利用向量解决空间角问题课件.ppt

1、线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入专题一：利用向量解决 空间角问题 线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入 空间向量的引入为代数方法处理立体几空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向。本节课主要是讨论怎么样

2、用向量的办法解决量的办法解决空间角空间角问题。问题。123(,)aa a a1.若，123(,),bb b b则：数量积：a b 1 1223 3aba ba b夹角公式：cosa b 111222(,),(,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB 线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入|a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb|cos,aba b异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB|题型一

3、：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入例一：090,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB1111 1(,0,),(,1)22 2Fa D所以：11(,0,1),2AF

4、 111(,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以 与 所成角的余弦值为3010题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8,4),AD 10AM AD 1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角

5、的范围：0,2ABO,n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos,n AB|题型二：线面角题型二：线面角线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入例二：题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，1111ABCDABC D58,ABAD=，14,AA 112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8,4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面

6、角小结小结引入引入1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55练习：1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型二：线面角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：0,1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围线线角线线角复习复习线面角线面角二面角二面角小结小结引入引入题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCAD

7、SCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，A B C D 是一直角梯形，A B C=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,0),(0,1)22CDSD C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126c

8、os,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是启示：利用向量解决有关平面问题启示：利用向量解决有关平面问题关键在于找到这个平面的一关键在于找到这个平面的一个法向量必要时可设，然后个法向量必要时可设，然后任取！任取！小结：小结：1.异面直线所成角：coscos,CD AB|2.直线与平面所成角：sincos,n AB|3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n n 关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n2n 高考题练习：BAOBAODPXYZ,PBBDA B01:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-ABO中,OO=4,OA=4,OB=3,AOB=9

9、0是侧棱上的一点,为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角的大小.,2,4),(3,0,)(,2,4).(3,0,)9,4029,8.PzOPZOPOPZZBBAOBPOBOPAOB 解:建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系,3由 题 意 B(3,0,0),D(设23则 BD2BDBD平 面3为与 底 面所 成 的 角,POB=arctan81100111112:(2 0 0 2,6 0,9 0,2,3.;(2)O A BOA BO B B OO A BO O BA O BO BO OO AOA BOA BA O 1 11 11 1年年 上上 海海 春春 季季 高高 考考 题题)

10、如如 图图:三三 棱棱 柱柱-平平 面面平平 面面且且求求:(1 1)二二 面面 角角的的 大大 小小异异 面面 直直 线线与与所所 成成 角角 的的 大大 小小.1AAB1B1OXYZO1100111112:(2 0 0 2,6 0,9 0,2,3.;(2)O A BO A BO B B OO A BO O BA O BO BO OO AOA BOA BA O111年 上 海 春 季 高 考 题)如 图:三 棱 柱-平 面平 面且求:(1)二 面 角的 大 小异 面 直 线与所 成 角 的 大 小.1AAB1B1O111:(1),(0,0,0),(0,1,3),(3,0,0)(3,1 3),

11、(0,2,0),(3,1,3),(3,2,0)OOA OBx yOAOBzOOAABAOAB 解以为原点,分别以所在的直线为轴,过点且与平面垂直的直线为 轴,建立空间直角坐标系.如图所示.则11221212212121(0,0,1).(,).0,0.3230:,3,2,132012(2,3,1).co s,4|22,O ZA O BnO A BnxyznA OnA Bxyzyxzxynnnnnnnn 显 然为 平 面的 法 向 量 取设 平 面的 法 向 量 为则即令2122arcco s.arcco s.44nOA BO 故 二 面 角的 大 小 为XYZO1AAB1B1OOXYZ11111

12、111111(2),(3,1,3),(3,1,3)17|1arccos.7AB AOABOA OA OOAB OACOSAB OAAB AO 设异面直线与所成的角为则与所成的角为DEFABC【分析】如果用纯几何方法求异面直线所成的角则需要对AD或BF进行平移并构造三角形，例例3【1996全国全国理、文理、文19】如图，正方形如图，正方形ABCD所在平面与正方形所在平面与正方形ABEF所在平面成所在平面成 的二的二面角，则异面直线面角，则异面直线AD与与BF所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是_60【分析】运用空间向量法求解，思路直接清晰：DEFABC1.AD与与BF所成的角可转换成向量的运算所

13、成的角可转换成向量的运算2.抓住题设中的抓住题设中的“正方形正方形”、“二面角二面角”两大条件，则由两大条件，则由ABAD，ABAF有有DAF=，即，即 恰恰是不共面的三个向量，且两两夹角已知，可构成一个基底是不共面的三个向量，且两两夹角已知，可构成一个基底表示图中任一向量，实现向量的转换。表示图中任一向量，实现向量的转换。BFADBFADBFAD,cos60ADABAF,例例3【1996全国全国理、文理、文19】如图，正方形如图，正方形ABCD所在平面与正方形所在平面与正方形ABEF所在平面成所在平面成 的的二面角，则异面直线二面角，则异面直线AD与与BF所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是_60 DEFABC【解】设正方形【解】设正方形ABCD与正方形与正方形ABEF边长为边长为1，由已知，由已知ABAD，ABAF，则有则有DAF=604222111260cos221)(,cosAFADAFADAFBAADBFADBFADBFAD60例例3【1996全国全国理、文理、文19】如图，正方形如图，正方形ABCD所在平面与正方形所在平面与正方形ABEF所在平面成所在平面成 的二的二面角，则异面直线面角，则异面直线AD与与BF所成的角的余弦值是所成的角的余弦值是_