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类型几何学的变革解析课件.ppt

  • 上传人(卖家):三亚风情
  • 文档编号:3441985
  • 上传时间:2022-08-31
  • 格式:PPT
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    关 键  词:
    几何学 变革 解析 课件
    资源描述:

    1、 欧氏几何在公元前欧氏几何在公元前300300年就已产生,其特年就已产生,其特征是建立了公理化方法:即从几个概念和征是建立了公理化方法:即从几个概念和几个命题,演绎出本学科其它所有概念和几个命题,演绎出本学科其它所有概念和命题,从而构成这一学科的全貌。运用这命题,从而构成这一学科的全貌。运用这种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科学。学。欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的原本原本中,在其之后的中,在其之后的22002200后,希尔伯后,希尔伯特在特在几何基础几何基础加以完善。其间,许多加以完善。其间,许多数学家作了许多公理体系

    2、的完备性工作。数学家作了许多公理体系的完备性工作。然而,令人放心不下的是该公理体系然而,令人放心不下的是该公理体系中的第五公设,即平行公设的问题。中的第五公设,即平行公设的问题。因为人们发现即使欧几里得本人也尽因为人们发现即使欧几里得本人也尽量避免使用它。量避免使用它。平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)A+B+C=2非欧几何的孕育非欧几何的孕育欧几里得普莱菲尔(苏格兰,1748-1819)勒让德(法,1752-1833)若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那那么把两直线无限延长么把两直线无限延长,它们都在同旁内角和小于两直角

    3、的一侧它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交相交.n 勒让德勒让德(法法,1752-1833),1752-1833)几何学原理几何学原理:这条关:这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的,它们是数学永真理之一。这些真理是不容争论的,它们是数学永恒真理的不朽的例子。恒真理的不朽的例子。(1832)(1832)n 17331733年萨凯里年萨凯里(意意,1667-1733),1667-1733)欧欧几里得无懈可击几里得无懈可击非欧几何的孕育非欧几何的孕育非欧几何的孕育非欧几何的孕育n 17661766年兰伯特年兰伯

    4、特(法法,1728-1777),1728-1777)平行线理论平行线理论不认为锐角假不认为锐角假设矛盾设矛盾,认识到如果一组假设不引起矛盾认识到如果一组假设不引起矛盾,就提供了一种就提供了一种可能的可能的几何几何n 17631763年,克吕格尔年,克吕格尔(德德,1739-,1739-1812)1812)第一位对平行线公设是否第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明能由其它公理加以证明表示怀表示怀疑疑的数学家的数学家n 18201820年年FF鲍约鲍约(匈匈,1775-1856):“,1775-1856):“我经过了我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗这个长夜的渺无希望的黑暗,在这里埋没了我在这

    5、里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿,而使大地永无光明。而使大地永无光明。”罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时,罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时,假设其反面之一:假设其反面之一:“过已知直线外一点,过已知直线外一点,可作多于一条的直线与已知直线平行可作多于一条的直线与已知直线平行”,得到了一系列定理,并且认为他得到了一得到了一系列定理,并且认为他得到了一门新的几何学。门新的几何学。罗巴切夫斯基宣布自己建立了新的几何罗巴切夫斯基宣布自己建立了新的几何学之后,遭到了许多数学大家

    6、的嘲笑、讽学之后,遭到了许多数学大家的嘲笑、讽刺,德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上,刺,德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上,罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在他去世几十年后的事了。他去世几十年后的事了。()非欧几何非欧几何n 18131813年高斯年高斯(德德,1777-1855)1777-1855):非欧几:非欧几里得几何里得几何n 18321832年波约年波约(匈匈,1802-1860)1802-1860)绝对空绝对空间的科学间的科学l 几何学上的哥白尼几何学上的哥白尼n 18261826年罗巴切夫斯年罗巴切夫斯基基(俄俄,1792-1856),1792

