倒格子与布里渊区课件.ppt

1、第六节第六节 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区一、倒格子的引入与定义一、倒格子的引入与定义1、倒格点倒格点 布喇菲格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征布喇菲格子由无数位向不同的晶面族构成，描述一族晶面的特征必须有两个参量：面间距、晶面法向。必须有两个参量：面间距、晶面法向。为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体为了处理问题方便，在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这现出来，矢量的方向代表这族晶面的法向，矢量的模值比例于这族晶面的面间距，这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称族晶面的面间距，这样确定的矢量称

2、为倒格矢。倒格矢的端点称为倒格点。为倒格点。倒格点的总体构成倒格子空间。倒格点的总体构成倒格子空间。每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征，倒格点的位置矢量（倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。（倒格矢）体现了晶面的面间距和法向。2 2、倒格子、倒格子布喇菲格子的基矢布喇菲格子的基矢a1、a2、a3为正格子基矢，称为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决决定的空间为正格子，定的空间为正格子，=a1(a2a3)为正格子元胞体积。为正格子元胞体积。定义定义 为倒格子基矢，由为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间

3、为倒格子，决定的空间为倒格子，=b1(b2b3)为倒格子元胞体积。为倒格子元胞体积。正格子空间的长度量纲是正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为倒格子空间的长度量纲为m-1。2312aab3122aab1232aab3 3、倒格子的意义、倒格子的意义 正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。（1）由）由 和叉乘的几何和叉乘的几何意意义可知，义可知，b3沿着沿着a1a2的方向，或者说的方向，或者说b3就是就是a1和和a2所确定的晶面（所确定的晶面（001）的法线方向。）的法线方向。同时同时 倒格子基矢倒格子基矢b3的方向表示了正格子中

4、（的方向表示了正格子中（001）晶面的法向，）晶面的法向，其模值比例于（其模值比例于（001）面的面间距。）面的面间距。（2）倒格子基矢（）倒格子基矢（b1b2b3)及其对应的倒格点分别表示了正格及其对应的倒格点分别表示了正格子中三族不同位向的晶面。子中三族不同位向的晶面。（3）倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的）倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的特征，倒格点位矢的方向是这族晶面的法向，而它的大小比例于特征，倒格点位矢的方向是这族晶面的法向，而它的大小比例于该晶面族面间距的倒数。该晶面族面间距的倒数。倒格点与倒格点与x射线斑点存在一一对应关系，从而使晶体衍射分析简射

5、线斑点存在一一对应关系，从而使晶体衍射分析简单而直观。单而直观。1232aab12300122aabd二、正格子与倒格子的关系二、正格子与倒格子的关系1 1、两种格子基矢间的关系、两种格子基矢间的关系 正格子基矢正格子基矢ai与倒格子基矢与倒格子基矢bj之间满足之间满足 当当i等于等于j时时 当当i不等于不等于j时时 （i、j=1、2、3）2 2、两种格子格矢间的关系。、两种格子格矢间的关系。正格矢正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3与倒格子与倒格子Kh=h1b1+h2b2+h3b3之间满之间满足足Rl Kh=2(为整数）。反之，若两矢量点积为为整数）。反之，若两矢量点积为2 的整数倍，的

6、整数倍，且其中一个矢量为正格矢，则另一矢量必为倒格矢。且其中一个矢量为正格矢，则另一矢量必为倒格矢。3，两种格子元胞间的关系，两种格子元胞间的关系 倒格子元胞体积与正格子元胞体积存在倒数关系。倒格子元胞体积与正格子元胞体积存在倒数关系。202ijija b324 4、正格子（、正格子（h h1 1h h2 2h h3 3)晶面族与倒格矢晶面族与倒格矢K Kh h的关系的关系 正格子中任一晶面族（正格子中任一晶面族（h1h2h3)可以在所对应的倒格子空间找到一可以在所对应的倒格子空间找到一个倒格矢个倒格矢 Kh=h1b1+h2b2+h3b3来体现晶面族的法向和面间距。来体现晶面族的法向和面间距。

7、对于任意给定的倒格矢对于任意给定的倒格矢Kh =h1 b1+h2 b2+h3 b3都能得到与之都能得到与之垂直的晶面族的晶面指数（垂直的晶面族的晶面指数（h1h2h3)。正格子与倒格子是相对应的，二者互为倒格子。正格子与倒格子是相对应的，二者互为倒格子。倒格子的倒格子就是正格子。倒格子的倒格子就是正格子。三、晶体的傅里叶变换与波矢空间、晶体的傅里叶变换与波矢空间1、晶体的傅里叶变换、晶体的傅里叶变换 假定在晶格中任意一点假定在晶格中任意一点r的物理量为的物理量为V（r），则根据晶格的），则根据晶格的周期性有周期性有 V（r）=V(r+Rl)傅里叶展开傅里叶展开：hhirGV rhGVeG)(h

8、lhihlGr RGV rV GeR1lhhhirhGiG RV rVGG eeR 1lhiG RV rV reR G Gh hR Rl l=2=2 (为整数）。为整数）。由于正格矢由于正格矢R Rl l 与倒格矢与倒格矢K Kh h之间满足之间满足R Rl l K Kh h=2=2 ,因而因而G Gh h必为倒格子中的一个倒格矢必为倒格子中的一个倒格矢 。那么。那么 hhirKV rhKVeK 这说明：这说明：具有正格子周期性的函数作傅里叶展开时，只需对倒格矢展开具有正格子周期性的函数作傅里叶展开时，只需对倒格矢展开 物理量在正格子中的表述与倒格子中的表述之间遵从傅里叶变物理量在正格子中的表

