分类计数原理与分步计数原理PPT优秀课件.ppt

1、甲甲问题问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有汽车。一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班。那么班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？乙乙火火 车车 2火火 车车 1火火 车车 3汽汽 车车 1汽汽 车车 23+2=5（种）（种）分类计数原理分类计数原理分类计数原理又称分类计数原理又称“加法原理加法原理”完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法，在第，在第1类办法中类办法中有有m1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方法中有类方法中有 m2

2、种种不同的方法，不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn 种不种不同的方法，那么完成这件事共有同的方法，那么完成这件事共有 Nm1 m2 mn种不同的方法种不同的方法关于分类计数原理的几点注记：关于分类计数原理的几点注记：各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；后在确定的分类标准下进行分类；完成这件事的任何一种方法必

3、属于某一类，且分别属于不完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的同两类的两种方法都是不同的不重不漏不重不漏 火火 车车 2火火 车车 1火火 车车 3问题问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？甲甲乙乙丙丙汽汽 车车 2汽汽 车车 1种）(623火车火车1汽车汽车1 火车火车1汽车汽车2 火车火车2汽车汽车1火

4、车火车2汽车汽车2 火车火车3汽车汽车1 火车火车3汽车汽车2分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种步有种不同的方法，做第不同的方法，做第2步有种不同的方法步有种不同的方法做第做第步有种不同的方法那么完成这件事共有步有种不同的方法那么完成这件事共有 N种不同的方法种不同的方法1m2mnmnmmm.21分步计数原理又叫作分步计数原理又叫作“乘法原理乘法原理”关于分步计数原理的几点注记关于分步计数原理的几点注记各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原

5、理相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；在确定的分步标准下分步；完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤个步骤 分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分类计数原理针对的是类计数原理针对的是“分类分类”问题，其中各种方问题，其中各

6、种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是事；分步计数原理针对的是“分步分步”问题，各个问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事算做完这件事例题例题例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本本不同的体育书。不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种）从书架上任取一本书，有多少种取法？取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书

7、,有多少种不同的取法有多少种不同的取法?注意区别注意区别“分类分类”与与“分分步步”解解 :(1)从第从第1层任取一本层任取一本,有有4种取法种取法,从第从第2层任取一本层任取一本,有有3种取法种取法,从第从第3层任取一本层任取一本,有有2种取法种取法,共有共有 4+3+2=9种取法。种取法。答：从书架上任意取一本书，有答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。种不同的取法。(2)从书架的从书架的1、2、3层各取一本书层各取一本书,需要分三步完成需要分三步完成,第第1步步,从第从第1层取层取1本书本书,有有4种取法种取法,第第2步步,从第从第2层取层取1本书本书,有有3种种取法取法,第第3步

8、步,从第从第3层取层取1本书本书,有有2种取法种取法.由分步计数原理知由分步计数原理知,共有共有 432=24种取法。种取法。答：从书架上的第答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有层各取一本书，有24种不同的取种不同的取法。法。分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步分步时做到不缺步例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘个拨号盘,每个拨号盘上有从每个拨号盘上有从0到到9共共10个数字个数字,这这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?本题的本题的特点特点是是数字可以重复使用，数字可以重复使用，例如例如00000000，11111111

9、，12121212等等，与分步计数原理比较，这里完成每等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数一步的方法数 m=10m=10，有，有n=4n=4个步骤个步骤,结果是总个数结果是总个数N=10101010=104 解解：由于号码锁的每个拨号盘有：由于号码锁的每个拨号盘有0到到9这这10个数字，每个个数字，每个拨号盘的数字有拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，种取法。根据分步计数原理，4个拨个拨号盘上各取号盘上各取1数字组成的个数是数字组成的个数是 答：可以组成答：可以组成10000个四位数字号码。个四位数字号码。N=104。一般的，完成一件事有一般的，完成一件事有n个步骤，每一步

10、骤的方法个步骤，每一步骤的方法数相同，都是数相同，都是m,则完成这件事共有则完成这件事共有 种不同方种不同方法。法。（牢记：（牢记：步骤数步骤数n是指数！是指数！）mn3.四名研究生各从四名研究生各从A、B、C三位教授中选一位三位教授中选一位作自己的导师，共有作自己的导师，共有_种选法；三名教授种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_种选法。种选法。2.在在120共共20个整数中取两个数相加个整数中取两个数相加,使其使其和为偶数的不同取法共有多少种和为偶数的不同取法共有多少种?答答.：(109+109)/2=90（种）（种）.43 1.

