傅里叶级数及频谱-精选课件.ppt

1、 我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的频域分析，然后讨论非周期信号的频域分析。论周期信号的频域分析，然后讨论非周期信号的频域分析。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。的问题统称为傅里叶分析。周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数由于三角函数是正交函数集，任意信号都可以分解成三角函由于三角函数是正交函数集，任意信号都可以分解成三角函数的形式，即任意信号都可以视为一系列正弦信号的组合，数的形式，即任意信号都可以视为一系

2、列正弦信号的组合，这些正弦信号的频率相位等特性体现原信号的特性。这样出这些正弦信号的频率相位等特性体现原信号的特性。这样出现用频率域的特性来描述时间域信号的方法即现用频率域的特性来描述时间域信号的方法即频域分析法频域分析法三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数设周期信号为设周期信号为x x(t t),),其重复周期是其重复周期是T T0 0,角频率角频率00022fT0001()(cossin)2nnnax tan t bn t（1）任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数数线性

3、组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数傅里叶级数”。),2,1,0)()(mmTtxtx周期信号可表示为周期信号可表示为0020022()TTaxtd tT直流分量：直流分量：余弦分量的幅度：余弦分量的幅度：0020022()cosTTnax tntdtT正弦分量的幅度：正弦分量的幅度：三角形式的傅里叶级数也可表示成：三角形式的傅里叶级数也可表示成：001()cos()2nnnAx tAnt（2）其中22200arctan()nnnnnnbAabAaa以上各式中的积分限一般取：以上各式中的积分限一般取

4、：或或00 T0022TT0020022()sinTTnbx tntd tT例例1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数。里叶级数。解：一个周期内 的表达式为：)(tf112T2T0)(tftT012)1(2)(22002220000TTTTdtTdtTdttfTa0cos2cos)1(2cos)(2200020220000TTTTntdtnTtdtnTtdtntfTa5,3,1,46,4,2,0)cos1(202)cos(1220sin12sin2sin)1(2sin)(20000200020220000nnnnnTtnnT

5、TtnnTtdtnTtdtnTtdtntfTbTTTTnsin15sin513sin31sin4)(0000tnnttttf5,3,1n信号的三角函数描述，运算不方便，我们一般用指数的形式表示0000()()01011()2211222nnnnj ntj ntnnjntjjntjnnnnAAx teeAA eeA eeAn是是n的偶函数，的偶函数，n是是n的奇函数，上式可写为的奇函数，上式可写为001()cos()2nnnAx tAnt0001111()222nnjntjjntjnnnnAx tA eeA ee000000jjntAA eenjneAnX21)(0tjnntjnjnnenXee

6、Atxn00)(21)(0这就是傅立叶级数的指数形式可求得如下00000000002200002220002202111()cossin()22211()cos()sin1()cossin1()(0,1,2,)njnnnnnnnTTTTTTTjntTX nA eAjAajbx tntdtjx tntdtTTx tntjnt dtTx t edt nT 0020022()cosTTnax tntdtT0020022()sinTTnbx tntdtT周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数周期矩形脉冲信号的傅里叶级数t)(tf2221T21T1T1TE其他220)(tEt

7、x可求傅立叶系数0000022022002121sin2211)(1)(0000000nnTEejnTEdteETdtetxTnXtjntjnTTtjnTT)(,)sin(xSxxa函数记为在信号理论中称为取样形式的函数出现于是),2,1,0)(2()()(0000nnSTEnXnXa可写为波形的对称性与谐波特性的关系波形的对称性与谐波特性的关系 已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。（1）偶函数）偶函数)()(t

8、ftf20112211111cos)(4cos)(2TTTntdtntfTtdtntfTa1121122()sin0TTnbf tntdtT 所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa（2）奇函数）奇函数)()(tftf1112211011224()sin()sinTTTnbf tntdtf tntdtTT 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇谐函数）奇谐函数)()2(1tfTtf或)()2(1tfTtf1120121()0TTaf t dtT1121122()

9、cos0TTnaf tntdtT（3）奇谐函数）奇谐函数)()2(1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21T)5,3,1(cos)(4)6,4,2(020111ntdtntfTnaTn20111)5,3,1(sin)(4)6,4,2(0TnntdtntfTnb 可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。00a 在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含奇次谐波分量。（4）偶谐函数）偶谐函数)()2(1tfTtf21T21T41T41T)(tft（5）周期锯齿脉冲信号）周期锯齿脉冲信号E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2111sin1)1()(nntnnEtf 周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。