信息论基础与编码课件第四章-信息率失真函数.ppt
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- 信息论 基础 编码 课件 第四 信息率 失真 函数
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1、第四章信息率失真函数第四章信息率失真函数4.1 4.1 平均失真和信息率失真函数平均失真和信息率失真函数4.2 信息率失真函数的性质信息率失真函数的性质4.3 离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算4.4 连续信源的连续信源的R(D)函数及其计算函数及其计算24.1 平均失真和信息率失真函数平均失真和信息率失真函数 4.1.14.1.1失真函数失真函数 4.1.24.1.2平平均失真均失真 4.1.34.1.3信息率失真函数信息率失真函数3失真函数失真函数nm 假如信源X输出随机序列为X=x1,x2,xn,经过信道传输后,输出Y=y1,y2,ym。如果xiyj,则认为没有失真;如
2、果xi yj,那么就产生了失真。失真的大小,用一个量来表示,即失真函数 d(xi,yj),以衡量用yj代替xi所引起的失真程度。(4-1)4对每一对对每一对(xi,yj),定义一个,定义一个非负的函数的函数失真函数失真函数(续续)111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmnnnmd xyd xyd xyd xyd xyd xyd xyd xyd xy D称为单个符号的称为单个符号的失真度或或失真函数,表示离散信源发出,表示离散信源发出一个符号一个符号 xi 而在接收端再现成而在接收端再现成 yj 所引起的误差和失真。所引起的误差和失真。上述非负的失真函数
3、共有上述非负的失真函数共有 n m 个,可以整体表示成个,可以整体表示成失真矩阵00ijijijxyd(x,y)xy(4-3)(4-2)5失真函数失真函数(续续)2(,)()ijjid xyyx平方误差失真函数平方误差失真函数 (,)|ijjid xyyx绝对误差失真函数绝对误差失真函数 (,)|ijjiid xyyxx相对误差失真函数相对误差失真函数 误码失真函数误码失真函数 0(,)ijijd xyij 适用于适用于连续信源连续信源适用于离散信源适用于离散信源6 失真函数的定义可推广到序列编码情况,如果假定离散信失真函数的定义可推广到序列编码情况,如果假定离散信源输出符号序列源输出符号序列
4、 ,其中其中L长符号序列样长符号序列样值值 ,经信源编码后,输出符号序,经信源编码后,输出符号序列列 ,其 中其 中 L 长 符 号 序 列 样长 符 号 序 列 样值值 ,则失真函数定义为:则失真函数定义为:12(,)LXXXX 11(,)(,)LLijiljlldd x yLx y 12(,)LYY YY 12(,)iiiiLyyyy 12(,)iiiiLxxxx ixiy 失真函数失真函数(续续)7平均失真平均失真对于连续随机变量同样可以定义平均失真对于连续随机变量同样可以定义平均失真(,)(,)xyDpx y d x y dxdy 定义定义平均失真度为失真函数的数学期望,即为失真函数的
5、数学期望,即 d(xi,yj)在在 X 和和 Y的的联合概率空间联合概率空间 P(XY)中的统计平均值中的统计平均值11(,)()(|)(,)nmijijiijijDE d xyp xp yx d xy平均失真度平均失真度 与信源统计特性与信源统计特性 、信道统计特性、信道统计特性 和规定的失真度和规定的失真度 有关;如果信源和失真度给定以后,有关;如果信源和失真度给定以后,就只是信道统计特性的函数。就只是信道统计特性的函数。D(,)ijd xy()ip x(|)jip yxDNkNkkjkikDNyxdEND111),(1(4-6)(4-5)(4-4)8信息率失真函数信息率失真函数设信道容量
6、设信道容量C C,用该信道来传送信息率为,用该信道来传送信息率为R R的信源,如果的信源,如果R RC C,就必须进行压缩,压缩后传信率就必须进行压缩,压缩后传信率RR小于小于C C。同时,要保证对。同时,要保证对信息的压缩所引入的失真不超过预先规定的失真限度信息的压缩所引入的失真不超过预先规定的失真限度DD。对。对信源压缩,就是在平均失真信源压缩,就是在平均失真D D D时,时,R尽可能小。尽可能小。满足平均失真满足平均失真DD的所有转移概率的所有转移概率Pij构成了一个假想的信道,构成了一个假想的信道,称为称为D允许信道,记为允许信道,记为对于离散无记忆对于离散无记忆 信道,有信道,有:)