9、述与倒格子中的表述之间遵从傅里叶变换的关系。换的关系。2、波矢空间、波矢空间 波矢波矢 ，其中，其中 为波长，为波长，S0为波传播方向的单位矢量。为波传播方向的单位矢量。波矢的量纲为波矢的量纲为m-1,与倒格子与倒格子 空间的量纲一致，因而可以在倒格空间的量纲一致，因而可以在倒格子空间中描述波矢。子空间中描述波矢。倒格子空间又称为波矢空间或状态空间。倒格子空间又称为波矢空间或状态空间。02Ks四、布里渊区四、布里渊区1、布里渊区的定义、布里渊区的定义 布里渊区：倒格子空间被倒格矢布里渊区：倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。的垂直平分面分割成的区域。（1）被倒格矢的垂直平分面包围的

10、、围绕着原点的最小区域）被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。称为第一布里渊区，又称为简约布里渊区。（2）在第一布里渊区的外面，）在第一布里渊区的外面，由若干块对称分布且不相连的由若干块对称分布且不相连的较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。只要晶体的布喇菲格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区只要晶体的布喇菲格子类型相同，倒格子类型就相同，布里渊区的形状就一样。的形状就一样。同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同，都等于倒格子元胞体积格子元胞

11、体积*=(2)3/。简约简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。简约布里渊区内，且既无空隙，又无重叠。2、实例、实例 一维格子一维格子图1-42a 一维正晶格、基矢a=ai图1-42b 一维倒格子空间、基矢b=(2/a)i图1-42c 各布里渊区分布情况 二维正方格子二维正方格子 (1 1)设二维正方格子的基矢为设二维正方格子的基矢为a a1 1=ai=ai、a a2 2=aj=aj，则对应的倒格子基，则对应的倒格子基矢为矢为b b1 1=(=(2 2/a)i/a)i、b b2 2=(2=

12、(2/a)j/a)j (2)(2)由由b b1 1、b b2 2作出倒格子空间。倒格子元胞仍为正方形，元胞大作出倒格子空间。倒格子元胞仍为正方形，元胞大小为小为(2(2/a)/a)2 2。（3）由原点）由原点O作最近邻、次近邻等倒格点连线垂直平分线，得到作最近邻、次近邻等倒格点连线垂直平分线，得到各布里渊区。各布里渊区。（4）各布里渊区的大小相同，且都与倒格子元胞大小相等。）各布里渊区的大小相同，且都与倒格子元胞大小相等。简单立方格子简单立方格子 （1）设简单立方格子的基矢为）设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak，则对应的，则对应的倒格子基矢为倒格子基矢为b1=(2/a)i

13、、b2=(2/a)j、b3=(2/a)k。（2）由）由b1、b2、b3作出倒格子空间。倒格子元胞仍为简单立方，作出倒格子空间。倒格子元胞仍为简单立方，元胞大小为元胞大小为(2/a)3。（3）简约布里渊区是简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围成的立方体，其体积为成的立方体，其体积为(2/a)3，且包含了一个格点，且包含了一个格点。图1-12(a)简单立方图1-44简单立方格子的简约布里渊区3、边界方程、边界方程 布里渊区界面的一般方程，实质上就是倒格子空间倒格矢的中垂布里渊区界面的一般方程，实质上就是倒格子空间倒格矢的中垂面方程。面方程。布里渊区

14、的界面方程的几何求法：布里渊区的界面方程的几何求法：（1）任取一倒格矢）任取一倒格矢Kh，作其中垂面。，作其中垂面。（2）考察从原点）考察从原点O到中垂面的任意矢量到中垂面的任意矢量k，它在，它在Kh上的投影为上的投影为Kh长度的一半。长度的一半。即即 12hhhKKKK212hhKKK图1-45 布里渊区界面方程示意图 求简立方格子简约布里渊区求简立方格子简约布里渊区 （1）简立方格子的倒格子仍为简单立方，六个最近邻）简立方格子的倒格子仍为简单立方，六个最近邻倒格点的倒格矢为倒格点的倒格矢为 （2）将矢量）将矢量 k=k x i+k y j+k z k代入代入kk h=|k h|2 中，得到

15、中，得到,xyzaaaKKK 图1-44 简单立方格子的简约布里渊区222,hijkaaaK 作业作业11、对于六方密堆积结构，初基元胞基矢为：、对于六方密堆积结构，初基元胞基矢为：求其倒格子基矢，并判明倒格子也是六方结构。求其倒格子基矢，并判明倒格子也是六方结构。12、用倒格矢的概念证明：立方晶系的、用倒格矢的概念证明：立方晶系的h k l晶向与（晶向与（h k l）晶面）晶面垂直。垂直。13、若轴矢、若轴矢abc构成简单正交系，证明：晶面族（构成简单正交系，证明：晶面族（hkl）的面间距为）的面间距为14、试证体心立方格子和面心立、试证体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。方格子互为正倒

16、格子。15、试画出、试画出b=2a的二维矩形正格的二维矩形正格子的倒格子和前三个布里渊区，子的倒格子和前三个布里渊区，并求并求 出简约布里渊区的边界方程。出简约布里渊区的边界方程。1233;3;22aaijijckaaa 12hkl=2221dhkl+abc本文来自网络，请不要使用盗版文档，尊重作者的辛苦劳动，谢谢G我爱朱丹老婆中华人民共和国20100808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080Lvdd我爱你ZDLP本文来自网络，请不要使用盗版文档，尊重作者的辛苦劳动，谢谢G我爱朱丹老婆中华人民共和国20100808080808080808080808080808080808080808080808080808080808080Lvdd我爱你ZDLP