半径为R的圆柱体上电荷均匀分布课件.ppt

1、陇东学院陇东学院大学物理学大学物理学部分习题课件部分习题课件8-5 若电荷均匀地分布在长为若电荷均匀地分布在长为L的细棒上的细棒上,求证求证:(1)在棒的延长线在棒的延长线,且离棒中心为且离棒中心为r处的电场强度为处的电场强度为(2)在棒的垂直平分线上在棒的垂直平分线上,离棒为离棒为r的电场强度为的电场强度为22041LrQE220421LrQrE(1)在带电棒上取一线元在带电棒上取一线元dx,其其电荷为电荷为 dq=Qdx/L,它在它在P点点的电场强度大小为的电场强度大小为:20)(41xrdqdE方向沿方向沿X轴正方向轴正方向LOxdxxPrdE因带电棒上各电荷元在点因带电棒上各电荷元在点

2、P的电场强度方向相同的电场强度方向相同,则则:2/12/14)(4102/2/20LrLrLQxrLQdxELL22041LrQ电场强度的方向沿电场强度的方向沿x轴正方向轴正方向(2)电荷元电荷元 dq=Qdx/L在在P点点的电场强度大小为的电场强度大小为:LOxdxxPrrdEy2041rdqdEE沿沿x轴方向的分量因对称性叠加为零轴方向的分量因对称性叠加为零故故,点点P的电场强度大小为的电场强度大小为:LLLyyrdqdEdEEE204sinsin因为因为 统一积分变量统一积分变量,则则 22,/sinxrrrr方向沿方向沿y轴的正方向轴的正方向E222/2/02/3220421)(4rL

3、QrrxrQdxELL当棒长当棒长 时时,P点的电场强度为点的电场强度为LrLrLQrEL02202/41/21lim此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同8-7 一半径为一半径为R的半球壳的半球壳,均匀地带有电荷均匀地带有电荷,电荷面密度电荷面密度为为,求球心处电场强度的大小求球心处电场强度的大小.将半球壳分割为一组平行的细将半球壳分割为一组平行的细圆环圆环,从教材第从教材第8-3节的例节的例1可以可以看出看出,所有细圆环在轴线上所有细圆环在轴线上O处处的电场强度方向都相同的电场强度方向都相同,将所有将所有的带电圆环的电场强度积分的带电圆环的

4、电场强度积分,即即可求得球心可求得球心O处的电场强度处的电场强度.RodxdRdsdqsin22所带电荷元为所带电荷元为:将半球壳分割为一组平行的细圆环将半球壳分割为一组平行的细圆环,任一个圆环任一个圆环在点在点O激发的电场强度为激发的电场强度为:irxxdqEd2/3220)(41由于平行细圆环在点由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同激发的电场强度方向相同,利利用几何关系用几何关系 统一积分变量统一积分变量,有有sin,cosRrRxddRRRrxxdqdEcossin2sin2cos41)(4102302/3220积分得积分得:02/004cossin2dE8-8用电场强度叠加原理求

5、证用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为外一点的电场强度大小为 (提示提示:把无限把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然然后进行积分叠加后进行积分叠加)02/E求点求点P的电场强度可采用两种方法处理的电场强度可采用两种方法处理.将无限大将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成长线元组成,它们的电荷分别为它们的电荷分别为:dydrdrdq或2求出它们在轴线上一点求出它们在轴线上一点P的电场强度的电场强度dE后后,再叠再叠加积分加积分,即可求得点

6、即可求得点P的电场强度了的电场强度了.如图所示如图所示,在带电板上取在带电板上取同心细圆环为微元同心细圆环为微元,由于由于带电平面上同心圆环在带电平面上同心圆环在点点P激发的电场强度激发的电场强度dE的的方向均相同方向均相同,因而因而P处的电处的电场强度为场强度为rdrozyxPdEixrxdqEdE2/3220)(41iixrxrdr002/32202)(42电场强度电场强度E的方向为带电平板外法线方向的方向为带电平板外法线方向.如图所示如图所示,取无限长带电细取无限长带电细线为微元线为微元,各微元在点各微元在点P激激发的电场强度发的电场强度dE在在oxy平平面内且对面内且对x轴对称轴对称,

