动力学课后思考题解答课件.ppt
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- 动力学 课后 思考题 解答 课件
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1、1.如图所示如图所示,均质圆轮质量为均质圆轮质量为m,半径为半径为R,放在粗糙水平面上放在粗糙水平面上,均质杆均质杆BC质量质量亦为亦为m,长为长为2R,二者固结如图示二者固结如图示.开始时系统静止开始时系统静止,杆杆BC位于铅锤位置位于铅锤位置.设杆设杆BC受小的扰动后倒下受小的扰动后倒下,圆盘在地面上作纯滚动圆盘在地面上作纯滚动,求当杆求当杆BC运动到水平位置时运动到水平位置时,(1)杆杆BC的角速度的大小的角速度的大小;(2)圆轮心圆轮心C的速度的大小的速度的大小;(3)圆轮心圆轮心C的加速度的的加速度的大小大小;(4)杆上杆上B点的加速度的大小点的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反
2、力和摩擦力的大地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小小.CBCB解解:(1)由动能定理由动能定理:AWTT12 mgRmRRmmR 02212121232122222 Rg23122 Rg2332 (2)2332gRRVC (3)轮杆组合体运动到任意位置时由机械能轮杆组合体运动到任意位置时由机械能守恒可得守恒可得:CVT CcosmgRRmsinRcosRRmmR 22222222212121212321选过选过C水平面为重力势能零点水平面为重力势能零点,对任意位置对任意位置,系统有系统有CcosmgRJmVJOOD 222212121CBmgR R ODCcosmgRmRcosmRmRmR 22
3、2222226143CcosmgRcosmRmR 22221223两边对时间两边对时间t求导数求导数026233222 sinmgRsinmRcosmRmR 026232222 sinmgRsinmRcosmRmR 当当 =900 时时Rg231222 上式为上式为0231262322 mgRRgmRmR xyOCB CaCanBCatBCaNFFmgCBmgR R OD上式为上式为0231262322 mgRRgmRmR Rg529210 轮心轮心C加速度大小加速度大小529210gRaC (4)杆上杆上B点的加速度的大小点的加速度的大小RRaBx22 Rg231222 Rg529210 5
4、293422324529210ggg 5294202gRaBy CB CaeanratraNFFmgO(5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.xy先求先求BC杆中心杆中心O点的加速度点的加速度RRaOx2 529662312529210ggg 529210gRaOy 轮心轮心C加速度大小加速度大小529210gRaC (5)求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小求地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.RRaOx2 529210gRaOy xy由动量定理由动量定理:eiiiFamx 方向方向:y 方向方向:FmamaOxC mgmgmgF52914452966
5、529210 52966g mgFmaNOy2 mgmaFOyN2 mgmgmgFN5298485292102 CB CaeanratraNFFmgOmg另解另解:求解某时刻的加速度和约束力求解某时刻的加速度和约束力,还可用达朗伯原理还可用达朗伯原理.CarOyarOxaeOaCBOgOMgCMmgmgrgOxFrgOyFegOFgCFRmFgC RmFegO RmFrgOy RmFrgOx2 221mRMgC 231mRMgO NFFDRg231222 0 Dm0 mgRRFRFRFRFMMrgOxrgOyegOgCgOgC031212222222 mgRRmRmRmRmmRmR mgRRm
6、RmRm 2222365 Rg529210 0 X0 YmgF529144 mgFN529848 BCBCOgm2解解:系统有两个自由度系统有两个自由度,选选 x、为广义坐标为广义坐标2.如图所示如图所示,均质圆轮质量为均质圆轮质量为m1,半径为半径为R,放在粗糙水平面上放在粗糙水平面上,均质杆均质杆BC质量为质量为m2,长长为为2R,用铰链连接于轮心用铰链连接于轮心C.开始时系统静止开始时系统静止,杆杆BC位于铅锤位置位于铅锤位置.杆杆BC受小的扰动后受小的扰动后倒下倒下,设圆盘在地面上作纯滚动设圆盘在地面上作纯滚动,求当杆求当杆BC运动到水平位置时运动到水平位置时,(1)杆杆BC的角速度的
7、大小的角速度的大小;(2)圆轮心圆轮心C的速度的大小的速度的大小;(3)杆杆BC的角加速度的大小的角加速度的大小;(4)圆轮心圆轮心C的加速度的大小的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.xx R FNFFNFx CCxFCyF由动量定理的水平方向投影由动量定理的水平方向投影取系统分析取系统分析:tFdtcosRxmxm0210 取圆轮分析取圆轮分析:由对质心的动量矩定理由对质心的动量矩定理dtFRORxRmt 02121 tFdtcosRxmxm0210 dtFRORxRmt 02121BCOgm2x R tFdtcosRmxmxm0221