    7、-1856)简要论述平行线定简要论述平行线定理的一个严格证明理的一个严格证明罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基(苏联苏联,1951)1951)非欧几何非欧几何l罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基(俄俄,1792-1856),1792-1856),喀山大学教,喀山大学教授、校长授、校长l18151815年着手研究平行线理论,试图给出平行年着手研究平行线理论,试图给出平行公设的证明公设的证明l18261826年在物理数学系会议宣读年在物理数学系会议宣读简要论述平简要论述平行线定理的一个严格证明行线定理的一个严格证明l18291829年论文年论文几何学原理几何学原理在在喀山大学通喀山大学通报报全文发表全文发表l直至罗巴

    8、切夫斯基去世的直至罗巴切夫斯基去世的3030年内,没能赢得年内,没能赢得社会的承认和赞美社会的承认和赞美鲍约(罗马尼亚,1960)非欧几何非欧几何鲍约父子之墓 在罗氏几何产生后的1854年,德国数学家黎曼把欧氏第五公设改为:“过已知直线外一点,没有与其平行之直线”,得到的一种新的几何学黎曼非欧几何,为非欧几何的另一翼。内蕴几何,流形曲率18541854年黎曼年黎曼(德德,1826-1866),1826-1866)关于几何基础的假设关于几何基础的假设 )()()(欧氏几何率曲零罗氏几何负常曲率黎曼几何正常曲率常曲率空间 抛物几何双曲几何椭圆几何非欧几何非欧几何非欧几何非欧几何 18461846年

    9、进入哥廷根大学专修语言和神学年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-18481847-1848年到柏林大学年到柏林大学,进入数学领域进入数学领域 1849-18511849-1851年在哥廷根大学年在哥廷根大学,取得博士学位取得博士学位,学位论文学位论文“单复变函数一般理论基础单复变函数一般理论基础”18541854年讲师职位讲演年讲师职位讲演:关于几何基础的假设关于几何基础的假设,1857,1857年副教年副教授授,1859,1859年教授年教授 18621862年得肺结核年得肺结核,1866,1866年在意大利逝世年在意大利逝世 18761876年出版年出版黎曼全集黎曼全集(发表论文发表

    10、论文1818篇篇,遗稿遗稿1212篇篇)伟大的分析学家:复变函数论、阿贝尔函数论、超几何伟大的分析学家:复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学理、物理学黎曼(德,1826-1866)“黎曼是一个富有想象的天才黎曼是一个富有想象的天才,他的想法即使没有证明他的想法即使没有证明,也鼓舞了整整一个世纪的数学家也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”.”l模型与相容性模型与相容性l 18681868年贝尔特拉米年贝尔特拉米(意意,1835-1899),1835-1899)非欧几何非欧几何曳物线伪球面l 18

    11、711871年克莱因年克莱因(德德,1849-1925),1849-1925)l 18821882年庞加莱年庞加莱(法法,1854-1912),1854-1912)非欧几何非欧几何克莱因克莱因-庞加莱圆庞加莱圆 1 1 解决了平行公理的独立性问题。推动解决了平行公理的独立性问题。推动了一般公理体系的独立性、相容性、了一般公理体系的独立性、相容性、完备性问题的研究,促进了数学基础完备性问题的研究,促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发这一更为深刻的数学分支的形成与发展。展。2 2 证明了对公理方法本身的研究能推动证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展,理性思维和对严谨、逻数学的发展,

    12、理性思维和对严谨、逻辑和完美的追求,推动了科学,从而辑和完美的追求,推动了科学,从而推动了社会的发展和进步。在数学内推动了社会的发展和进步。在数学内部,各分支纷纷建立了自己的公理体部,各分支纷纷建立了自己的公理体系,包括被公认为最困难的概率论也系,包括被公认为最困难的概率论也在在2020世纪世纪3030年代建立自己的公理体系。年代建立自己的公理体系。实际上公理化的研究又孕育了实际上公理化的研究又孕育了“元数元数学学”的产生和发展。的产生和发展。3 3 非欧几何实际上预示了相对论的产生,非欧几何实际上预示了相对论的产生,就象微积分预示了人造卫星一样。非就象微积分预示了人造卫星一样。非欧几何与相对

