2020届高考数学(理)一轮复习讲义 11.4　变量的相关性.docx

1、公众号码：王校长资源站11.4变量的相关性最新考纲考情考向分析1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.1变量间的相关关系2散点图以一个变量的取值为横坐标，另一个变量的相应取值为纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图形叫做散点图3回归直线方程与回归分析(1

2、)直线方程 abx，叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数要确定回归直线方程，只要确定a与回归系数b.(2)用最小二乘法求回归直线方程中的a，b有下列公式 ， ，其中的 ， 表示是由观察值按最小二乘法求得的a，b的估计值(3)相关性检验计算相关系数r，r具有以下性质：|r|1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；|r|r0.05，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义4独立性检验(1)22列联表：B合计An11n12n1n21n22n2合计n1n2n其中n1n11n12，n2n21n22，n1n1

3、1n21，n2n12n22，nn11n12n21n22.(2)2统计量：2.(3)两个临界值：3.841与6.635当23.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当26.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当23.841时，认为事件A与B是无关的概念方法微思考1变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示相同点：两者均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系2如何判断两个变量间的线性相关关系？提示散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断3独立性

4、检验的基本步骤是什么？提示列出22列联表，计算2值，根据临界值表得出结论4回归直线方程是否都有实际意义？根据回归直线方程进行预报是否一定准确？提示(1)不一定都有实际意义回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系()(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系()(3)只有两个变量有相关

5、关系，所得到的回归模型才有预测价值()(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x()之间的关系，得回归直线方程2.352x147.767，则气温为2时，一定可卖出143杯热饮()(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的2的值越大()题组二教材改编2为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A回归分析 B期望与方差C独立性检验 D概率答案C解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断3下面是22列联表：y1y2合计x1a2173x2222547合计b4612

6、0则表中a，b的值分别为()A94,72 B52,50C52,74 D74,52答案C解析a2173，a52.又a22b，b74.4某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程0.67x54.9.零件数x (个)1020304050加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为_答案68解析由30，得0.673054.975.设表中的“模糊数字”为a，则62a758189755，a68.题组三易错自纠5某医疗机构通过抽样调查(样本容量n1 000)，利用22列联表和2统计量

7、研究患肺病是否与吸烟有关计算得24.453，经查阅临界值表知P(23.841)0.05，现给出四个结论，其中正确的是()A在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”答案C解析由已知数据可得，有10.0595%的把握认为“患肺病与吸烟有关”6在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)学生的编号i12345数学成绩x8075706560物理成绩y7066686462现已知其回归直线方程为0.36x，则根据此线性回归方程估计数学得90分

8、的同学的物理成绩为_(四舍五入到整数)答案73解析70，66，所以660.3670，40.8，即回归直线方程为0.36x40.8.当x90时，0.369040.873.273.题型一相关关系的判断例1 (1)观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A B C D答案C解析由散点图知中的点都分布在一条直线附近中的点都分布在一条曲线附近，所以中的两个变量具有相关关系(2)(2018沈阳质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图以下结论不正确的是()A逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C2

9、006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关(2)相关系数

10、：当r0时，正相关；当r0时，正相关；当 0时，负相关跟踪训练1 在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1 B0 C D1答案A解析完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为1，故选A.题型二回归分析命题点1线性回归分析例2 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20112017.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关

11、于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：i9.32，iyi40.17，0.55，2.646.参考公式：相关系数r，回归方程t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， .解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得4，(ti)228, 0.55.(ti)(yi)iyii40.1749.322.89，所以r0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)由1.331及(1)得0.10，1.3310.1040.93.所以y关于t的回归方程为0.930.10t.将2019年对应的t

12、9代入回归方程得0.930.1091.83.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨命题点2非线性回归例3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

13、(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .解(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程，由于 68， 563686.8100.6，所以y关于w的回归直线方程为 100.668w，因此y关于x的回归方程为 100.

