列平衡方程4联立求解FA为负值课件.ppt

1、Part 1Part 2目 录汇交力系：各力作用线均汇交于一点。汇交力系：各力作用线均汇交于一点。平面汇交力系平面汇交力系F3F2F1OAFCFBFWAOCB空间汇交力系空间汇交力系1 1 汇交力系的概念与实例汇交力系的概念与实例 基本问题力系的合成力系的平衡条件 汇交力系和力偶系是两种最简单的力系，也汇交力系和力偶系是两种最简单的力系，也称为称为基本力系基本力系，是研究复杂力系的基础。，是研究复杂力系的基础。研究方法几何法解析法一、汇交力系合成的几何法一、汇交力系合成的几何法FR1=F1+F2aF2F1F4F3FRFR1FR2bcedFR2=FR1+F3FR=FR2+F4=F1+F2+F3+

2、F4合力的表达式：合力的表达式：AF2F1F4F32 2 汇交力系的合成与平衡汇交力系的合成与平衡几何法几何法 把各力矢把各力矢首尾相接首尾相接，形成一条有向折线段（称为，形成一条有向折线段（称为力链力链）。得到一个开口）。得到一个开口的多边形，称为的多边形，称为力多边形力多边形。由开口的力多边形由开口的力多边形始点指向终点的封闭边始点指向终点的封闭边为合力。合力的为合力。合力的作用点仍在力作用点仍在力系的公共作用点上。系的公共作用点上。此法称为此法称为力的多边形法则力的多边形法则。1、力的多边形法则、力的多边形法则 根据矢量加法的交换率，根据矢量加法的交换率，可以交换力多边形中的各个力矢可以

3、交换力多边形中的各个力矢，合力的大，合力的大小和方向、作用点仍然不改变。小和方向、作用点仍然不改变。F1F4F2F3aFR1FR2FRbcdeF1F4F2F3aFRcdeb 空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。2、汇交力系的合成结果汇交力系的合成结果 汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的汇交点，合力汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的汇交点，合力等等于这些力的于这些力的矢量和矢量和，并可由这力系的

4、力多边形的封闭边表示。，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。1niiFF矢量的表达式：矢量的表达式：R=F1+F2+F3+Fn用几何法求汇交力系的合力时，应注意以下几点：按一定的比例画出各力的大小，方向要准确；力多边形中各力必须首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点；作力多边形时，可以任意变换力的次序，合成的结果并不改变。例例1：如图所示，固定在墙内的螺钉上作用有三个力，：如图所示，固定在墙内的螺钉上作用有三个力，F1=3kN，F2=4kN，F3=5kN。试求这三个力的合力。试求这三个力的合力。F1OF2F3300F2F3FR解：FR=8.3kN，=3.50F1O 几何法

5、求合力，作图的精确度对所求结果有较大影响。因此对几何法求合力，作图的精确度对所求结果有较大影响。因此对作图的精度要求较高，一般按要求作图法很难满足，特别是对空间作图的精度要求较高，一般按要求作图法很难满足，特别是对空间力系，因此一般采用几何法求解的较少，更多的是采用下面介绍的力系，因此一般采用几何法求解的较少，更多的是采用下面介绍的方法方法解析法。解析法。二、汇交力系平衡的几何条件二、汇交力系平衡的几何条件汇交力系平衡的充要条件是：汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力力系的合力F FR R等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表达为：达为：汇交力系平衡的

6、几何条件是：汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多边形自行封闭。该力系的力多边形自行封闭。R0iFF例例2 2 杆杆ACAC和和BCBC在在C C处铰接，另一端均与铅垂处铰接，另一端均与铅垂墙面铰接。铅垂力墙面铰接。铅垂力F F作用在销钉作用在销钉C C上，且上，且F F=866N=866N，不计杆自重。试求两杆所受的，不计杆自重。试求两杆所受的力。力。1F2F CFBA CF30解：解：(1)根据题意，选取销钉根据题意，选取销钉C为研究对象。为研究对象。(2)画受力图。销钉画受力图。销钉C受铅垂力受铅垂力F的作用，还受到的作用，还受到杆杆AC和和BC的作用，且杆的作用，且杆AC和和BC均为二

