2020届高考数学(理)一轮复习讲义 9.8 曲线与方程.docx
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1、公众号码:王校长资源站9.8曲线与方程最新考纲考情考向分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2.了解解析几何的基本思想,利用坐标法研究曲线的简单性质3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主题型主要以解答题的形式出现,题目为中档题,有时也会在选择、填空题中出现.1曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1f(x0,y0)0是点P(x0,y0)在
2、曲线f(x,y)0上的充要条件吗?提示是如果曲线C的方程是f(x,y)0,则曲线C上的点的坐标满足f(x,y)0,以f(x,y)0的解为坐标的点也都在曲线C上,故f(x0,y0)0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)0上的充要条件2方程y与xy2表示同一曲线吗?提示不是同一曲线3若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹是什么图形?提示依题意知,点P到直线x2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线4曲线的交点与方程组的关系是怎样的?提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;(2)方程组
3、有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(3)ykx与xy表示同一直线()(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()题组二教材改编2已知点F,直线l:x,点B是l上的动点,若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线答案D解析由已知|MF|MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线3曲线C:xy2上任一点到两
4、坐标轴的距离之积为_答案2解析在曲线xy2上任取一点(x0,y0),则x0y02,该点到两坐标轴的距离之积为|x0|y0|x0y0|2.4若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴,y轴交于A,B两点,则AB中点M的轨迹方程为_答案xy10解析设M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM,l1l2.|PM|OM|,而|PM|,|OM|.,化简,得xy10,即为所求的轨迹方程题组三易错自纠5方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案D解析原方程可化为或10,即2x3y10(x3)或x
5、4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线6已知M(1,0),N(1,0),|PM|PN|2,则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支答案C解析由于|PM|PN|MN|,所以D不正确,应为以N为端点,沿x轴正向的一条射线7已知M(2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_答案x2y24(x2)解析连接OP,则|OP|2,P点的轨迹是去掉M,N两点的圆,方程为x2y24(x2)题型一定义法求轨迹方程例1 已知圆M:(x1)2y21,圆N:(x1)2y29,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程解由已知得圆M的圆
6、心为M(1,0),半径r11;圆N的圆心为N(1,0),半径r23.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r242|MN|.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为1(x2)思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是不是完整的曲线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制跟踪训练1 在ABC中,|BC|4,ABC
7、的内切圆切BC于D点,且|BD|CD|2,则顶点A的轨迹方程为_答案1(x)解析以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点则|BE|BD|,|CD|CF|,|AE|AF|.所以|AB|AC|2)题型二直接法求轨迹方程例2 (2016全国)已知抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程(1)证明由题意知,F,设l1:ya,l2:yb,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为
8、l,则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上,故1ab0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l,设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF|ba|FD|ba|,SPQF.由题意可得|ba|,所以x11或x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x,y)当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得(x1)而y,所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),满足方程y2x1.所以所求轨迹方程为y2x1.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性通常将
9、步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性跟踪训练2 (2018沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)为动点,F1,F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点,已知F1PF2为等腰三角形(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足2,求点M的轨迹方程解(1)设F1(c,0),F2(c,0)(c0)由题意,可得|PF2|F1F2|,即2c,整理得2210,得1(舍去)或,所以e.(2)由(1)知a2c,bc,可得椭圆方程
10、为3x24y212c2,直线PF2的方程为y(xc)A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得5x28cx0.解得x10,x2c,代入直线方程得不妨设A,B(0,c)设点M的坐标为(x,y),则,(x,yc)由y(xc),得cxy.于是,(x,x),由2,即xx2.化简得18x216xy150.将y代入cxy,得c0.所以x0.因此,点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)题型三相关点法求轨迹方程例3 如图所示,抛物线E:y22px(p0)与圆O:x2y28相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线
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