利用导数研究函数的极值PPT优秀课件.ppt

1、1.3.2利用导数研究利用导数研究函数的极值函数的极值aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,那么函数那么函数y=f(x)为这为这个区间内个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f (x)0 得得f(x)的的 单调递增区间单调递增区间;解不等式解不等式 f(x)0 得得f(x)的的 单调递减区间单调递减区间.关注用导数本质及其几何意义解决问题关注用导数本质及其几何意义解决问题 3.思考：思考：观察下图，当观察下图，当t=t0时距地面的高时距地面的高度最大度最大,那么函数那么函数 h（t）在此点的导数是多）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特

2、点？相应地，少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？导数的符号有什么变化规律？二、新课讲解二、新课讲解函数的极值函数的极值:1.观察观察右下图为函数右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象的图象,从图象我们可以看出什么？从图象我们可以看出什么？函数在函数在X=0的函数值比它附的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我近所有各点的函数值都大，我们说们说f(0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值；函数在函数在X=2的函数值比它附近的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们所有各点的函数值都小，我们说说f(2)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。x x2 2y y0 0已

3、知函数已知函数y=f(x)y=f(x)，设，设x x0 0是定义域（是定义域（a,b)a,b)内任一点内任一点(1)(1)如果对如果对x x0 0附近的所有点附近的所有点x,x,都有都有f(x)f(x0),则称则称 f(xf(x0 0)是函数是函数y=f(x)y=f(x)的一个的一个极小值极小值.记作记作:y极小极小=f(x0)极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值,x,x0 0叫做函数的叫做函数的极值点极值点.试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极并说出哪些是极大值点大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.3.探索思考：探索思考：yabx1x2x3x4)

4、(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)(3)函数的极大函数的极大(小小)值不是唯一的值不是唯一的.(4)(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小函数的极大值与极小值之间无法确定大小;(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。思考：极值与思考：极值与最值的区别最值的区别?4.极值的几点说明极值的几点说明yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf(6)(6)

5、当函数当函数f(x)f(x)在某区间上连续且有有限极值点时在某区间上连续且有有限极值点时,函数函数f(x)f(x)在在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.o oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xf5.5.函数的极值与导数的关系函数的极值与导数的关系(1)(1)如果如果f/(x0)=0,并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 右侧右侧f/(x)0,那么那么f(x0)是是极大值（左正右负）极大值（左正右负）(2)(2)如果

6、如果f/(x0)=0,并且并且在在x x0 0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0,那么那么f(x0)是是极小值极小值（左负右正）（左负右正）从从曲线的切线角度曲线的切线角度看看,如果曲线在极值点如果曲线在极值点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜率为率为0,并且并且,曲线在极大值点处切线的斜率曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正左侧为正,右侧为负右侧为负;曲线在极小值点处切线曲线在极小值点处切线的斜率的斜率左侧为负左侧为负,右侧为正右侧为正.o oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xfo oa aX X0 0b bx xy y

7、0)(0 xf0)(xf0)(xf四四.探索思考探索思考:导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗?可导函数可导函数的极值点一定是它导数为零的点的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的不一定是该函数的极值点极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要 条件条件,其充分条件是其充分条件是在这点两侧的导数异号在这点两侧的导数异号.思考思考：y=x3在在x=0处的导数？处的导数？0)()(000 xfxfxx的极值点是左右两侧导数异号结论：三、例题选讲三、例题选讲:例例1.解解:).

8、2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)y +0 -0 +y 极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-4/3.3144,3yxx求的极值 并画出函数的大致图象（1）求导数求导数f/(x)；（2）解方程解方程 f/(x)=0（3）通过列表检查通过列表检查f/(x)在方程在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函

9、的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值数的极值点与极值.小结：求函数极值的步骤小结：求函数极值的步骤3281261yxxx练习：x(-,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+)f(x)+0 -0 +f(x)极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极有极小值小值f(a)=2a.例例2:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0,(.)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)(xf当当x变化时变

10、化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 练习练习1:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1()1(6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1)-1(-1,1)1(2,+)y -0 +0 -y 极小值极小值-3 极大值极大值3 因此因此,当当x=-1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3;而而,当当x=1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3.例例3:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得

11、极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1,求求a、b的值的值.(2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k,若若k-1恒成立，试求恒成立，试求a的取值范围的取值范围.1,0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4,a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时,故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.0)(,0)(xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)=3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立.1,0 x 1,0 x由于由于g

12、(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.例例4:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x=1处有极值处有极值,且极大值为且极大值为 4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值.解解:).35(35)(2224baxxbxaxxf 由题意由题意,应有根应有根 ,故故5a=3b,于是于是:10)(xxf).1(5)(22 xaxxf(1)设设a0,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 +0 0 +f(x)极大极大值值 极小极小值值 )(xf)1,(),1(由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c

13、=2.(2)设设a0,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 -0 0 0 -f(x)极小值极小值 极大值极大值 )1,(),1()(xf 由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.（1 1）求导数求导数f f/(x)(x)；（2 2）解方程解方程 f f/(x)=0(x)=0（3 3）通过列表检查通过列表检查f f/(x)(x)在方程在方程f f/(x)=0(x)=0的根的左右两侧的的根的左右两侧的 符号，进而确定函数的极值点与极值符号，进而确定函数的极值点与极值.1.1.求函数极值的步骤求函数极值的步骤课堂总结课堂

14、总结2.若函数若函数f(x)可导可导,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么f(x0)是极大值是极大值;,0)(,0)(xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.,0)(,0)(xfxf 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不

15、可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的

16、是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔

17、；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲

18、汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒

19、母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要

20、的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩

21、溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需

22、要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金