补充-1-向量及其线性运算课件(PPT 36页).pptx
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- 补充_1-向量及其线性运算课件PPT 36页 补充 _1 向量 及其 线性 运算 课件 PPT 36
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1、数量关系数量关系 第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何第一部分第一部分 向量代数向量代数在三维空间中在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程(组)方程(组)空间解析几何空间解析几何 向量代数向量代数 第1页,共36页。四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算向量及其线性运算第2页,共36页。.a或或表示法表示法:向量的模向量
2、的模:向量的大小向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又称又称矢量矢量).1M2M既有既有大小大小,又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,.a 记作或记作或a零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,.00或,记作有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,a或.a或或第3页,共36页。规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与
3、b 相等相等,记作记作 ab;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;与与 a 的模相同的模相同,但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线.若若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称此则称此 k 个向量个向量共面共面.记作记作a;第4页,共36页。二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算
4、规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cba()abcaababa第5页,共36页。s3a4a5a2a1a54321aaaaas第6页,共36页。2.向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)(ab,ba 特别当时 有特别当时 有aa)(aababaababab a0babaabababab定理定理1推论推论1推论推论2第7页,共36页。aa 3.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数,.a规定规定:时,0,同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见可见;1a
5、a;aa 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作,反向与aa总之总之:运算律运算律:结合律结合律)(a)(aa 分配律分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量1.aa 因此因此aaa 第8页,共36页。定理定理1.设设 a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数为唯一实数)证证:“”.,取取 且且abab设设 abba取正号取正号,反向时取负号反向时取负号,a,b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,aa baab.ba 故故“”则,0 时当,0 时当,0 时当已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 第9页,共36页。例例1.设设 M 为为MBACD解
6、解:ABCD 对角线的交点对角线的交点,ba,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD再证数再证数 的唯一性的唯一性.则则0,故故.即即设又有设又有 b a,()0a0,a 而而第10页,共36页。xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(立轴立轴)过空间一定点过空间一定点 o,o 坐标面坐标面 卦限卦限
7、(八八个个)面xoy面yozzox面面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第11页,共36页。xyzo向径向径在直角坐标系下在直角坐标系下 11坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标:有序数组有序数组 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),0(zyB),(zoxC(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);rrM(,)x y z(,0)A x yO(0,0,0)第12页,共36页。坐标轴坐标轴:x轴轴00yz 00zx y轴轴z轴轴00 xy 坐标面坐标面:xoy 面面0zyo
8、z 面面0 x面xoz0yxyzo在各卦限中点的坐标的符号在各卦限中点的坐标的符号?第13页,共36页。2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 M(,),M xyz则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.rxiyjzk(,)xyz xoyzMNBCijkA,ijkxyz以分别表示轴上的单位向量以分别表示轴上的单位向量的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式 或或坐标表达式坐标表达式,xiyjzkr 称为向量称为向量r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA,ixOA,jy
9、OBkzOC第14页,共36页。四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设(,),xyzbbbb 则则ab (,)xxyyzzababab a (,)xyzaaa b a 0,a 当时当时ba xxba yyba zzba xxba yyba zzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:为实数,为实数,(,),xyzaaaa 第15页,共36页。例例2.求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212),(),(其中ba解解 2 3,得bax32)10,1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(第16页,共36页。
10、例例3.已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M,使使解解:设设 M 的坐标为的坐标为,),(zyx如图所示如图所示ABMo11MAB111(,),A xyz222(,)B xyz及实数及实数,1得得(,)xyz 11 121212(,)xxyyzz 即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(第17页,共36页。说明说明:由得得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公
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