7、力均为二力杆。销钉杆。销钉C的受力图如图所示。的受力图如图所示。(3)(3)作力多边形。根据汇交力系平衡的几何条件，这三个力作力多边形。根据汇交力系平衡的几何条件，这三个力组成的力多边形自行封闭，即它们组成一个封闭的三角组成的力多边形自行封闭，即它们组成一个封闭的三角形。形。(4)(4)求未知量。可以看出力三角形求未知量。可以看出力三角形abcabc为直角三角形，因此为直角三角形，因此由三角关系可得由三角关系可得:ab cF1F2F1F2F CF121500 N2FF221000 N3FFA60PB30aaC(a)解：(1)取梁AB 作为研究对象。(4)解出：NA=Pcos30=17.3kN，

8、NB=Psin30=10kN.(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。例3：水平梁AB图(a)所示，P=20kN,试求支座A 和支座B 的反力。梁的自重不计。BAC(b)FBFAD6030PEPFBFA6030HK(c)反之，当投影Fx、Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：cosxFF cosFFy2y2xFFFFFFFyxcos cos结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。一、力在平面坐标轴上的投影一、力在平面坐标轴上的投影3 3 力的投影力的投影 已知力已知力F在坐标系在坐标系oxyz上与上与x轴、轴、y轴和轴和z轴之间的

9、夹角分别为轴之间的夹角分别为、和和，则力在三个坐，则力在三个坐标轴上的投影为：标轴上的投影为：二、力在空间坐标轴上的投影二、力在空间坐标轴上的投影cosxFFcosyFFcoszFFFzFxFyzxFy 反之，当投影反之，当投影Fx、Fy、Fz 已知时，则可求出力已知时，则可求出力 F 的大小和方向：的大小和方向：22y2xzFFFFyxcos,cos,coszFFFFFF1、直接投影法、直接投影法 由力矢由力矢F 的始端的始端A 和末端和末端B向投影平面向投影平面oxy引垂线，由垂足引垂线，由垂足a到到b所构成的矢量所构成的矢量ab，就是力在平面，就是力在平面Oxy上的投影记为上的投影记为F

10、xy。即：。即：注意：注意：力在轴上投影是代数值。力在轴上投影是代数值。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影是矢量。力在平面上的投影力在平面上的投影:cosxyFF2、二次投影法（间接投影法）、二次投影法（间接投影法）xyabFxyABcossincosxxyF=FFcoszFFsinxyF=FsinsinsinyxyF=FF二次投影法二次投影法:如果已知如果已知F F、和和，则可求出力则可求出力 F 在各个坐标在各个坐标轴上的投影：轴上的投影：FzFxFyzxysinxyF=FF例例4 图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F的作用。已知斜齿轮的齿倾的作用。已知

11、斜齿轮的齿倾角（螺旋角）角（螺旋角）和压力角和压力角，试求力，试求力F在在x、y、z轴上的投影。轴上的投影。解：先将力解：先将力F向向z轴和轴和oxy平面投平面投影，得：影，得：sin,coszxyFFFF 再将力再将力Fxy向向x和和y轴投影，得：轴投影，得：coscoscossincos sinxxyyxyFFFFFF 以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力以两个力组成的共点力系为例。设有两个共点力F F1 1、F F2 2,并并用几何法画出其合力。用几何法画出其合力。三、合力投影定理三、合力投影定理 2FOAB1FRF2FCAB1FOxyRF2FCAB1FOabxybacc各力在各力

12、在y轴上投影：轴上投影：R12,yyyFa cFa bFb c 由图可知：由图可知：,acabbca ca bb c 即：即：R12,xxxFFFR12 yyyFFF各力在各力在x轴上投影：轴上投影：R12,xxxFac Fab Fbc 推广到任意多个力推广到任意多个力F1、F2、Fn 组成的平面组成的平面共点力系，可得：共点力系，可得：R121R121Rz121nxxxnxixxinyyynyiyyinzznzizziFFFFFFFFFFFFFFFFFF 合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。轴上的

