（VIP专享）第八章-金融衍生数学课件17.pptx

1、第八章维纳过程与金融市场中的稀有事件在普通交易日的每一瞬时时刻，都存在三种状态：价格上涨，价格下跌或者价格不变。流动性工具在一个极小的时间区间极少发生变化。然而，金融市场经常会发生一些极端行为。区别稀有事件与普通事件是看所考察区间上发生变化的规模和概率。当观察区间越来越小时，普通事件的规模也越来越小，而稀有时间虽然概率变小，而规模却不会变小。维纳过程在连续时间情形中，正常事件可以用维纳过程或者布朗运动来建模。就维纳过程而言，在一个小的时间区间h上，我们一般会观察到Wt的细小变化，这与普通事件的定义一致。维纳过程用鞅来进行规范定义如下：定义：针对信息集合簇It的维纳过程Wt是满足如下条件的随机过

2、程：1.Wt是初值为W0=0的平方可积鞅，且：E(Wt-Ws)2=t-s,st2.Wt的轨道是t的连续函数。这个定义说明维纳过程具有如下性质：1.Wt的增量不相关，因为他是鞅，每个鞅具有不可测的增量。2.Wt具有零均值，因为它的起点是0，每个增量的均值也为0.3.Wt的方差为t.4.过程连续，也就是说，在一个无穷小的时间区间上，Wt的运动也是无穷小。维纳过程和布朗运动在刻画过程Wt的时候我们使用的是布朗运动这一术语。那么，布朗运动和维纳过程之间有什么差异吗？我们首先需要对布朗运动的定系进行考察。定义：随机过程Bt(t0,T)是一个标准的布朗运动，如果1.过程的起点是0，即B0=0.2.Bt具有

3、平稳的独立增量。3.Bt关于t连续。4.增量Bt-Bs服从正态分布，均值为0，方差为|t-s|(Bt-Bs)N(0,|t-s|)这个定义与维纳过程在多方面相似。然而两者之间有一个关键性差异：Wt要假设成鞅，而Bt则没有这样的假设，而是假设服从正态分布。事实上，有如下定理：相对于簇It的任何维纳过程Wt都是布朗运动。因此维纳过程和布朗运动这两个概念可以交替使用。泊松过程可以将Nt视为泊松过程，假设这些事件在dt中发生的概率为，如下定义中的过程Mt=Nt-t是不连续的平方可积鞅。注意到对上面的过程：E(Mt)=0EMt2=t尽管Mt的轨道不连续，但Mt和Wt的一阶矩和二阶矩有着相同的特征。当时间区

4、间趋于0的时候，有维纳过程所表示的价格变化会越来越小。在这种意义下，维纳过称不适合对这种情形进行表示。在极端的时间区间，价格会议极端的方式进行运动。我们需要的是一个在极端事件区间能产生大事件的扰动项，也就是，一个有跳跃的过程。正常事件和稀有事件的刻画考虑第七章介绍的时间长度为h的离散时间区间上的SDE.Sk-Sk-1=a(Sk-1,k)h+(Sk-1,k)Wka(Sk-1,k)h是确定增量Sk-Sk-1在区间中如何演变的飘逸项。(Sk-1,k)Wk是干扰项。用来确定资产价格中的“奇异”运动。可以证明在某些假设下，干扰项的方差与h成比例。00.20.40.60.811.21.41.60.20.4

5、0.60.811.21.4ffh1/3h1/2h事件的大小和发生的概率都依赖于时间区间长度h，当h越来越大时，价格变化的大小和概率都会增大。为了对稀有和正常事件刻画，我们使用参数ri和qi。这两个参数都是非负参数。当所观察到的区间越来越小时，ri决定了规模趋近于零的速度，qi决定了概率趋近于零的速度。因此参数qi和ri满足如下条件：0ri0.50qi1事实上，我们会发现，当ri=0.5,qi=0时，描述的是正常事件。当ri=0,qi=1时，描述的是稀有事件。正常事件当区间长度h越来越小时，ri=0.5所对应的事件大小会越来越小。另一方面，他们发生的概率不依赖于h。当区间越来越小时，这些结果很小

6、但发生概率为常数的的事件，是“普通”事件。现在假设Wk所有可能结果都属于这种类型，且ri=0.5.因此，过程Wt的样本路径具有一些有趣的性质。连续路径样本路径的光滑性稀有事件样本路径包含稀有事件有关的干扰项的样本路径不连续，事实上其i不依赖于h,当h0时，Wk的取值不会越来越小。当这样的稀有结果发生时即出现跳跃特征。另一方面，当qi=1，这些跳跃的概率取决于h.当h越来越小时，跳跃发生的概率也越来越小。对于ri和qi的其他值而言，也就是说，0ri1/20qi1那么过程Wt又是什么情形呢？可以证明，只要0ri1/2,那么i的大小是h的函数，当h趋于零时，i也趋于零。从大小上看，他们并不是稀有事件

7、。其样本路径连续但并不光滑。稀有事件模型如果稀有事件存在，那么哪种类型的模型可以用来表示资产的价格呢？一种方法是试图将所观察到的变化分解为两个部分来对资产价格进行表示：一个是在信息集合给定条件下的可预测部分；另外一个则是不可预测部分。在长度h的区间上，我们有：Sk-Sk-1=a(Sk-1,k)h+(Sk-1,k)Wk当h越来越小时，就得到了无穷小区间所对应的连续版本：dSt=a(St,t)dt+(St,t)dWt我们需要的是一个能刻画不可预测的随机误差dWt的模型。令Nk=Nk-Nk-1这样的Nk表示以常数速度发生的幅度为1的跳跃。显然，Nk可以用泊松计算过程进行建模。然而，有两个问题需要考虑

8、。首先，资产价格跳跃发生率随时间会发生变化，而泊松过程为常数。其次，Nt的增量具有非零均值，SDE方法涉及的只是均值为0的干扰项。因此需进行修正。考虑修正后的变量：Jt=(Nt-t)增量Jt的均值为0且不可预测。此外，如果将Jt乘以某个事件依赖性的常数，比方说 2(Sk-1,k).跳跃大小就具有时间依赖性，因此2(Sk-1,k)Jt就可以表示资产价格中不可预料的跳跃。这意味着，如果金融工具受零星稀有事件影响，那么随机微分方程可以写成：Sk-Sk-1=a(Sk-1,k)h+1(Sk-1,k)Wk +2(Sk-1,k)Jk ,k=1,2n当h越来越小时，上式就变为dSt=a(St,t)dt+1(St,t)dWt+2(Sk-1,k)dJt 这个随机微分方程能同时对“正常”事件和“稀有”事件进行处理。起作用的矩对正常事件和稀有事件进行区分的重要性还体现在另外一个方面。以前章节已经提及了矩的概念。矩传递了标的过程的某些信息。例如，方差是价格波动性的一个度量指标。三阶矩是价格变化分布偏度指标。四阶矩是厚尾的一个度量指标。上述比例与h是一种正相关关系。当h趋近于0的时候，将收敛于0.因此，对小的h而言，如果事件都是“正常事件”，那么预料不到的价格变化的高阶矩将不会传递任何有用的信息。一阶矩和二阶矩模型足以捕获价格数据中的所有重要信息。第八章 完