8、 dtFxmt 0121两式联立可得两式联立可得:023221 cosRmxmxm(1)210322143222222221 cosgRmcosRxmRmxmxm 由系统的动能定理由系统的动能定理:AWTT12BC x 当当 =900由由(1)式式:0 x 即即VC=0.(2)式可化作式可化作:gRmRm222232 Rg23 Rg232 即是即是即即BCBCOx gm2R 1023221 cosRmxmxm 2cos1cos322143222222221 gRmRxmRmxmxm 0 x Rg23 x BCx 将将(1)式两边对式两边对t 求导求导 30sincos23222121 RmRm
9、xmxm 302323221gmxmxm 当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 212233mmgmx 将将(2)式两边对式两边对t 求导求导 4sinsincoscos3423222222221 gRmxmRxmRxmRmxxmxxm 当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 0 x 434222gRmRm 上式化简成上式化简成:Rg43 BCO 212233mmgmx Rg43 aRg232 212233mmgma Rg43 Rg232 noatoagm1gm2NFFBC杆质心杆质心O的加速度为的加速度为:211212232323233mmgmgmmgmaaanoox 43gRaatooy
10、 由质点系的动量定理由质点系的动量定理:5 iiiFam水平方向有水平方向有:Famamox 21 21212112212123232323233mmgmmmmgmmmmgmmF 铅垂方向有铅垂方向有:gmgmFamNoy212 44321221221gmgmgmgmmamgmmFoyN x 另解另解:速度及角速度问题同前速度及角速度问题同前,加速度问题另解如下加速度问题另解如下:(3)杆杆BC的角加速度的大小的角加速度的大小;(4)圆轮心圆轮心C的加速度的大小的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小和摩擦力的大小.解解:BC系统有两个自由度系统有两个自由度
11、,选选 x、为广义坐标为广义坐标 xBCOgm2x R 2222222221212121sincos212321 RmRxRmxmT cos32214322222221RxmRmxmxmT 选过选过C的水平线为重力势能零点的水平线为重力势能零点 cos2gRmV CcosgRmcosRxmRmxmxm 222222221322143运动过程中机械能守恒运动过程中机械能守恒CVT 将上式两边对时间将上式两边对时间t求导数求导数:03423222222221 sinRgmsinRxmcosRxmcosRxmRmxxmxxm 03423222222221 singRmcosRxmRmxsinRmco
12、sRmxmxmBCOgm2x R 03423222222221 singRmcosRxmRmxsinRmcosRmxmxm广义速度必不为零广义速度必不为零,所以有所以有 IsinRmcosRmxmxm02322221 IIsingmcosxmRm034222 当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 0 x 由由(I)式式212233mmgmx 由由(II)式式Rg43 BCODgm1gm2另解另解:速度问题同前速度问题同前(动能定理及广义动量守恒动能定理及广义动量守恒),加速度及约束力的问题可用达朗贝尔原理加速度及约束力的问题可用达朗贝尔原理.求求:(3)杆杆BC的角加速度的大小的角加速度的大
13、小;(4)圆轮心圆轮心C的加速度的大小的加速度的大小;(5)地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小地面对圆轮的法向反力和摩擦力的大小.当当BC杆水平时杆水平时2 Rg232 0 x NFF设图示瞬时设图示瞬时,C点的加速度为点的加速度为 a,BC杆杆的角加速度为的角加速度为.a 圆盘及圆盘及BC杆分别为平面运动杆分别为平面运动,将各自的将各自的惯性力系向各自的质心简化惯性力系向各自的质心简化ICFICMnOCatOCaIOMamFIC1 RamRaJMCIC121 tIOFnIOF amgmamRmaamFnOCnIO22222223 RmamFtOCtIO 22 取系统为研究对象取系统为研究对象
14、:0 iDFm02 gRmRFRFMMRFnIOtIOIOICIC 2231RmJMOIO 0233121222222211 gRmRamgmRmRmRamaRm tIOFCOBCxFnIOFIOMgm2CyF0233121222222211 gRmRamgmRmRmRamaRm 602534232221 gmRmamm 再取再取BC杆为研究对象杆为研究对象 :0 iCFm02 gRmRFMtIOIO03122222 gRmRmRm Rg43 代入代入(6):212233mmgma 取整体分析取整体分析BCODgm1gm2NFFa ICFICMnOCatOCaIOMtIOFnIOF 0X0 F
15、FFnIOICamFIC1 amgmFnIO2223 0Y021 gmgmFFtIONRmFtIO 2 21212323mmgmmF 421gmgmFN AB R x x3.小球的重量为小球的重量为P,小车的重量为小车的重量为W,系统开始静止系统开始静止.已知小车上四分之一圆弧面的已知小车上四分之一圆弧面的半径半径R,圆弧底端处圆弧底端处B距光滑水平地面的高度为距光滑水平地面的高度为h.设小球自圆弧顶端设小球自圆弧顶端A沿圆弧面落下沿圆弧面落下.求求:(1)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要自初始时刻到小球将要离开小车