13、投影的代数和。则则合力的大小和合力的大小和FR的方向余弦：的方向余弦：222222RRxRyRzxyzFFFFFFFcos ,cos ,cosRyyxzRxRzFFFFFFRRRRRR根据合力投影定理得根据合力投影定理得:R12R12Rz12xxxnxxyyynyyzznzzFFFFFFFFFFFFFFF一、汇交力系合成的解析法一、汇交力系合成的解析法4 4 汇交力系的合成与平衡汇交力系的合成与平衡解析法解析法 对于平面汇交力系的特殊情况问题：对于平面汇交力系的特殊情况问题：RyyFF 合力的大小合力的大小:2222RRxRyxyFFFFF合力合力FR的方向余弦的方向余弦:cos ,cos y

14、xRRFFFFxRxFF例例5 试求图中各力在坐标轴上的投影及各力的合力的大小和方向。试求图中各力在坐标轴上的投影及各力的合力的大小和方向。已知：已知：F1=F2=F3=100kN，F4=F5=200kN。OxyF5F4F3F2F160304545解：22cos6050 kNxFF 22sin6086.60 kNyFF33100 kNxFF 30yF44cos45141.42 kNxFF 44sin45141.42 kNyFF 55cos45141.42 kNxFF55sin45141.42 kNyFF OxyF5F4F3F2F160304545FRR12345 86.6050 100 141

15、.42 141.42 63.40kNxxxxxxFFFFFF R12345 5086.600 141.42 141.42 146.24kNyyyyyyFFFFFF 2222RRR(63.40)(146.24)159.39kNxyFFF RR63.40cos0.398159.39xFF 113 26 可得：可得：平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程:0,xF 0,yF 0zF 即即:汇交力系的平衡条件是汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐标轴中每一力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。轴上的投影的代数和分别等于零。2220RxyzFFFF汇交力系平衡的充要条

16、件是：汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零力系的合力等于零,即即:0yF 二、汇交力系平衡的解析条件二、汇交力系平衡的解析条件0,xF 例例6 图示重物重为图示重物重为Q=30kN，由绳索，由绳索AB、AC悬挂，求悬挂，求AB、AC的约束反力。的约束反力。解解:1）取研究对象）取研究对象力系的汇交点力系的汇交点A；AQFC 3）建立坐标系；）建立坐标系；yx4）列出对应的平衡方程：）列出对应的平衡方程：FB 600CBAQ30000sin60sin300BCFF5）联立求解：）联立求解：2）画受力图；）画受力图；00cos60cos30-0BCFFQ0,xF 0,yF B=15kN,26

17、kNCFF 例例7 水平力水平力F作用在门式刚架的作用在门式刚架的B点，如图点，如图2.12a所示，刚架的自重所示，刚架的自重忽略不计。试求忽略不计。试求A、D两处的约束力。两处的约束力。解解:1）选取刚架为研究对象）选取刚架为研究对象；2）画受力图；）画受力图；FAFADCByxFD5aFADCBa2a3）建立坐标系，列平衡方程：）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：）联立求解：0,cos0 xAFFF0,sin0yADFFF2cos5aasin5aa5,2AFF 2DFF F FA A为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，F FD D

18、为正值，为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。说明图中所假设的指向与其实际指向相同。FAFADCByxFD5a例例8 支架的横梁支架的横梁AB与支杆与支杆BC在在B点用铰链连接，梁的点用铰链连接，梁的A端以及支杆端以及支杆的的C点以铰链固定在铅垂墙上。已知力点以铰链固定在铅垂墙上。已知力F作用在梁中间，即作用在梁中间，即ADDB，且且F15kN，支杆，支杆BC与水平横梁成与水平横梁成30o角。设横梁和支杆的重量忽略角。设横梁和支杆的重量忽略不计，试求铰链不计，试求铰链A的约束力及支杆的约束力及支杆BC所受的力。所受的力。解解:1）取横梁取横梁AB为研究对象，画受力图；为研究对象，画受力

