差分法3.1 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程3.2 一阶线性常系数双曲型方程组一阶线性常系数双曲型方程组3.3 变系数双曲型方程及方程组变系数双曲型方程及方程组2u定义在定义在xt平面上的一个平面上的一个区域区域内内.(一一)一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程下面考察方程解下面考察方程解u在定义域内在定义域内直线直线x=at+C上的变化规律上的变化规律.(,)(),)uu x tu x t tduu dxudtx dttuuaxt0 解解u在在直线直线x=at+C上的解等于常数上的解等于常数

2、.00,0(,0)(x),.uuaxR ttxu xuxR 3解解u在直线在直线x=at+C上的等于常数上的等于常数任意在任意在xt平面上方程定义域内取点平面上方程定义域内取点在此点做在此点做特征线特征线x=at+C,那么那么特征线特征线与与t=0交于点交于点00(,).x t-特征线特征线00(,0).xat 0000000(,)(,0)().u x tu xatu xat由点由点00(,)x t任意性任意性,可知可知0(,)().u x tu xat解解u在在直线直线x=at+C上的解等于常数上的解等于常数.00Cxat4txOcatx),(00tx)0,(00atx 对于定解问题对于定解

3、问题RxxgxuatRxxuatu)()0,(0,0,0方程的解为方程的解为(,)(,0)()u x tu xatg xat 见见1010页页511110,0,0,0.nnnnjjjjnnnnjjjjuuuuaahuuuuaah 1.迎风格式迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。0a 1j j1j n1n 0a 1j j1j n1n 61100nnnnjjjjuuuuaah 11()nnnnjjjjnnikjhjuuauuuv e 取取(,)1(1)1(1cos)i(sin)ikhGkaeakhakh 722222222422

4、222|(,)|1(1 cos)sin(1 4sin4sin)4sin(1 sin)22221 4(1)sin2Gkakhakhkhkhkhkhaaakhaa (,)1(1)1(1cos)i(sin)ikhGkaeakhakh 条件稳定条件稳定条件满足条件满足1,|(,)|1,Von NeumannaGk0?a 81100,nnnnjjjjuuuuaah 条件稳定条件稳定10a 1(1)nikhnvaa ev 0,|1|(,)|1.aaGk 222222|(,)|(1cos)sin=1+4(1+)sin2G kaakhakhkhaa0?a 9绝对不稳定绝对不稳定110:0,nnnnjjjjuu

5、uuaah 课堂练习课堂练习证明：证明：1100,nnnnjjjjuuuuaah ：差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。110:0,nnnnjjjjuuuuaah 110:0nnnnjjjjuuuuaah 100a 1j j1j n1n 0a 1j j1j n1n 1111111(|)()(|)(),22nnnnnnjjjjjjuuaauuaauu 1111111()|(2).22nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu 迎风格式统一形式迎风格式统一形式110:0,nnnnjjjjuuuuaah 110:0nnnnjjjjuuuua

6、ah 1211-10211(,)(,)(,)nnnnjjjjjntjnoxjnuuuuahT x tu x tau x th 中心差分格式2 Lax-Friedrichs格式格式22323(,)(,)26,(,).jnnnjjuahuxttxttxh xh 其中（）2322311(,)(,)26njnjuuuuaxahttxtx2(,)()jnT x tOh 13(,)1()1i(sin)2ikhikhaGkeeakh 改进：绝对不稳定绝对不稳定sin0|(,)|1khGk 时11-102nnnnjjjjuuuuah 中中心心差差分分格格式式111111()202nnnnnjjjjjuuuuu

7、ah 2222|(,)|1sinGkakhLax-Friedrichs格式格式1411111221()202(,)()()nnnnnjjjjjuuuuuahhT x tOhO 222222221(,)()()22cossin,|(,)|cossin1(1)sin1.|1ikhikhikhikhaGkeeeekhiakhGkkhakhakha nnikjhjuv e 取取11()()22nikhikhikhikhnaveeeev 则稳定则稳定15Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。但截断误差比迎风格式的截断误差大。16

8、3.Lax-Wendroff格式（格式（2阶精度）阶精度）22312(,)(,)().2nnjnjnjjuuu x tu x tOtt 2112211221(,)(,)(),21(,)2(,)(,)()njnjnjnjnjnjnjuu xtu xtO hxhuu xtu x tu xtO hxh 22222,uuuuuaaatxttxx 222312(,)(,)().2nnjnjnjjuauu x tu x taOxx 17 22111112(2)22nnnnnnnjjjjjjjaauuuuuuuhh 22(,)()T x tOh 22222224(,)1(cos1)isin|(,)|14(1

9、)sin2GkakhakhkhGkaa|(,)|1|1Gka18左偏心格式左偏心格式110nnnnjjjjuuuuah P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域(,)j k4.Courant-Friedrichs-Lewy条件（条件（C.F.L.条件）条件）xt(,)j k(,)jkx t(,0)j kD x(,0)jC xP19P点数值解依赖于点数值解依赖于DC内节点上的函数值内节点上的函数值-依赖区域依赖区域 点微分方程解依赖区域点微分方程解依赖区域差分方程的依赖区域端点构成的区间差分方程的依赖区域端点构成的区间DC内内,否则否则 没有关系。即差

10、分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。没有关系。即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域。PDC.F.L.条件条件,xtPjn jDDCn应在应在(,)njjnuu x t与与20.h 其其中中j njnjxxatxjhnhjhanjh PDDCn001aa 0ajhanjh 不收敛不收敛D21微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式右偏心格式C.F.L.条件条件jjnj nxxatxjhjhanjhnh 010aa：110nnnnjjjjuuuuah 0:ajhanjh 不不收收敛敛22Lax-Wendroff格式的

