偏导与微分总复习.课件.ppt

1、1极限与连续极限与连续2偏导与微分偏导与微分3多元微分学的应用多元微分学的应用第九章要点第九章要点1极限与连续极限与连续2)证明极限不存在：用两种不同的趋近方式得到两个不证明极限不存在：用两种不同的趋近方式得到两个不3)连续与间断连续与间断4)有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质同的极限，则函数在该点的极限不存在同的极限，则函数在该点的极限不存在1)求极限求极限2偏导与微分偏导与微分2)高阶偏导高阶偏导1)偏导的定义偏导的定义yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000，xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 的二阶偏导的二阶偏导)

2、,(yxf，),(),(),(),(yxfyxfyxfyxfyyyxxyxx3)复合函数的偏导复合函数的偏导，yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz全导数全导数 设函数设函数 ，),(yxfz)(tux)(tvy 为可微函数，则为可微函数，则tyyztxxztzdddddd复合求导复合求导 设函数设函数 ，),(vufz),(yxuu 为可微函数，则为可微函数，则),(yxvv 4)方向导数与梯度方向导数与梯度二元函数的方向导数二元函数的方向导数三元函数的方向导数三元函数的方向导数byxfayxflfyxyx),(),(0000),(00bzyxfazyxflfyxzyx),(),(0000

3、00),(000czyxfz),(000其中其中 或或 为单位向量为单位向量),(bae),(cbae 梯度梯度注：梯度方向为方向导数取最大值的方向注：梯度方向为方向导数取最大值的方向，),(gradyxffff),(gradzyxfffff或者或者(1)微分的定义微分的定义yyxfxyxfzyxd),(d),(d),(),(yxfyyxxfz)(oyBxA5)全微分全微分记作记作yBxAyBxAzddd全微分全微分并且并且(2)可微的条件：可微的条件：有连续偏导，则有连续偏导，则 可微，可微，),(yxf),(yxf偏导连续偏导连续可微可微 连续连续可偏导可偏导(3)关系关系0)(,(xfx

4、F两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则6)隐函数、隐函数组求导隐函数、隐函数组求导若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数:)(yxFFxxydd则还可求隐函数的 yxFFxydd0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得(,)(,)0,zf x yF x y z设是方程所确定的隐函数则zFxz00),(000zFzyx的某邻

5、域内在0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF1)近似计算近似计算2)几何应用几何应用3多元微分学的应用多元微分学的应用yyxfxyxfyxfyx),(),(),(),(yyxxf，yyxfxyxfzzyx),(),(d几何应用几何应用曲线曲线切线切线(法平面法平面)曲面曲面切平面切平面

6、(法线法线)曲线：参数方程情形曲线：参数方程情形切线：切线：法平面：法平面：0)()()()()()(000000tzztztyytytxxtx)()()()()()(000000tztzztytyytxtxxttzztyytxx，)()()(一般方程情形一般方程情形0),(0),(zyxGzyxF，切线：切线：000000MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy法平面：法平面：则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交

7、线：一般方程一般方程 若若 ，：0),(0),(zyxGzyxF),(0000zyxM0)()()(0)()()(000000000000zzMGyyMGxxMGzzMFyyMFxxMFzyxzyx，曲面：曲面：面上，则相应的切平面：面上，则相应的切平面：法线：法线：曲面方程：曲面方程：，点，点 在该曲在该曲0),(zyxF),(0000zyxM0)()()(000000zzMFyyMFxxMFzyx)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx3)极值问题极值问题必要性：可导的极值点是驻点必要性：可导的极值点是驻点),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx，充

8、分性：充分性：，0),(0),(0000yxfyxfyx则则2BAC 0时，时，极小值；极小值；0A),(00yxf时，时，极大值；极大值；0A),(00yxf时不能确定；时不能确定；0时时 非极值非极值0),(00yxf(1)无条件极值无条件极值(2)条件极值条件极值方法：方法：最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值构造构造Lagrange函数函数单条件极值单条件极值 求函数求函数 在条件在条件 下的下的),(yxf0),(yx条件极值条件极值，),(),(),(yxyxfyxL解方程组解方程组，0),(0),(0),(zyxyxLyxLyx方法：方法：