19、图；CBA DF30 xEBFAFBA D30y30F2）列平衡方程，建立）列平衡方程，建立Axy坐标系；坐标系；3）联立求解。）联立求解。xEBFAFBA D30y30F0,cos30cos300 xABFFF0,sin30sin300yABFFFF 15 kNABFFFF60ABCDaaFyxCF60ABCAF45例例9 边长为边长为a的直角弯杆的直角弯杆ABC的的A端与固定铰链支座联结，端与固定铰链支座联结，C端与杆端与杆CD用销钉联结，而杆用销钉联结，而杆CD与水平线的夹角为与水平线的夹角为60o，略去各杆的重量。，略去各杆的重量。沿沿BC方向作用已知力方向作用已知力F=60N。试求。

20、试求A，C两点的约束力。两点的约束力。解解:1）取取ABC为研究对象，受力图如图。为研究对象，受力图如图。FyxCF60ABCAF452）列平衡方程；列平衡方程；3）联立求解。）联立求解。A=-53.79 N,43.92NCFF yxFCF75ABCAF45 正值表示受力图中所假设的指向与真实正值表示受力图中所假设的指向与真实的方向一致的方向一致;负值表示受力图中所假设的指向与真实的负值表示受力图中所假设的指向与真实的方向相反。方向相反。0,xF sin 45cos600ACFFFsin 60cos 450CAFF0,yF 注意：坐标轴（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取注意：坐标轴

21、（投影轴）可以任意选取，与合成结果无关，最好取成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。成与各分力夹成已知角度，以便于投影计算。060 cos30 cos,0030 cos60 cos,02121FFFFFFFFBCyABx解方程得杆解方程得杆AB和和BC所受的力所受的力:kN 32.27366.1kN 321.7366.0PFPFBCBA解：解：由滑轮由滑轮B的平衡。的平衡。xyB3060FABF2F1FBCABD3060CP显然，显然，F1=F2=P例例 10 如图，如图，P=20 kN,求求AB、BC两杆受力。两杆受力。OyzxFCFBFAFT=FOCBAF例例11 杆杆AO，BO，CO用

22、光滑铰链连接在用光滑铰链连接在O处，并在处，并在O处挂有重处挂有重物物F。如图。如图2.15a所示。各杆的自重不计，且所示。各杆的自重不计，且45o，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。试求平衡时各杆所受的力。解解:1）取铰链取铰链 O为研究对象，受力图如图。为研究对象，受力图如图。2）列平衡方程，建立坐标系；）列平衡方程，建立坐标系；3）联立求解。）联立求解。0,sinsin0 xBCFFF0,sincoscos0yABCFFFF0,cos0zATFFF 2coscos45TAFFFF 2 2BCFFF FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，即为负值，说明图中所假设的指向与其实际

23、指向相反，即AO杆受压。杆受压。OyzxFCFBFAFT=F例例12 用起重机吊起重物。起重杆用起重机吊起重物。起重杆的的A端用球铰链固定在地面上，而端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳端则用绳CB和和DB拉住，两绳分拉住，两绳分别系在墙上的别系在墙上的C点和点和D点，连线点，连线CD平行于平行于x轴。已知轴。已知CE=EB=DE,角角=30o，CDB平面与水平面间的夹平面与水平面间的夹角角EBF=30o,重物重物G=10 kN。如。如不计起重杆的重量不计起重杆的重量,试求起重杆所受试求起重杆所受的力和绳子的拉力。的力和绳子的拉力。解解:取杆取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。与重物为研究

24、对象，受力分析如图。GF1F2FA045 sin45 sin,021FFFx1 20,sin 30cos 45 cos 30cos 45 cos 300yAFFFF120,cos 45 sin 30cos 45 sin 30cos 300zAFFFFG解出解出kN 66.8kN 3.5421AFFF解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，分离体选取最好含题设的已知条件。2.画受力图。3.列平衡方程求解。重点掌握汇交力系合成及平衡条件应用的解析法。小 结1 1 力偶系概念及工程实例力偶系概念及工程实例 日常生活中经常遇到力偶，比如：用手拧钥日常生活中经常遇到力偶，比如：用手拧钥匙、汽