7、(DDxypPDmjniDDxypPijD,.,2,1,.,2,1,:)(信源的信息率失真函数也称为率失真函数。信源的信息率失真函数也称为率失真函数。(4-7)9信息率失真函数信息率失真函数(续续)(|)()min(;)jiDp y xPR DI X Y ()(|)()min(;)jiD NNp b aPRDI X Y()N R D给定信源和失真度后,在允许信道中,总能找到一个信道给定信源和失真度后,在允许信道中,总能找到一个信道P(Y/X),使得给定的信源经过此信道传输后,平均互信息量,使得给定的信源经过此信道传输后,平均互信息量I(X;Y)达到最小,这个最小的平均互信息称为达到最小,这个最
8、小的平均互信息称为信息率失真函数 R(D),简称,简称率失真函数:若信源为离散无记忆信源,则若信源为离散无记忆信源,则R(D)函数为函数为nimjjijijippypxypxypxpDRDij11)()(log)()(min)((4-8)(4-9)10信息率失真函数信息率失真函数(续续)例例4-2 4-2 已知某编码器的输入符号的概率分布为已知某编码器的输入符号的概率分布为p(xp(x)=0.5,0.5)=0.5,0.5,两个信道的转移概率分别为两个信道的转移概率分别为:计算平均互信息量。计算平均互信息量。解解 由由 ,可得输入符号与输出符号的,可得输入符号与输出符号的联合概率:联合概率:由于
9、由于 ,得,得而而 ,因此得到,因此得到 8.02.01.09.0,8.02.04.06.0ijijpp)|()()(ijijixypxpyxp4.08.05.0)(,1.02.05.0)(2.04.05.0)(,3.06.05.0)(22122111yxpyxpyxpyxpijijyxpyp)()(6.0)(,4.0)(21ypyp)(/)()|(jjijiypyxpyxp32)|(,41)|(,31)|(,43)|(11122111yxpyxpyxpyxp11信息率失真函数信息率失真函数(续续)则平均互信息量为则平均互信息量为同样,可得同样,可得Pij时的平均互信息为时的平均互信息为iji
10、jijibitxpyxpyxpYXI符号/125.0)()|(log)();(2符号/379.0);(bitYXI从此例我们可以看到,若固定从此例我们可以看到,若固定P(x)不变时,平均互信息量随信不变时,平均互信息量随信道的转移概率的变化而变化。这是因为信道受到干扰的作用道的转移概率的变化而变化。这是因为信道受到干扰的作用不同,传递的信息量也不同。可以证明这样一个结论:不同,传递的信息量也不同。可以证明这样一个结论:P(x)一一定时,平均互信息量定时,平均互信息量I(X;Y)是关于信道的转移概率的下凸函数,是关于信道的转移概率的下凸函数,即存在一极小值。即存在一极小值。信息率失真函数的物理意
11、义:信息率失真函数的物理意义:对于给定信源,在平均失真对于给定信源,在平均失真D不不超过失真限度超过失真限度D的条件下,信息率容许压缩的最小值。的条件下,信息率容许压缩的最小值。124.2 信息率失真函数的性质信息率失真函数的性质 4.2.14.2.1R(D)R(D)函数的定义域函数的定义域 4.2.24.2.2R(D)R(D)函数的下凸性函数的下凸性 4.2.34.2.3R(D)R(D)函数的连续性函数的连续性 4.2.44.2.4R(D)R(D)函数的单调递减性函数的单调递减性13R(D)函数的定义域函数的定义域1.1.R(D)R(D)函数的定义域函数的定义域 Dmin和R(Dmin)Dm
12、in0 对于连续信源对于连续信源 min()(0)()R DRH Xmin()(0)()cR DRHx 14 (2)Dmax和R(Dmax)选择所有满足R(D)0中D的最小值,定义为R(D)定义域的上限Dmax,即max()0minR DDDDmax是这样来计算的。R(D)0就是I(X;Y)0,这时试验信道输入与输出是互相独立的,所以条件概率p(yj/xi)与xi无关。即(/)()ijjijjpp yxp ypR(D)函数的定义域函数的定义域(续续)15求出满足条件 的D中的最小值,即max11minmnjiijjiDppd 11mjjp11nmijijijDp p d R(D)函数的定义域函