9、解方程组解方程组构造构造Lagrange函数函数两条件极值两条件极值 求函数求函数 在条件在条件 ，),(zyxf0),(1zyx 下的条件极值下的条件极值0),(2zyx),(),(),(),(2211zyxzyxzyxfzyxL，0),(0),(0),(zyxLzyxLzyxLzyx0),(0),(21zyxzyx，最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值例例1 求极限求极限 yxxyyxtan)1ln(lim)0,0(),(解解 令令 ，则，则0 xyxxxxxxyxxyxxxxytanlimtan)1ln(limtan)1ln(lim20200，xx

10、xxxx2020tan2limsec12lim所以所以 不存在不存在yxxyyxtan)1ln(lim)0,0(),(解解例例2 设设 ，yxyxyxyxfzarctanarctan),(22求求 ),(yxfxy)(11arctan2),(2222xyxyxxyxyxfxyyxy111222222222212yxyxyxx223222arctan2yxyyxyxxyx，yxyxarctan211112),(22xxyxyxfxy解解例例3 设设 ，其中，其中 有连续偏导，求有连续偏导，求 xyz),(2xyyxfz f，2212212)(2fxyfxyxyfxyfzx )1()22(2222

11、11yfxyfxyfxyfxzxy)1(22122111xfxfxyfx )1(122221222xfxfxyfx 22122312113122fxfxfxyfyfyx 例例4 设设 由由 确定，求确定，求 ),(yxfz 1zxyzxyzd解解 令令 ，则，则1),(zxyzxyzyxF，yxFxzFzyFzyx因此因此，yxxzFFzyxzyFFzzyyzxxyyxxzxyxzyyzxzzyxdddddyxyxzxzyd)(d)(解解 由复合函数的导数公式，得由复合函数的导数公式，得例例5 设设 ，vxucosevyusineuvz 求求 yzxz，xxuvvuxvvzxuuzxzyyuv

12、vuyvvzyuuzyz在方程组在方程组 两端对两端对 求导，得求导，得vyvxuusinecose，x，)(cosesine0)sin(ecose1xuxuxuxuvvvuvvvu上式中的第一式乘上式中的第一式乘 ，第二式乘，第二式乘 ，两式相减，得，两式相减，得vsinvcos上式中的第一式乘上式中的第一式乘 ，第二式乘，第二式乘 ，两式相加，得，两式相加，得vcosvsin，vvuxsine，vuuxcose同理可得同理可得因此因此uxxvuvvvuuvxze)sincos(uyyvvvuvuuvyze)sincos(，zFyFxFzyx264例例6 设设 是曲面是曲面 在点在点n632

13、222zyx)1,1,1(P向导数向导数解解 令令 ，则，则632),(222zyxzyxF处的外法向量，求处的外法向量，求 在点在点 处沿处沿 的方的方22861yxzunP取外法线方向，故取外法线方向，故 )2,6,4(|),(PzyxFFFn又又 ，22866yxzxux22868yxzyuy所以所以711)142412(141，故，故222861yxzuy)14,8,6(141|),(|gradPzyxPuuuu)1,3,2(141)14,8,6(141|gradnPeunu例例722yxz 求旋转抛物面求旋转抛物面与平面与平面之间的最短距离之间的最短距离.解解 2261 zyxd设设

14、为抛物面为抛物面上任一点，上任一点，则则 P),(zyxP22yxz 的距离为的距离为022 zyx问题归结为问题归结为(min)22(2 zyx约束条件约束条件:022 zyx目标函数目标函数:22 zyx作拉氏函数作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF 到平面到平面P131 题题17)()22(),(222yxzzyxzyxF .81,41,41 zyx令令22yxz 解此方程组得唯一驻点解此方程组得唯一驻点02)22(2 yzyxFy 0)2)(22(2 zyxFz02)22(2 xzyxFx 由实际意义最小值存在由实际意义最小值存在,241414161min d647 故故