2020届高考数学(理)一轮复习讲义 7.3 一元二次不等式及其解法.docx

1、公众号码：王校长资源站7.3一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1.一元二次不等式的解集判别式b24ac000)的图象方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，

2、x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？提示ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立的条件是ax2bxc0恒成立的条件是题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，

3、)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0，则RA等于()A.x|2x3B.x|2x3C.x|x3D.x|x2x|x3答案B解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，令3x22x20，得x1，x2，3x22x20的解集为.题组三易错自纠4.不等式x23x40的解集为_.(用区间表示)答案(4,1)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集是

4、，则ab_.答案14解析x1，x2是方程ax2bx20的两个根，解得ab14.6.不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.(2,2C.(2,2) D.(，2)答案B解析2a2，另a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.故选B.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1(2019呼和浩特模拟)已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB等于()A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1) D.(0,2)答案D解析由题意得Ax|x2x20x|1x0， ABx|0x2(0,2).故选D.命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax

5、2(a1)x10).解原不等式变为(ax1)(x1)0，所以(x1)1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：根据二次项系数为正、负及零进行分类.根据判别式判断根的个数.有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.跟踪训练1解不等式12x2axa2(aR).解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成

6、立问题例3已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.解当m0时，f(x)10恒成立.当m0时，则即4m0.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围.解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因

7、为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可.所以m的取值范围是.引申探究1.若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，即m恒成立，又x1,3，得m6，即m的取值范围为6，).2.若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f(x)5m有解，即m有解，则mmax，又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6).命题点3给定参数范围的恒成立问题例5若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围.解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一

8、条线段，则即解得x，故x的取值范围为.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.跟踪训练2函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围.解(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2.(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有a24(3a)0

9、，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x2，)时，g(x)0，即即可得解得a.如图，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x(，2时，g(x)0.即即可得7a6，综上，实数a的取值范围是7,2.(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立.只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，).一、选择题1.已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，则AB等于()A.1,4) B.0,5)C.1,4 D.4，1) 4,5)答案B解析由题意得Bx|1x5，故ABx|x0x|1x0的解集为x|1x0的解集为()A. B.C.x|2x1 D.x|x1答案A解析不等式ax

10、2bx20的解集为x|1x2，ax2bx20的两根为1,2，且a0，解得x，故选A.3.若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A.(3,0) B.3,0C.3,0) D.(3,0答案A解析由题意可得解得3k0.4.若存在实数x2,4，使x22x5mx22x5，设f(x)x22x5(x1)24，x2,4，当x2时f(x)min5，x2,4使x22x5mf(x)min，m5.故选B.5.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是()A.4,1 B.4,3C.1,3 D.1,3答案B解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1

11、，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A. B.C.(1，) D.答案A解析由a280知方程恒有两个不等实根，又因为x1x220，解得a，故选A.7.在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是()A.(3,5) B.(2,4)C.1,3 D.2,4答案C解析因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含1个整数，则a1或1a1，所以实数a的取值范围是a1,3

12、，故选C.8.设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则ba的最大值为()A. B. C. D.答案C解析当ab0时，x(a，b)，2xb0，所以(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，可转化为x(a，b)，a4x2，所以a4a2，所以a0，所以0ba；当a0b时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，不符合题意；当a0b时，由题意知x(a,0)，(4x2a)2x0恒成立，所以4x2a0，所以a0，所以ba.综上所述，ba的最大值为.二、填空题9.(2018全国名校大联考)不等式x22ax3a20)的解集为_.答案x|ax3a

13、解析x22ax3a20(x3a)(xa)0，a3a，不等式的解集为x|ax的解集为_.答案(1,0)(1，)解析当x0时，原不等式等价于x21，解得x1；当x0时，原不等式等价于x21，解得1x的解集为(1,0)(1，).11.若关于x的不等式x2axa0的解集为R，则实数a的取值范围是_.答案(4,0)解析因为x2axa0的解集为R，所以(a)24(a)0，解得4a0，故实数a的取值范围是(4,0).12.(2019上海长宁、嘉定区模拟)不等式0的解集为_.答案(1,0解析由0得x(x1)0(x1)，解得10，则实数a的取值范围是_.答案(1,5解析设f(x)x22(a2)xa，当4(a2)

14、24a0时，即1a0 对xR恒成立；当a1时，f(1)0，不合题意；当a4时，f(2)0 符合题意；当0 时，由即即40；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值.解(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.原不等式的解集为a|32ab的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得16.已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5).(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x1,1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)，即2x2bxc0的解集是(0,5)，0和5是方程2x2bxc0的两个根，由根与系数的关系知，5，0，b10，c0，f(x)2x210x.(2)f(x)t2恒成立等价于2x210xt20恒成立，2x210xt2在x1,1上的最大值小于或等于0.设g(x)2x210xt2，x1,1，则由二次函数的图象可知g(x)2x210xt2在区间1,1上为减函数，g(x)maxg(1)10t，10t0，即t10.公众号码：王校长资源站