13、数的定义域(续续)(4-10)16 从上式观察可得:在从上式观察可得:在j=1,m中,中,可找到可找到 值值最小的最小的j,当该,当该j对应的对应的pj1,而其余,而其余pj为零为零 时,上式右边达到最小,这时上式可简化成时,上式右边达到最小,这时上式可简化成1niijip dmax1,2,1minniijjmiDp dmax1,2,1minniijjmiDp dmax0,DDR(D)函数的定义域函数的定义域(续续)(4-11)17Dmax11122122(,)(,)01(,)(,)10d x yd x yd xyd xydDmax 2max1111221112222minmin(p d)12
14、12min(01,10)33332 11min(,)3 33iijjijDp dp dp dp d,R(D)函数的定义域函数的定义域(续续)18R(D)函数的下凸性和连续性函数的下凸性和连续性1212(1)()(1)()RDDR DR D12max01,D DD 对对于于任任意意的的和和任任意意两两个个允允许许平平均均失失真真度度,有有:连续性由数学分析理论:由数学分析理论:“定义在开区间上的凸函数必是连续函数”知:知:定义域为定义域为(Dmin,Dmax)且具有下凸性的且具有下凸性的 R(D)是连续函数是连续函数下凸性19R(D)函数的单调递减性函数的单调递减性R(D)函数的单调递减性可以理
15、解为:容许的失真越大,函数的单调递减性可以理解为:容许的失真越大,所要求的信息率越小;反之,容许的失真越小,所要所要求的信息率越小;反之,容许的失真越小,所要求的信息率就越大。只要允许的失真不同,所要求的求的信息率就越大。只要允许的失真不同,所要求的最低信息率就不同,不会是相等的。最低信息率就不同,不会是相等的。min12max()DDDDR D在,的函数值不可能为一常数在,的函数值不可能为一常数minmax()(,)R DDD率失真函数在定义域内是单调非增的。率失真函数在定义域内是单调非增的。20根据率失真函数所具有的下凸性、连续性、严格单调下降性根据率失真函数所具有的下凸性、连续性、严格单
16、调下降性可绘出率失真函数的典型曲线图可绘出率失真函数的典型曲线图R(D)函数的一般形式函数的一般形式当规定了允许失真当规定了允许失真D,又确定了适当的失真测量,就可以找到该失,又确定了适当的失真测量,就可以找到该失真条件下的最小信息率真条件下的最小信息率R(D),这个最小的信息率是一个极限值。采,这个最小的信息率是一个极限值。采用不同的方法进行数据压缩(即信源编码)时,其压缩的程度如何,用不同的方法进行数据压缩(即信源编码)时,其压缩的程度如何,R(D)函数就是对数据进行压缩的一把尺子。函数就是对数据进行压缩的一把尺子。214.3离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算由由R(D)
17、的定义可知,求解的定义可知,求解 R(D)实质上是在保真度准则下求互实质上是在保真度准则下求互信息的极小值问题信息的极小值问题实际上就是选择一个条件概率实际上就是选择一个条件概率Pij,使,使I(X;Y)最小,所需约束条最小,所需约束条件如下:件如下:,()minlogijijDiijpPi jjpR Dp pp,iijiji jp p dD1ijjp 0ijp i=1,2,m i=1,2,m;j=1,2,n (4-12)22离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)先不考虑约束条件先不考虑约束条件,由条件,由条件和条件和条件的(的(m+1)个约束方)个约束方程,可用(程,可
18、用(m+1)个乘子和)个乘子和S(待定参数)来构造一个辅助方(待定参数)来构造一个辅助方程程 为了求出的无条件极值,只要对求导并令其为为了求出的无条件极值,只要对求导并令其为0,就可得到一,就可得到一组以为未知数,组以为未知数,S和为参数的方程组,然后再借助于(和为参数的方程组,然后再借助于(m+1)个约束方程来确定个约束方程来确定(m+1)个参数即可求解。个参数即可求解。,()()ijijiijiijijiji jJ pI ppSp p d 令令 d()0dijijJ pp,有,有,d()0dijiijiijijiji jijI ppSp p dp 得得log0ijiiiijjppSp dp
