函数的连续性67579课件.ppt

1、1、了解函数连续的意义、了解函数连续的意义,函数连续函数连续性的概念性的概念,能判断函数在某点或某能判断函数在某点或某区间上是否连续区间上是否连续,能借助函数的图能借助函数的图象解答有关问题；象解答有关问题；2、理解闭区间上连续函数有最大、理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质定理。值和最小值的性质定理。一种是连续变化的情况一种是连续变化的情况温度计温度计另一种是间断的或跳跃的另一种是间断的或跳跃的 例如邮寄信件时的邮费随邮例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。究函数连续与不

2、连续的问题。4080120160 x分y分20406080如图：从直观上看，我们说一个函数在一点如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处连处连续是指这个函数的图象在续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以以上处没有中断，所以以上图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点图象就是连续函数的图象。也就是说，这个函数在点x0处是连续的。处是连续的。一、函数在某一点处的连续性一、函数在某一点处的连续性:)()(lim)3()()(lim)(lim)2(.)1(000000 xfxfxfxfxfxxxxxxx处有定义在ox0 xy1()yf x、oxy12.1处没有定义在 x)1(1x

3、x212()1xf xx、（1）在）在x=1处有定义处有定义5.2)(lim)2(1xfx2)(lim1xfx（3）函数）函数f(x)的极限不存在的极限不存在12oxy2.511xx13()22xf xx、yxo12（1）在）在x=1处有定义；处有定义；（2）函数在）函数在x=1处的左处的左右极限相等，即函数在右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等处的极限存在，且等于于2，但不等于，但不等于f(1)1(5.02)(lim1fxfx11xx14()0.5xf x、导致函数图象断开的原因：导致函数图象断开的原因：1、函数在函数在 处没有定义处没有定义 1x2、函数在函数在 时极限不存在时极限

4、不存在 1x函数值不等函数值不等 3、函数在函数在 处的极限值和处的极限值和 1xoxy1212oxy2.5yxo12一般地，函数一般地，函数f(x)在点在点x0处连续处连续必须同时具备三个条件：必须同时具备三个条件：2、存在存在 )(lim0 xfxx3、)()(lim00 xfxfxx1、存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义处有定义)(0 xf)(xfyxo12ox0 xy)1()(lim1fxfx定义：定义：设函数设函数f(x)在在 处及其处及其附近有定义附近有定义，而且，而且0 xx)()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数f(x)在点在点 处连续处连续，0 x称为称为函

5、数函数f(x)的连续点。的连续点。0 x例例1:讨论下列函数在给定点处的连续性：讨论下列函数在给定点处的连续性：.0,sin)()2(;0,1)()1(xxxhxxxf点点解：解：（1）函数）函数 在点在点x=0处没有定义，因而它处没有定义，因而它在点在点x=0处不连续。处不连续。xxf1)(（2）因为）因为0sin0sinlim0 xx.0sin)(处连续在点 xxxh二、单侧连续性：二、单侧连续性：如果函数如果函数 在点在点 处及其右侧处及其右侧附近附近有定义有定义,并且并且0 x)()(lim00 xfxfxx则称则称f(x)在点在点 处右连续。处右连续。0 x)(xfxyOa类似地：类

6、似地：)()(lim00 xfxfxx0 x则称则称f(x)在在 处是左连续。处是左连续。如果函数如果函数 在点在点x x0 0处及其处及其左侧附近左侧附近有定义，并且有定义，并且)(xf12oxy2.5221)(xxxf11xx如如结论：函数在一点处连续的充要结论：函数在一点处连续的充要条件是既左连续又右连续条件是既左连续又右连续)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxxox0 xy)()(lim00 xfxfxx三、函数的连续性：三、函数的连续性：1、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果 在某一开区间在某一开区间 内每一点处都连续，就说函数内每一点处都连续，就说函数f（x）在

7、）在开区间（开区间（a，b）内）内连续，或说连续，或说f（x）是开区）是开区间间（a，b）内内的连续函数。的连续函数。)(xf),(ba2、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数 在开区在开区 间间 内连续，在内连续，在左左端点端点 处处右右连连续，在续，在右右端点端点 处处左左连续，就说函连续，就说函 数数 在在闭区间闭区间 上上连续。连续。)(xf),(baaxbx)(xf,ba练习练习:连续函数的图象有什么特点？观察下列连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在函数的图象，说出函数在x=a处是否连续：处是否连续：xyOaxyOaxyOaxyOaxyOaxyOa连续连

8、续不连续不连续连续连续不连续不连续不连续不连续不连续不连续（1）（2）（3）（4）（5）（6）从几何直观上看，闭区间从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续曲上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：上图：对于任意对于任意 ，这时我，这时我们说闭区间们说闭区间a，b上的连续函数上的连续函数f(x)在点在点x1处有最处有最大值大值f(x1)，在点，在点x2处有最小值处有最小值f(x2)。)()(),()(,21xfxfxfxfbaxox2x1baxy四、闭区间上连续函数的性质：四、闭区间上连续函数的性质：)(1xf)(2xfox2x1

9、baxy)(1xf)(2xf 1,f xa bf xa b性质：最大值、最小值定理 如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上必有最大值和最小值。对二次函数对二次函数y=ax2+bx+c来说，在给定的来说，在给定的任意一个闭区间上均有最大、最小值。任意一个闭区间上均有最大、最小值。2,f xa bf af bf xa b性质：如果是闭区间上的连续函数，且0，则方程=0在区间上至少有一个实数解。0030f xxxxf xxf xxf xxxxx性质：连续函数的运算性质 如果函数,g在点处连续，那么g，g，g在点处都连续。g解解:2222218(3)(2)5lim()lim()lim,24(2)(2

10、)4xxxxxxf xxxxx322228(2)(24)lim()lim()lim12.22xxxxxxxf xxx222lim()lim()lim()xxxf xf xf x因所以不存在.22322218(2)241:()8(2)2lim()lim(),lim()?xxxxxxxf xxxxf xf xf x 当时练习求和是否存在解解:11.2xx在及点处的连续性12:()(lim)(0)1nnnxf xxxx 练习讨论函数lim(1)1 01,();lim(1)10nnnnxxf xxxxx(1)当时1()11,()lim;1()1nnnxxf xxxx(2)当时11,()lim0.1nn

11、nxxf xxx(3)当时(01)()0(1)(1)xxf xxxx 1111lim()lim1,lim()lim()1,xxxxf xxf xx 1lim(),()xf xf xx不存在在点=1处不连续.1111222211lim()lim,lim()lim,22xxxxf xxf xx 1211lim()(),22xf xf()f xx1在点=处连续.2本节小结：本节小结：1、设函数、设函数f(x)f(x)在在 处及其附近处及其附近有定义，有定义，而且而且0 xx)()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数f(x)f(x)在点在点 x x0 0 处连续处连续。f(x)f(x)在点在点x x0 0处右连续。处右连续。f(x)f(x)在在 x x0 0 处左连续。处左连续。)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx2、开区间内连续，开区间内连续，闭区间上连续闭区间上连续3、结论：函数在一点处连续的充要结论：函数在一点处连续的充要条件是即左连续又右连续条件是即左连续又右连续)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx4、5、会用数形结合思想解某些数学问题会用数形结合思想解某些数学问题