16、的这段时间内离开小车的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小自小球离开小车到落地的这段时间内车到落地的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小球将要离开小车时小车时,圆弧面对小球的法向约束力圆弧面对小球的法向约束力.ABRh解解:两个自由度两个自由度选广义坐标选广义坐标(变量变量)x、系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒 0 sinRxgPxgW当小球在当小球在B点时点时 0 RxgPxgW 由动能定理由动能定理 sinPRcosRsinRxgPxgW 0212122
17、222当小球在当小球在B点时点时PRRxgPRgPxgPxgW 2222212121 0 RxgPxgW PRRxgPRgPxgPxgW 2222212121联立求解联立求解:WPRWgWPx 2WPRWg2)WP1(R (1)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车自初始时刻到小球将要离开小车的这段时间内的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这自小球离开小车到落地的这段时间内段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动
18、的水平距离;(4)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,圆弧面对小圆弧面对小球的法向约束力球的法向约束力.(1)(2)由质心坐标守恒由质心坐标守恒(水平方向水平方向)PWRxbPxaWPWPbWaxC PWPRx小车移动的距离小车移动的距离:小球移动的距离小球移动的距离:PWPRRs (3)ght2 小车移动的距离小车移动的距离:WPhRWWPWPRWgWPght xx 222WPhRWWPRWgght)xR(s 222 小球移动的距离小球移动的距离:ABR x xR(1)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,小球及小车的速度的大小小球及小车的速度的大小;(2)自初始时刻到小球将要离开小车自初
19、始时刻到小球将要离开小车的这段时间内的这段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(3)自小球离开小车到落地的这自小球离开小车到落地的这段时间内段时间内,小车移动的距离和小球运动的水平距离小车移动的距离和小球运动的水平距离;(4)小球将要离开小车时小球将要离开小车时,圆弧面对小圆弧面对小球的法向约束力球的法向约束力.ABR x xR(4)取小球分析运动及受力取小球分析运动及受力由由gcgerFFFam 此题中此题中0 gcF此题此时此题此时0 geFNFR P由由Famr PFRgPN 2 P2W3WPRgPPF2N WPRWg2)WP1(R )()(WP
20、RWg2WP1 WRgPW22 4.可在地面上滚动而不滑动的均质细圆环管质量为可在地面上滚动而不滑动的均质细圆环管质量为m1,半径为半径为R,管内装有质量为管内装有质量为m的小珠的小珠,管的内壁光滑管的内壁光滑.开始时圆环和小珠静止不动开始时圆环和小珠静止不动,小珠位于圆环的最右边的小珠位于圆环的最右边的地方地方(如图示如图示).释放系统使小珠下落释放系统使小珠下落.求小珠到达最低位置时求小珠到达最低位置时,圆环管的角速度的圆环管的角速度的大小大小.Om解解:由动能定理由动能定理设圆环的角速度为设圆环的角速度为,小珠相对于圆环中心小珠相对于圆环中心O的速度为的速度为Vr.mgRVRmRmr 0
21、212212221 1212212221mgRRVmmVRmmrr 由动量定理由动量定理:(水平方向投影水平方向投影)2001dtFVRmRmtr 取圆环分析取圆环分析NFtFgm1nFOR RdtFRmt 0210 301dtFRmt 由由(2)、(3)可得可得:4021 rmVRmm 由对其质心的动量矩定理由对其质心的动量矩定理:Ogm1mg rVOVNFtFOm 1212212221mgRRVmmVRmmrr 4021 rmVRmm(1)、(4)联立可得联立可得:Rmmmgm121222 Rmmmgm12122 mO1m mgOx Om取广义坐标取广义坐标 x、.sin21221coss
22、in2122122212222221RxmRmxmmRRxmRxRmT R 取过取过O水平面为重力势能零点水平面为重力势能零点 sinmgRV sinsin212212221mgRRxmRmxmmVTL x 为循环坐标为循环坐标0 xLxLdtd由由得得:常数常数CxL CRmxmm sin21由初始条件由初始条件,C=0当当 =900,4021 Rmxmm 另解另解:其中其中,Rx rVR (其余同前其余同前)0sin21 Rmxmm解解:5.图示质量为图示质量为m2的均匀圆柱轮在质量为的均匀圆柱轮在质量为m1的斜面上作纯滚动的斜面上作纯滚动,斜面可在光滑斜面可在光滑水平面上运动水平面上运动
23、,试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度试求系统在运动时圆柱轮心及斜面的加速度.分别取圆柱、斜面分析运动及受力分别取圆柱、斜面分析运动及受力.2x 2y Cgm2 A2NF2F1x gm1 1NF2NF2F.1x gm1gm22x 2y CA对圆柱对圆柱由质心运动定理由质心运动定理由对质心的动量矩定理由对质心的动量矩定理rFrm22221 由于圆柱在运动的斜面上只滚不滑由于圆柱在运动的斜面上只滚不滑,上式化为上式化为对斜面对斜面由牛顿第二定律由牛顿第二定律 sinFcosFxmN 2222 (1)gmcosFsinFymN22222 (2)212221Fcosrxxrm (3)sinFcosF
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