25、车司机双手转动驾驶盘等。匙、汽车司机双手转动驾驶盘等。二、力偶的概念二、力偶的概念:作用于刚体上大小相等、方向相反且不共作用于刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力系称为力偶。线的两个力组成的力系称为力偶。无法再简化的简单力系之一。无法再简化的简单力系之一。力偶作用面：由一对力力偶作用面：由一对力 F F 所组成的平面；所组成的平面；力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用 d d 表示；表示；度量转动作用效应的物理量。单位度量转动作用效应的物理量。单位为为Nm或或kNm。力偶系：力偶系：作用于刚体上的一群力偶。作用于刚体上的一群力偶。

26、使刚体的转动状态发生改变。使刚体的转动状态发生改变。dF F一、平面中力对点之矩一、平面中力对点之矩 力力F对刚体产生的绕平面上对刚体产生的绕平面上O 点的转动效应取决于：点的转动效应取决于：转动效应的强度：转动效应的强度：Fd；转动的方向：顺时针或逆时针。转动的方向：顺时针或逆时针。力对点之矩（力矩）是为了描力对点之矩（力矩）是为了描述刚体运动中的转动效应。述刚体运动中的转动效应。OAFBd2 2 力对点之矩力对点之矩合力矩定理合力矩定理 力使刚体绕矩心力使刚体绕矩心 逆时针转动逆时针转动 时为正，时为正，顺时针转动顺时针转动 时为负。时为负。正负规定正负规定：O()2MFFdOAB 其中：

27、其中：O 为参考系中的某一点，称为矩心。为参考系中的某一点，称为矩心。d 为矩心至力为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。作用线的垂直距离，称为力臂。OAFBd平面中力对点之矩是一个代数量。平面中力对点之矩是一个代数量。力矩在下列两种情况下等于零：力矩在下列两种情况下等于零：1.力的大小等于零；力的大小等于零；2.力的作用线通过矩心，即力力的作用线通过矩心，即力臂等于零。臂等于零。力矩的单位常用力矩的单位常用Nm或或kNm。OAFBd二、力对点之矩矢二、力对点之矩矢 转向：刚体绕轴转动是顺时针还是逆时针。转向：刚体绕轴转动是顺时针还是逆时针。转动轴转动轴方位方位:力的作用线与矩心所决定的平面

28、的法线方位；力的作用线与矩心所决定的平面的法线方位；大小大小:力力F F与力臂的乘积；与力臂的乘积；在空间问题中，力对刚体在空间问题中，力对刚体产生的绕产生的绕O点的转动效应取决点的转动效应取决于三个要素：于三个要素：()OMF力对点之矩矢，是一个过矩心力对点之矩矢，是一个过矩心O的定位矢量，的定位矢量，是力对刚体转动效应的度量。是力对刚体转动效应的度量。1.力对点之矩矢的概念力对点之矩矢的概念2.力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式 力对点之矩矢的矢量积表示式力对点之矩矢的矢量积表示式sinrFrFFd()OMFrFOdAFrO()MF 力对点之矩矢的

29、解析表示式力对点之矩矢的解析表示式xyzFF iF jF krxiyjzkxyxijkxyzFFF()()()xyxzyxyFzF izFxFjxFyF k()()()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk 则则:r()ozyxMFyFzF()oxzyMFzFxF()oyzzMFxFyF 力对点力对点O的矩矢的矩矢 在三个坐标轴上的投影为在三个坐标轴上的投影为:()OMF()()()xyxzyxyFzF izFxFjxFyF k()()()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk 3.力对点之矩矢的基本性质力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动作用于刚体上的

30、二力对刚体产生的绕任一点的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于二力分别对该点矩矢的矢量和，即：二力分别对该点矩矢的矢量和，即：12()()OOOMMFMF 也就是说：力对点之矩矢服从矢量的合成法则。即也就是说：力对点之矩矢服从矢量的合成法则。即在一般情况下：在一般情况下：12()()()()OOOOnOMMFMFMFMF 对于平面力系，则有对于平面力系，则有(代数和）：代数和）：12()()()()OOOOnOMMFMFMFMF4.合力矩定理合力矩定理 合力矩定理：合力矩定理：合力对任一点之矩等于诸分力合力对任一点之矩等于诸分力对