11、格式的C.F.L条件条件j njnj nxxatxjhnhjhanjhnh nhannh|1,.ah 其其中中23C.F.L.条件条件差分格式的依赖区域差分格式的依赖区域包含包含微分方程的依赖区域微分方程的依赖区域C.F.L.条件是格式收敛的条件是格式收敛的必要必要条件条件.241Lax-Wendroff（）格格式式：22(,)1(cos-1)-isin|(,)|1|1G kakhakhG kaLaxC.F.L.由由等等价价定定理理，条条件件是是收收敛敛充充分分条条件件。C.F.L.|1a 条条件件也也是是稳稳定定性性条条件件25111202nnnnjjjjuuuuah （）中心差分格式，不稳

12、定，不稳定，|1a ，C.F.L.条件下不收敛（非充分条件）条件下不收敛（非充分条件）C.F.L.条件仍为条件仍为(,)1()21i(sin)ikhikhaGkeeakh 2222|(,)|1sinGkakh，sin0,|(,)|1khGk 课堂练习课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的心格式、中心差分格式的C.F.L.条件。条件。右偏心格式右偏心格式C.F.L.条件条件0100:jjnj naxxatxaajhanjh ：不不收收敛敛0a 1j j1j n1n 27001j njnjaxxatxa 左偏心格式左偏心格式C.F

13、.L.条件条件0ajhanjh 不收敛不收敛0a 1j j1j n1n 285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），29)()()(111112 kkkkkkkxxxxxxxxyxL)()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxy.)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy 30PBDC111:(,)(1),):(,)(,):(,)(1),):(,)(,(1)jnjnjnjnB xtjh nC x tjh nD xtjh nP x tjh n 设设B,C,D处的值已知，下面来

14、确定点处的值已知，下面来确定点P处的值处的值u(P)-,-(1),BCQ(-,)x atCCjh a njh a n（）与相交于PBCDQ1.由由B、C线性插值求线性插值求u(Q):2.由由B、D线性插值求线性插值求u(Q):3.由由B、C、D二次插值求二次插值求u(Q):过过P做特征线做特征线()(Q)u Pu0a 时时的的迎迎风风格格式式Lax-Wendroff格式格式A4.由由A、B、C二次插值求二次插值求u(Q):Beam-Warming格式格式Lax-Fridriches格式格式32B，C点插值点插值PBCD11111()kkkkkkkkxxxxL xyyxxxx Q()()()()

15、xxxxxxxxCQQBu Pu Qu Bu CCBCB(-,)Q jh a n1111(1)(1)()nnnjjjnnjjnnnjjjjhjhajhajhuuuhhaua uuauu 0a 时时的的迎迎风风格格式式33B，D点插值点插值PBCD11111()(-,)()()()()kkkkkkkkxxxxxxxxxxxxL xyyxxxxQ jh a nDQQBu Pu Qu Bu DDBDB Q111111111(1)(1)2211(1)(1)2211()()22nnnjjjnnjjnnnnjjjjjhjhajhajhuuuhhauauuuauu Lax Friedrichs 格格式式34

16、B，C,D点插值点插值)()()(111112 kkkkkkkxxxxxxxxyxL)()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxy.)()(11111kkkkkkkxxxxxxxxy 35)()()()(2xxxxxxxxDBCBDQCQBuxL )()()(xxxxxxxxDCBCDQBQCu .)()()(xxxxxxxxCDBDCQBQDu 22111112(2)22nnnnnnnjjjjjjjaauuuuuuuhh Lax-Wendroff格式格式36PBCAQA,B,C三点做抛物插值，可得三点做抛物插值，可得Q点函数值，即点函数值，即Beam-Warming格式（二阶迎风格式，格

17、式（二阶迎风格式，1976）111211210:()(1)220:()(1)22nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjaauua uuauuuaauua uuauuu|2a 稳定性条件：稳定性条件：376.蛙跳格式蛙跳格式111-1022nnnnjjjjuuuuah 111-1()nnnnjjjjuuauu 11-11().nnnnjjjjnnjjuvauuhvu ,Tuu v 1110010001000nnnnjjjjaauuuu 382isin1(,)10akhG k 39,2isin1(,)10nnikjhikjhjuv eeakhG k 代代入入并并消消去去详见详见p

18、532221,21,2isin1sin|1,|1,akhakhaa 若若则则=1=1，满满足足Von NuemannVon Nuemann条条件件。当当则则有有两两个个不不同同特特征征值值，由由定定理理3.73.7蛙蛙跳跳格格式式稳稳定定|11,2aakh 当当，取取时时n21|(,)|21nGk 不不稳稳定定。40一阶双曲方程一阶双曲方程在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，在快速变化的波形附近，例如在方波的跳跃间断点附近，以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。以上两种二阶格式通常会观察到由色散现象引起的数值震荡。44。45作业作业P802.直接证明求解直接证明求解 的的Lax-Wendroff格式是二阶精度的格式。格式是二阶精度的格式。0uuatx465.考虑初值问题考虑初值问题001,0.4,0.60,()0,0.4,0.6(,0)()uuxauxtxxu xux 其中试用迎风格式试用迎风格式,LF格式，格式，LW格式计算上述问题，取格式计算上述问题，取0.1,/0.5,hh计算到计算到t=0.5,1.