7、因此因此,电电场在场在y轴和轴和z轴方向上的分轴方向上的分量之和量之和,即即Ey、Ex均为零，均为零，则点则点P的电场强度应为：的电场强度应为：iyxxdyidEiEEx2202cos积分得积分得iE02电场强度电场强度E的方向为带电平板外法线方向的方向为带电平板外法线方向.ozyxPdEydyxdEydE8-11如图如图8-11所示所示,电荷电荷 分别均匀分布在两个半径分别均匀分布在两个半径为为R的半细圆环上，求：（的半细圆环上，求：（1）带电圆环偶极矩的大）带电圆环偶极矩的大小和方向；（小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。）等效正、负电荷中心的位置。Q（1）将圆环沿）将圆环沿y轴方向

8、分割为一组轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电偶极子带电dQdsRQdqRoxyL dsjdRQjdqRPdcos2cos2则带电圆环的电偶极矩为：则带电圆环的电偶极矩为：jRQPdP42/2/（2）等效正负电荷中心间距为）等效正负电荷中心间距为RQPl4根据对称性正、负电荷中心在根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐轴上，所以其坐标分别为（标分别为（0,2R/）和（）和（0，-2R/）。）。也可借助几何中心的定义，得也可借助几何中心的定义，得2/2/0sin1RdRRx2/2/2cos1RRdRRy即正、负电荷中心分别在即正、负电荷中心分

9、别在y轴上距中心轴上距中心O为为 处。处。R28-13边长为边长为a 的立方体如图所示的立方体如图所示,其表面分别平等于其表面分别平等于xy、yz和和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度方体置于电场强度 的非均匀电场的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。强度通量。jEikxEE21)(xyzABCGFOED由题意知由题意知E与与oxy面平行，所面平行，所以对任何与以对任何与oxy面平行的立方面平行的立方体表面，电场强度通量为零，体表面，电场强度通量为零，即

10、即 ，而，而0DEFGOABC2221)()(aEjdsjEikxESdEABGFxyzABCGFOED考虑到面考虑到面CDEO与面与面ABGF的外法的外法线方向相反，且该两面的电场分布线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有：相同，故有：22aEABGFCDEO同理有：同理有：221)(EaidsjEiESdEAOEF2121)()()(akaEidsjEikaESdEBCDG整个立方体表面的电场强度通量为：整个立方体表面的电场强度通量为：3kaRrkr08-158-15设在半径为设在半径为R R的球体内，其电荷为对称分布，电的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为：荷体密度为：Rr 0K为

11、一常量，试高斯定理求电场强度为一常量，试高斯定理求电场强度E与与r的函数关的函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）Rrro取与带电球体同心的球面为高斯取与带电球体同心的球面为高斯面，因电荷分布和电场分布为球面，因电荷分布和电场分布为球对称对称，球面上各点电场强度的大，球面上各点电场强度的大小为常量，且方向垂直于球面。小为常量，且方向垂直于球面。由高斯定理：由高斯定理：RrrodVSdE01当当 时：时：Rr 0400202414rkdrrkrrErrekrE024Rr 当当 时：时：400202414RkdrrkrrERrerkRE2

12、0448-16一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平，在平板中部有一半径为板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为板相距为x的一点的一点P的电场强度。的电场强度。用补偿法求解用补偿法求解 利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这特殊的对称性电场，本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布平面和带电圆盘的电场叠加，求出

13、电场的分布 若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度一个带相反电荷（电荷面密度 ）的圆盘。这）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。立在该处激发的电场的矢量和。由教材中第由教材中第8-4节例节例4可知，在带电平面附近可知，在带电平面附近neE012xxr为沿平面外法线的单位矢量为沿平面外法线的单位矢量;圆盘激发的电场为圆盘激发的电场为:nenerxxE