31、同一点之矩的矢量和。对同一点之矩的矢量和。即：即：对于平面力系，则有（代数和）：对于平面力系，则有（代数和）：12()()()()OROOOnMFMFMFMF()()OROMFMF12()()()()OROOOnMFMFMFMF()()OROMFMF证明：证明：由图得由图得)sin()(0FrFdFM)cossincos(sinFr)sincoscossinrFrF而而yrxrFFFFyxsin,cossin,cosrxydoxyFyF FxF FA则则xyoyFxFFM)(例例1 1：图示梁受到载荷集度为：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，的均布载荷的作用，求均布载荷的合力及其作用线位

32、置。求均布载荷的合力及其作用线位置。00()2llxqlQq x dxqdxl解解:根据合力投影定理，根据合力投影定理，则合力的大小为：则合力的大小为：再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。假设合力假设合力Q的作用线距离的作用线距离A点的距离为点的距离为xC。lxqqx2023lCqlxqlxqdx xl23Clx 思考：这个力系的合力及作用线位置思考：这个力系的合力及作用线位置。q2AlBq13 3 力偶及其性质力偶及其性质()()()()OOABABABBAMMFMFrFrFrFrFrrFMrF 一、力偶矩矢概念一、力偶矩矢概念根据力对点之矩矢，力偶对

33、根据力对点之矩矢，力偶对O 之矩为：之矩为：FFABOArBrBAABrrrMdM称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。平面有一对力偶平面有一对力偶 ,将它们对将它们对O 点取矩。点取矩。(,)F F 力偶力偶转动转动效应效应三要素三要素力偶矩大小力偶矩大小转向转向作用面方位作用面方位力偶矩矢长度力偶矩矢长度力偶矩矢指向力偶矩矢指向力偶矩矢法线力偶矩矢法线力力 偶偶矩矩 矢矢三要素三要素三、力偶的解析表示式三、力偶的解析表示式选取坐标轴选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：，力偶矩矢可表示为：四、平面力偶四、平面力偶xyzM=M i+M j+M

34、 k是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。xyzMMM，M=Fd 规定：力偶使刚体在作用面内规定：力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正，顺时针转动时逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。为负。相同处：两者量纲相同；相同处：两者量纲相同；作用效应相同。作用效应相同。不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶矩是常量。矩是常量。联联 系：力偶中的两个力对任一点的矩之和是常量，等于力偶系：力偶中的两个力对任一点的矩之和是常量，等于力偶矩。矩。五、力对点的矩与力偶矩的区别与联系五、力对点的矩与力偶矩的区别与联系六

35、、力偶的等效条件和性质六、力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢力偶矩矢相等。相等。（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）1.力偶的等效条件力偶的等效条件2.力偶的性质力偶的性质 （2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又不平衡，也不能与一个力平衡（不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来平衡力偶只能由力偶来平衡）。）。是一个基本的力学量。是一个基本的力学量。（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。(,)()oABMF

36、FrrFM BAMrF力偶矩力偶矩FF因因（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(,)()()oooMF FMFMF ABrFrF （4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。刚体的作用效果不变。M F d(a)F F M F d/(c)F M F d(b)F（5）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平

37、面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。七、力偶的表示方法七、力偶的表示方法MM1S2SBA4FF3F3FF4FBAr1F1F1M2F2F2MM1M2M33)FF（，44FF（，）34F=FF+34F=FF+343412 ABABABABMrFrFFrFrFMM（）两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：此二力偶矩矢的矢量和。即：12MMMM为合力偶矩矢。为合力偶矩矢。4 4 力偶系的合成与平衡力偶系的合成与平衡一、力偶的合成一、力偶的合成Ri