    13、论和汇合是科学史上划欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。人们都认为是爱因斯坦时代的事件。人们都认为是爱因斯坦创立了相对论,但是,也许爱因斯坦创立了相对论,但是,也许爱因斯坦更清楚,是他和一批数学家更清楚,是他和一批数学家Poincare,MinkouskiPoincare,Minkouski,Hilbert,Hilbert等共同等共同的工作。出现动钟延缓,动尺缩短,的工作。出现动钟延缓,动尺缩短,时空弯曲等现象。这些都是非欧几何时空弯曲等现象。这些都是非欧几何与相对论的科学发现。与相对论的科学发现。蒙日(法国,1953)l 18031803年卡尔诺年卡尔诺(法法,1753-1823),

    14、1753-1823)的的位置几何学位置几何学卡尔诺(法国,1950)l 17991799年蒙日年蒙日(法法,1746-1818),1746-1818)的的画法几何学画法几何学射影几何射影几何l 早期开拓者早期开拓者:德沙格德沙格(法法,1591-1661),1591-1661),帕斯卡帕斯卡(法法,1623-,1623-1662)1662)l综合方法综合方法连续性原理连续性原理对偶原理对偶原理18221822年庞斯列年庞斯列(法法,1788-,1788-1867)1867)的的论图形的射影论图形的射影性质性质射影几何射影几何l 代数方法代数方法默比乌斯(德,1790-1868)18271827

    15、年默比乌斯年默比乌斯(德德,1790-,1790-1868)1868)的的重心计算重心计算18291829年普吕克年普吕克(德德,1801-1868),1801-1868)的三线坐标的三线坐标普吕克(德,1801-1868)射影几何射影几何射影几何射影几何施陶特(德,1798-1867)l 18471847年施陶特年施陶特(德德,1798-1867),1798-1867)的的位置几何位置几何学学l 凯莱凯莱(英英,1821-1895),1821-1895)在射影几何基础上建立在射影几何基础上建立欧氏几何和非欧几何欧氏几何和非欧几何凯莱(英,1821-1895)所谓几何学,就是研究几何图形对于某

    16、类变换群保持不变的性质的学科,或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。18721872年克莱因年克莱因(德德,1849-1925),1849-1925)的的爱尔朗根纲领爱尔朗根纲领统一的几何学统一的几何学18651865年进入波恩大学年进入波恩大学(建于建于17861786年年)学习生学习生物物 1866-18681866-1868年普吕克年普吕克(德德,1801-1868),1801-1868)的博的博士士 1869-18861869-1886年年:哥廷根大学、柏林大学、哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比

    17、锡大学、哥廷根大学莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力,吸引了一批有的德国大学更富有科学魅力,吸引了一批有杰出才华的年青数学家,使之成为杰出才华的年青数学家,使之成为2020世纪初世纪初世界数学的中心之一世界数学的中心之一爱尔朗根纲领射影几何仿射几何单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何欧几里得几何其它仿射几何统一的几何学统一的几何学克莱因:克莱因:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数

    18、学能给予以上慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切。的一切。”几何学的公理化几何学的公理化 1899年希尔伯特几何基础n 选择和组织公理系统的原则 连续公理平行公理合同公理顺序公理关联公理 完备性独立性相容性希尔伯特(德,1862-1943)“建立几何的公理和探究它们之间的关系,是一个历史悠久的问题;关于这个问题的讨论,从欧几里得以来的数学文献中,有过难以计数的专著,这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。”本书中的研究,是重新尝试着来替几何建立一个完备的,而又尽可能简单的公理系统;要根据这个系统推证最重要的几何定理,同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”

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