全国大学生数学建模竞赛讲座课件.ppt

1、第第4讲讲 综合讲座综合讲座1东南大学数学系东南大学数学系陈恩水陈恩水讲座内容讲座内容 C C题题 卫星和飞船的跟踪测卫星和飞船的跟踪测控控题目背景题目背景测控设备只能观测到所在点切平面以上的空测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域；域；实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角面夹角3 3度以上的空域度以上的空域 ；一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。有多个测控站联合完成测控任务。利用模型分析卫星或飞船的测控情况，利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：具体问题如下：1.1

2、.在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？能对其进行全程跟踪测控？2.2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为为H H的球面的球面S S上运行。考虑到地球自转时该上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的

3、区域全站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？相关信息相关信息关于第一问关于第一问假设假设地球是球体，球半径地球是球体，球半径R R。卫星或飞船轨道是圆心为地球球心的圆。卫星或飞船轨道是圆心为地球球心的圆。卫星或飞船在地面上高度为卫星或飞船在地面上高度为H H 的圆上运行。的圆上运行。n n表示测控站个数。表示测控站个数。*RHsin(18093*)sin93*87arcsin(sin93)3602*RR HRR Hn一般结果：一般结果：或者给出不同或者给出不同n n的的H H的范围。的范围。模型二模型二假设：假设：地球是半径为地球是

4、半径为R R球体球体 ，卫星在椭球面上运行。，卫星在椭球面上运行。近地点高度为近地点高度为h,h,远地点高度为远地点高度为H H。球心位于椭球的焦点上。球心位于椭球的焦点上。卫星轨道是椭圆，测控站与卫星轨道共面。卫星轨道是椭圆，测控站与卫星轨道共面。卫星轨道长半轴为卫星轨道长半轴为a,a,短半轴为短半轴为b,b,焦距为焦距为c c。卫星轨道椭圆方程：卫星轨道椭圆方程：地球球面圆方程：地球球面圆方程：cos(02)sinxaybcos(02)sinxcRyR22()/2,aRHhbac 向量：向量：由夹角余弦公式得由夹角余弦公式得(coscos,sinsin),(cos,sin)iijijiij

5、iPQac RbaROPRR 22cos cossin sincossin3(coscos)(sinsin)abR cac RbR 令令 ：给出了测控站位置与测控临界位置点关系；给出了测控站位置与测控临界位置点关系；给出了两者中的一个就可以求出第二个。给出了两者中的一个就可以求出第二个。22(,)cos cossin sincossin3(coscos)(sinsin)FabR cac RbR 利用迭代法计算测控站个数利用迭代法计算测控站个数n n流程如下：流程如下：(0.1994,0.6473,1.1091,1.5879,2.0832,2.5907,3.1030)(,2.5986,2.073

6、7,1.5784,1.1168,0.6835,0.2734,0)共需共需1414个测控站！个测控站！关于第二问（假设卫星在球面上）关于第二问（假设卫星在球面上）1.1.星下线方程及其轨迹星下线方程及其轨迹 坐标变换公式为：坐标变换公式为：设卫星轨道参数方程为设卫星轨道参数方程为1111cossin0sincos0001xttXyttYzZ 222()cos()cossin()sinsinXRHtYRHtZRHt则在地球坐标系下的方程为则在地球坐标系下的方程为 2111122coscossin0()sincos0 cos sin001 sinsintxttyR Htttzt 在地球上的投影（星下

7、线参数方程）在地球上的投影（星下线参数方程）2111122coscossin0sincos0cos sin001sinsintxttyRtttzt 否则否则 先考虑相邻两层的测控范围，记先考虑相邻两层的测控范围，记 1231(,),(,)(,/2,)iiiiiiP RP RP R ，-10-505101520-10-505101520P1P2P3P11P12 11112221(,/2,),(,/2,),()iiiiPRPR11222211111(cos cos,cos sin,sin),(cos(/2)cos,cos(/2)sin,sin)(cos(/2)cos,cos(/2)sin,sin)

8、iiiiiiiiiiiiiiiO PRRRO PRRRO PRRR 11,jOP OP夹角为cos*coscoscoscos(/2)cossincossin(/2)sinsiniiijiiiijiiij1,2j 12*ii记记(,)coscoscos cos(/2)cossincos sin(/2)sinsincos*coscos cos(/2)sinsincos*iiiiiiiiiiif 则其数学模型为：则其数学模型为：离散优化问题。离散优化问题。ninnm21,222211111121.(,)0,1,2,*2,1,2,*,*,(*)/*360/iiiiiiimstfimimimmn ，*8

9、7arcsin(sin93)RRH360/2*n 如果如果m=3,n=18m=3,n=18因为测控范围是对称区间，可以考虑测控因为测控范围是对称区间，可以考虑测控站对称分布，即第一层的测控站分布在赤站对称分布，即第一层的测控站分布在赤道上。道上。1222212.0378,27.6419,41.0123不能全范围测控，全程测控需要的不能全范围测控，全程测控需要的测控站数超过测控站数超过5454个个!2.m=4,n=132.m=4,n=13测控范围测控范围 -46.644,46.644-46.644,46.6441,23,48,31.3604 综上，综上，5252个测控站即能实现全程测控。个测控站即能实现全程测控。5,12mn