《高等数学偏导数》PPT课件.ppt
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- 高等数学偏导数 高等数学 导数 PPT 课件
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1、第二节第二节 偏导数偏导数1.偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法2.偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系3.高阶偏导数高阶偏导数4.小结、作业小结、作业 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念,是研究函数的有力工具,它反映了该要的概念,是研究函数的有力工具,它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数,同样需要讨论它的变化率问对于多元函数,同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个,但实际问题。虽然多元函数的自变量不止一个,但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下,只考虑题常常
2、要求在其它自变量不变的条件下,只考虑函数对其中一个自变量的变化率,因此这种变化函数对其中一个自变量的变化率,因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题,这就是偏导数率依然是一元函数的变化率问题,这就是偏导数概念。概念。00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或),(00yxfx.一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0 hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0 如如 在在 处处 ),(zyxfu),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yz
3、yxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ),2,1(ni 下面讨论下面讨论 偏导数的计算方法偏导数的计算方法xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出:定义zx时,变量 y 是不变的,实际上,是对函数),(yxf,将 y 视为常数,关于变量 x 按一元函数导数的定义进行的:xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxx
4、yxf求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成变量中的某一个看成变量,其余的其余的 n1个个自变量均视为常数自变量均视为常数,然后按一元函数然后按一元函数的求导方法进行计算即可的求导方法进行计算即可 .解法一解法一)(用用定定义义 21yxxz.8 xzxzx)2,1()2,1(lim0解法二解法二)(用用定定义义 )2,1(),(yxxz.8 1)2,(xdxxdz 12)46(xxx解法三解法三值值)先先求求
5、偏偏导导函函数数再再代代函函数数()2,1(),(yxxz)2,1(),(22)3(yxxyxyx)2,1(),()32(yxyyx为常数为常数视视.8 .arctan 的偏导数的偏导数求求yxz xyxyxxz211 ,22yxyyyxyxyz211 .22yxx将 y 看成常数y1将 x 看成常数2yx 例例解解 .)0(的偏导数的偏导数求求xxzy 1yxyxz )(1aaxax ln xxyzy ln)(aaaxx将将 y 看成常数时看成常数时,是对幂函数求导是对幂函数求导.将将 x 看成常数时看成常数时,是对指数函数求导是对指数函数求导.例例解解 .32的偏导数的偏导数求求zxyxe
6、u ;)1(232yexuzxyx ;232yxeyuzxyx .)3(232zezuzxyx 例例解解.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的的偏偏导导(函函)数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 解解,)0,0(),(时时当当 yxxxyxxyyxf 22),(,)()(22222yxxyy 时时,当当)0,0(),(yx22222 )(2)(yxxyxyxyy 为为常常量量视视00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim0 xxxfxffxx ,)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx,得得由由 对称性.)0,0
7、(),(0)0,0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy注注求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。证证 VRTVTpp),(;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT 警告各位!偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是xyzO1T2T.tan ),(00 0 xyxfyy上上在平面在平面),(0yxfz),(0yxfz 偏导数的几何意义偏导数的几何意义P),(yxfz 0 x0y0P ),(000上的曲线上的曲线就是平面就是平面x
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