19、或写为或写为log+ijiijjipSdpp23离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)设设,有,有 得得可求得可求得log,1,2,.,iiiimploglog(e)ijSdijijppeijSdijjipp将该式代入约束条件将该式代入约束条件,有,有 e1ijSdijjijjpp1.1,2,eijiSdjjimp,(4-13)(4-14)对(对(4-13)式两端同乘以)式两端同乘以ip,并对,并对i求和,得求和,得ijijSdSdiijjijijiiiiip ppp peppe24离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)得到得到。将(。将(4-14)
20、式所得代入上式,有)式所得代入上式,有(4-15)1ijSdiiipee1eijijSdiSdijjppjpjp0jp 利用(利用(4-15)式解出的)式解出的中含有一个待定参数中含有一个待定参数S,为了保证解,为了保证解均为非负值(均为非负值(),需要对参数),需要对参数S加以限制。加以限制。出的每一个出的每一个ijpiijp利用(利用(4-15)式求解出这些)式求解出这些值,就可由式(值,就可由式(4-14)求出对应)求出对应值。当值。当已知时,由(已知时,由(4-13)式即可求出相应的)式即可求出相应的的值,的值,代入平均失真的公式中,可解出随代入平均失真的公式中,可解出随S参数值变参数
21、值变的的m个个jp,m n个个化的化的D值,即值,即 ()eijSdijii jiijii jijijD Sp pdp pd(4-16)25离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)(4-17)信源的信息率失真函数信源的信息率失真函数R(D)为为 e()elogelog()log()logijijijSdSdjiijiijjSdijiijiijiijijiiijijiiipR Sp ppSp pdp pSD SppSD Spjpiijp此即用参数此即用参数S表示的表示的R(D)函数的表达式,相应的函数的表达式,相应的R(D)用用R(S)代表。代表。给出一个具体的给出一个具体的
22、S值,就可按照顺序求出对应的值,就可按照顺序求出对应的、D(S)、R(S)的值。的值。参数参数S实际上就是实际上就是R(D)函数的斜率,即函数的斜率,即()R DS26离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)例例4-6 设设X为二元等概率平稳无记忆信源,规定失真函数如下为二元等概率平稳无记忆信源,规定失真函数如下 失真矩阵为失真矩阵为 0110d试求其信息率失真函数试求其信息率失真函数R(D)。解解 计算平均失真计算平均失真D()(,)ijijijiiji jijDp x y d x yp p d已知已知 1 1,2 2ip,若最大允许失真为,若最大允许失真为D,则条件转移
23、概率,则条件转移概率ijp与失真测度构成一一对应与失真测度构成一一对应 关系。关系。27离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)ijdijp为对称型,则为对称型,则也为对称型。由概率的归一性,可进一步假设为也为对称型。由概率的归一性,可进一步假设为 1001ijAApAA则平均失真为则平均失真为,110(1)100(1)102211(1)(1)221iijiji jDp p dAAAAAAA 所以所以A=1D,则条件概率为,则条件概率为1001ijDDpDD28离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)由由jiijipp p,求得,求得 11,22jDDp
24、D;得到;得到 11(),22jDDH YH pHD|1,ijH Y XH pHD D信息率失真函数为信息率失真函数为()(;)()(|)11,(1,)22R DI X YH YH Y XDDHDHD D112log(1)log(1)22(1)log2DDDDD 29离散信源的离散信源的R(D)函数及其计算函数及其计算(续续)max1D()0R D 图4-3 R(D)D曲线任给一个任给一个D值,就可求出相应的值,就可求出相应的R(D)值,作出曲线如图值,作出曲线如图4-3所示。可以所示。可以看到,当看到,当D=0时,时,R(D)=H(X)=log2,;D1时,时,种特殊情况下,种特殊情况下,可
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