38、MM有有推广：推广：力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：122RMMMMM选取坐标轴选取坐标轴Oxyz，则：，则：,RxxRyyRzzMMMMMM二、力偶矩矢的投影二、力偶矩矢的投影222()()()RxyzMMMMcosxMMcosyMMcoszMM合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示为：合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示为：平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶系各力偶力偶矩的代数和，即：矩的代数和，即：12

39、2RMMMMM即：力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和为零，称为力偶即：力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和为零，称为力偶系作用下刚体的平衡方程。系作用下刚体的平衡方程。000 xyzMMM0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零，力偶系各合力偶矩矢等于零，力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零力偶矩矢的矢量和等于零 。写出解析的形式，有：写出解析的形式，有：三、力偶系的平衡条件三、力偶系的平衡条件平面力偶系作用下刚体的平衡方程：平面力偶系作用下刚体的平衡方程：0M 即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。

40、222()()()RxyzMMMMOBDA1M2M例例 2 图示的铰接四连杆机构图示的铰接四连杆机构OABD，在杆，在杆OA 和和BD 上分上分别作用着矩为别作用着矩为 和和 的力偶，而使机构在图示位置处的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。于平衡。已知已知OA=r，DB=2r，=30，不计杆重，试求，不计杆重，试求 和和 间的关系。间的关系。1M2M1M2MOAABF1MOFDBB AF2MDF解：解：1）画受力图，杆）画受力图，杆AB为二力杆。为二力杆。2）分别写出杆）分别写出杆AO 和和BD 的平衡方程：的平衡方程：1cos0ABMF r22cos0BAMF r0,M 212ABBAFFM

41、MOAABF1MOFDBB AF2MDFaABCMbcBCCFBF例例3 图示机构在图示位置处于平衡。图示机构在图示位置处于平衡。解：解：1）画受力图，）画受力图，BC为二力体。为二力体。ACMCFAF220AMFab0,M 2）列平衡方程：）列平衡方程：22BCCAMFFFFab22AMFab已知，已知，a:b=c:a,不计杆重，求不计杆重，求A，B两点的约束力。两点的约束力。例例4 4 各构件不计自重，在构件各构件不计自重，在构件BCBC上作用一力偶矩为上作用一力偶矩为M M的的力偶。试求支座力偶。试求支座A A的约束力。的约束力。解：解：1 1）以）以BCBC构件为研究对象，画出分离体及

42、其受力图。构件为研究对象，画出分离体及其受力图。根据力偶平衡条件，列平衡方程根据力偶平衡条件，列平衡方程：C0,0MMFl 2）以）以ACD构件为研究对构件为研究对象，画出分离体受力图。象，画出分离体受力图。根据力偶平衡条件，列平根据力偶平衡条件，列平衡方程：衡方程：DC0,0MFlFl DMFlA,xMFlAyMFlA A点约束力为点约束力为:方向与图示一致。方向与图示一致。1M2M2MAF1OF1MAFCF例例5 图示使机构在图示位置处于平衡。图示使机构在图示位置处于平衡。已知，已知，OA=a，M1，不计杆重，求，不计杆重，求M2。解：解：1）画受力图。）画受力图。2）列平衡方程：）列平衡

43、方程：0,M 曲柄曲柄OA：0,M 摆杆摆杆O1B：1sin300AMFOA210AMFO A又：又：AAFF 可得：可得：214MM求求:轴承轴承A,B处的约束力处的约束力.圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，轴，例例6 6F1=3N，F2=5N，构件自重不计构件自重不计.两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，圆盘面圆盘面O2垂直于垂直于x轴，轴，AB=800mm,两圆盘半径均为两圆盘半径均为200200mm，解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图b所示所示.解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程0 xM08004002mmmmAzFF0yM08004001mmmmAxFFN5.1BxAxFFN5.2BzAzFF 1、理解力对点之矩和力对轴之矩的概念；2、理解力偶和力偶矩的概念；3、理解力偶矩矢的性质；4、力偶系的合成；5、力偶系平衡条件的应用。重点掌握力偶系合成及其平衡的条件，并运用平衡条件求解力偶系的平衡问题。