11、某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯口处楼梯口,问从问从1楼到楼到5楼共有多少种不同的走法楼共有多少种不同的走法?答：答：3333=34=81（种）（种）练练 习习 34 例例3 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？选法？解解：从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选可以看成是经过先选1名上日班，再选名上日班，再选1名上名上晚班这两个步骤完成。先选晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有名上日班，共有3种选法；种选法；上日班的工人

12、选定后上日班的工人选定后再再选选1名上晚名上晚班，上晚班的工人有班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数种选法，根据分步计数原理原理,所求的不同的选法数是所求的不同的选法数是.623N答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。日班日班 晚班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法相应的排法不同排法如下图所示不同排法如下图所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙 日班日班 晚班晚班练练 习习P86 练习练习 2、3、4、5例例4 有数字有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数可以组成多少个三位数（各位上的数字许重复）？（各位上的数字许重复）？解：解：要组成一个三位数可

13、以分成三个步骤完成：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个个数字中任选一个数字，共有数字，共有5种选法；种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有仍有5种选法；种选法；第三步确定十位上的数字，同理，它也有第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。种选法。根据根据分步计数原理分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：，得到组成的三位数的个数是：N=5 5 5=53=125 答：答：可以组成可以组成125个三位数。个三位数。例例5:满足满足 A B=1,2的集合的集合A

14、 ,B共有多少种共有多少种?解析解析:法一法一 A,B均是均是1,2的子集的子集:,1,2,1,2,但但不是随便两个子集搭配都行不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含本题犹如含A B的的 两元不定方程两元不定方程,其全部解分为四类其全部解分为四类:1.当当A=时时,只有只有B=1,2得得1组解组解;2.当当A=1时时,B=2或或1,2,得得2组解组解;3.当当A=2时时,B=1或或1,2,得得2组解组解;备选例题备选例题4.当当A=1,2时时,B=或或1或或2或或1,2,得得4组解组解由加法原理由加法原理,共有共有1+2+2+4=9组解组解法法2:设设A,B为两个为两个“口袋口袋”,需将两种元素

15、需将两种元素(1与与2)装装入入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事:第第1步装步装“1”,可装入可装入A不装入不装入B,也可装入也可装入B不装入不装入A,还可既装入还可既装入A又装入又装入B,有有3种装法种装法;第第2步装步装“2”,同样有同样有3种装法种装法.由乘法原理由乘法原理,共有共有 3 3=9 种装法种装法 1 一件工作可以用两种方法完成。有一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种人会用第一种方法完成，另有方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？个人来完成这件工作，

16、共有多少种选法？2乘积乘积(a1+a 2+a 3)(b1+b 2+b3 +b4)(c1+c2+c3+c4+5 )展开后共有项？展开后共有项？4 +5 =9练习练习2：1、把四封不同的信任意投入三个信箱中、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数不同投法种数是是()A.12 B.64 C.81 D.72、火车上有、火车上有10名乘客，沿途有名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的个车站，乘客下车的可能方式有可能方式有（）种）种A.510 B.105 C.50 D.以上都不对以上都不对练习练习1：CA总结总结：分类计数原理：分类计数原理：做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有 n 类办法，在

17、第一类办法，在第一类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方种不同的方法，法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事种不同的方法。那麽完成这件事共有共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法。种不同的方法。分步计数原理：分步计数原理：做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第个步骤，做第一步有一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有种不同的方法。那麽完成这件事共有 N=m1 m2 mn 种不同

18、的方法。种不同的方法。分类计数原理和分步计数原理的分类计数原理和分步计数原理的共同点：共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；不同点：不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就不可，就用分步计数原理。用分步计数原理。85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸

19、，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的

20、小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐

21、。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨

22、进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因

23、年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的

24、事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油

25、尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治

26、桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金