14、668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值 100.668576.6，年利润z的预报值 576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值 0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时， 取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大思维升华 回归分析问题的类型及解题方法(1)求回归方程根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关利用公式，求出回归系数.待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值(3)利用回归直线判断正、负相关；决

15、定正相关还是负相关的是系数.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强跟踪训练2 (2018全国)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，17)建立模型： 30.413.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，7)建立模型： 9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预报值；(2)你认为用哪个模型得

16、到的预报值更可靠？并说明理由解(1)利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预报值为 30.413.519226.1(亿元)利用模型，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预报值为 9917.59256.5(亿元)(2)利用模型得到的预报值更可靠理由如下：()从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年

17、开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预报值更可靠()从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预报值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预报值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预报值更可靠题型三独立性检验例4 (2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立

18、，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附：P(2k0)0.0500.010k03.8416.6352.解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”由题意知，P(A)P(BC)P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.03

19、40.040)50.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.660.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为5052.35 (kg)思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法通过计算2的

20、大小判断：2越大，两变量有关联的可能性越大通过计算|n11n22n12n21|的大小判断：|n11n22n12n21|越大，两变量有关联的可能性越大(2)独立性检验的一般步骤根据样本数据制成22列联表根据公式2计算2.比较2与临界值的大小关系，作统计推断跟踪训练3 (2018沈阳检测)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在(195,210内，则为合格品，否则为不合格品甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方

21、图如下：甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数(190,1959(195,20010(200,20517(205,2108(210,2156乙流水线样本频率分布直方图(1)根据乙流水线样本频率分布直方图，估计乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数；(2)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面22列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附：P(2k0)0.150.100.050.0250.0

22、100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.解(1)设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，因为(0.0120.0320.052)50.480.5(0.0120.0320.0520.076)50.86，则(0.0120.0320.052)50.076(x205)0.5，解得x.(2)由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为P甲；乙流水线生产的产品为不合格品的概率为P乙(0.0120.028)5.于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5 000件产品，则甲

23、、乙两条流水线生产的不合格品件数分别为5 0001 500,5 0001 000.(3)22列联表：甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100则21.3，1.32.072，没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”回归直线方程及其应用数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程主要包括：收集数据、整理数据、提取信息、构建模型对信息进行分析、推断、获得结论例 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20062008201020122014需求量/万

24、吨236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程x；(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2019年的粮食需求量解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表.年份201042024需求257211101929对处理的数据，容易算得0，3.2，6.5， 3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为2576.5(x2010)3.2，即6.5(x2010)260.2.(2)利用所求得的回归直线方程，可预测2019年的粮食需求量大约为6.5(20192010)260.26.59260.2318.7(万吨)素

25、养提升例题中利用所给数据求回归方程的过程体现的就是数据分析素养1已知变量x和y满足关系0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关答案C解析因为 0.1x1，0.10)，所以 0.1 x ，0.1 4.8443.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关11某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如下表.x1234y12284256(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)根据散点图选择合适的回归模

26、型拟合y与x的关系(不必说明理由)；(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .解(1)作出的散点图如图所示：(2)根据散点图可知，可以用线性回归模型拟合y与x的关系(3)观察(1)中散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：ixiyixxiyi11121122228456334291264456162241013830418可得，所以 . 2，所以所求回归直线方程为 x2.将x5代入所求回归直线方程，得 5271.故预测第5年的销售量为71万件12某省会城市地铁将于2019年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又

27、进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：月收入(单位：百元)15，25)25，35)35，45)45，55)55，65)65，75赞成定价者人数123534认为价格偏高者人数4812521(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差异是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填下面22列联表，分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计认为价格偏高者赞成定价者合计附：2.解(1)“赞成定价者”的月平均收入为x150.

28、56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x238.75，“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1x250.5638.7511.81(百元)(2)根据条件可得22列联表如下：月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计认为价格偏高者32932赞成定价者71118合计10405026.2723.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异(2)从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁及45岁以上的应抽2人则8人中随机抽2人共有C28种抽法，至少有1人是45岁及45岁以上共有C

29、CC13(种)抽法，故所求概率为.14如图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：吨)的折线图注：年份代码17分别对应年份20102016.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量参考数据：54，(ti)(yi)21，3.74， (yii)2.参考公式：相关系数r，回归直线方程t， .解(1)由折线图中的数据得，4， (ti)228， (yi)218，所以r0.94.因为y与t的相关系数近似为0.94，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系(2)因为54，

30、所以 54451，所以y关于t的回归直线方程为t t51.将2019年对应的t10代入得 105158.5，所以预测2019年该企业污水净化量约为58.5吨15在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，6)都在曲线ybx2附近波动经计算xi12，yi14，x23，则实数b的值为_答案解析令tx2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即ybt，此时，代入ybt，得b，解得b.16针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，求男生至少有多少人.P(2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解设男生人数为x，由题意可得列联表如下：喜欢韩剧不喜欢韩剧合计男生x女生合计若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则23.841，即23.841，解得x12.697.因为各部分人数均为整数，所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有18人公众号码：王校长资源站