2020届高考数学(理)一轮复习讲义 12.2　几何概型.docx

1、公众号码：王校长资源站12.2几何概型最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用模拟的方法估计概率.2.了解几何概型的意义.以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.1几何概型的定义事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型2几何概型的概率公式P(A)，其中表示区域的几何度量，A表示子区域A的几何度量3随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以

2、便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fn(A)作为所求概率的近似值概念方法微思考1古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个2几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值题组一思考辨析1判断下列结论是

3、否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()题组二教材改编2在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B. C. D1答案B解析坐标小于1的区间为0,1)，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为.3有四个游戏盘，将

4、它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)4设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.答案D解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是，故选D.题组三易错自纠5在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_

5、.答案3解析由|x|m，得mxm.当0m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2m4时，由题意得，解得m3.故m3.6在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为_答案解析设ACx cm(0x12)，则CB(12x)cm，则矩形的面积Sx(12x)12xx2(cm2)由12xx20，解得0x4或8x12.在数轴上表示，如图所示由几何概型概率计算公式，得所求概率为.题型一与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰RtABC中，直角顶点为C.(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|AC|的概率；(2)在ACB的内部，以C

6、为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|AC|的概率解(1)如图所示，在AB上取一点C，使|AC|AC|，连接CC.由题意，知|AB|AC|.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P(|AM|AC|).(2)由于在ACB内以C为端点任作射线CM，所以CM等可能分布在ACB内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是ACB，所以P(|AM|AC|).思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角

7、度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)跟踪训练1 (1)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_答案解析方程x22px3p20有两个负根，则有即解得p2或p1，又p0,5，则所求概率为P.(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_答案解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为.题型二与面积有关的几何

8、概型命题点1与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017全国)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白S圆，所以由几何概型知，所求概率P.(2)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为_答案解析由题意知，阴影部分的面

9、积S(4x2)dx，所以所求概率P.命题点2随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A7.68 B8.68 C16.32 D17.32答案C解析由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为0.68.由几何概型的概率计算公式，可得0.68，而S矩形6424，则S椭圆0.682416.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次

10、的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为_答案0.4解析根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为75279857863669474698804595977424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为0.4.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部

11、试验结果构成的平面图形，以便求解跟踪训练2 (1)(2016全国)从区间0,1内随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B. C. D.答案C解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，故选C.(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_答案解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S2(

12、eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又该正方形的面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.题型三与体积有关的几何概型例4 已知在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是正方形，PAAB2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于的概率为_答案解析当四棱锥OABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h，则22h，解得h.如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.因为PA底面ABCD，且PA2，所以，所以四棱锥OABCD的体积不小于的概率P33.思维升华 求解与体积有关的几何概型的

13、注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. B. C. D.答案D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R，球的体积V23，则此点落在正方体内部的概率P.1(2018抚顺模拟)已知函数f(x)x2x2，x3,3，在定义域内任取一点x0，使f(x0)0的概率是()A. B. C. D.答案C解析由f(x0)0，可得1x02，所以D3(3)6，

14、d2(1)3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P，故选C.2在区间1,3上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则实数m为()A0 B1 C2 D3答案B解析区间1,3的区间长度为4.不等式|x|m的解集为m，m，当1m3时，由题意得，解得m1(舍)，当0m1时，由，则m1.故m1.3若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于()A. B. C. D.答案D解析设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CMCN2，所以AE的长度大于5的概率为，故选D.4.在如图

15、所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A2 B4C D.答案B解析设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S244r26r2，圆的面积Sr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为4，故选B.5如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)sin x和余弦曲线g(x)cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是()A. B. C. D.答案B解析根据题意，可得

16、曲线ysin x与ycos x围成的区域的面积为11.又矩形ABCD的面积为2，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是.故选B.6.我国古代数学家赵爽在周髀算经一书中给出了勾股定理的绝妙证明如图所示是赵爽的弦图弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股勾)24朱实黄实弦实弦2，化简得：勾2股2弦2.设勾股形中勾股比为1，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A866 B500 C300 D134答案D解析设勾为a

17、，则股为a，所以弦为2a，小正方形的边长为aa，所以题图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(1)2a2，所以小正方形与大正方形的面积比为1，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为1 000134.7记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_答案解析设事件“在区间4,5上随机取一个数x，则xD”为事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3如图，区间4,5的长度为9，定义域D的长度为5，P(A).8在等腰直角三角形ABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是_答案解析因为点M在直角边BC上是等可能出现的，所以“区域”是长度设BCa，

18、则所求概率P.9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥AA1BD内的概率为_答案解析因为AA1SABDAA1S矩形ABCDV长方体，故所求概率为.10.正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入到正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析正方形内空白部分面积为x2(x2)dx2x2dxx3|，阴影部分面积为22，所以所求概率为.11已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3

19、,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0的概率为.12甲、乙两船驶向一个不能

20、同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24，0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A为图中阴影部分，全部结果构成的集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).13在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为_；答案解析设任取两点

21、所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1，如图所示，则总事件所占的面积为1.记这两点之间的距离小于为事件A，则A，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2，所以所求两点之间的距离小于的概率P(A).14向圆C：(x2)2(y)24内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为_答案解析如图所示，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以ACB60，所以S圆C224，所以S弓形ADB2，所以向圆C内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P.15在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“|xy|”的概率，p3为事件“xy”

22、的概率，则()Ap1p2p3 Bp2p3p1Cp3p1p2 Dp3p2p1答案B解析因为x，y0,1，所以事件“xy”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1，事件“|xy|”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S2S3S1，正方形的面积为111，根据几何概型概率计算公式可得p2p3p1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率解设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整个图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以P.公众号码：王校长资源站