14、)1(22202它们的合电场强度为它们的合电场强度为:nerxxEEE220212在圆孔中心处在圆孔中心处x=0,则则:0E距离圆孔较远处距离圆孔较远处xr则则:nneexrE02202/1128-17如图所示，在电荷体密度为如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向空腔球心指向空腔球心O的矢量用的矢量用 表示，试证明球形空腔中任一点的电场表示，试证明球形空腔中任一点的电场强度为：强度为：aaE03用补偿法求解用补偿法求解挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完

15、整的、电荷体密度为的、电荷体密度为的均匀带电球状和一个电荷体密的均匀带电球状和一个电荷体密度为度为-、球心在、球心在O的带小球体（半径等于空腔球体的带小球体（半径等于空腔球体的半径）。大小球体在空腔内的半径）。大小球体在空腔内P点产生的电场强度分点产生的电场强度分别为别为 ，则，则P点的电场强度点的电场强度21E、E21EEEooa均匀带电球体内部一点的电场强均匀带电球体内部一点的电场强度，由高斯定理可得：度，由高斯定理可得：rooodrrqsdE241rErrEo0323,3414所以：所以：2021013;3rErE)(321021rrEEE利用几何关系利用几何关系 ，上式可改写为，上式可

16、改写为arr21aE03ooa1r2r8-19一无限长、半径为一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为柱体单位长度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为线距离为r处的电场强度。处的电场强度。RrL因电荷具有轴对称分布，电场因电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理得：面，由高斯定理得：02qrLEsdE因为因为 所以所以2/R222RLrLrq202RrE解得解得8-20一个内外半径分别为一个内外半径分别为R1和和

17、R2的均匀带电球壳，总的均匀带电球壳，总电荷为电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球的均匀带电球面，球面带电荷为面，球面带电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否是，求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离场点与球心的距离r的连续函数？试分析。的连续函数？试分析。1R2R3R因电荷呈球对称分布，电场强度因电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，取半径为也为球对称分布，取半径为r的同的同心球面为高斯面，由高斯定理得：心球面为高斯面，由高斯定理得：02/4qrEsdE当当rR1时，该高斯面内无电荷，时，该高斯面内无电荷，故故 0q01E当当R1rR2 时，高斯面

18、内电荷时，高斯面内电荷 故故31323131)(RRRrQq23132031312)(4)(rRRRrQE当当R2rR3 时，高斯面内电荷为时，高斯面内电荷为Q1+Q2，故，故20134rQE电场强度方向均沿径矢方向电场强度方向均沿径矢方向各区域的电场强度分布曲线各区域的电场强度分布曲线如图所示如图所示OE2R1R3Rr 在带电球面的两侧，电场在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴度不连续，而在紧贴r=R3带带电球面，电场强度的跃变量电球面，电场强度的跃变量02302344RQEEE 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，这一跃变是

19、将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。的变化成为一跃变。8-22如图所示，有三个点电荷如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且零，且Q1=Q3=Q，

20、求在固定，求在固定Q1、Q3的情况下，将的情况下，将 Q2 从点从点O移到无穷远处外力所作的功。移到无穷远处外力所作的功。.1Q2Q3Qoxydd由题意由题意Q1所受合力为零所受合力为零0)2(4420312021dQQdQQ故得故得QQ412因因Q1=Q3=Q外力作的功外力作的功W应等于电场力应等于电场力作功的负值即作功的负值即W=-W.1Q2Q3Qoxydd根据电场力作功与电势差的根据电场力作功与电势差的关系有关系有0202)(VQVVQWV0为为Q1Q2在点在点O产生的电势（取无穷远处的电势为零）产生的电势（取无穷远处的电势为零）dQdQdQV003010244将将Q2从点从点O推到无穷

21、远处的过程中，外力作的功为推到无穷远处的过程中，外力作的功为dQVQWW020288-24水分子的电偶极矩水分子的电偶极矩P的大小为的大小为6.2010-30Cm,求求在下述情况下在下述情况下,距离分子为距离分子为r=5.0010-9m处的电势处的电势.(1)=0o;(2)=45o;(3)=90o,为为r与与p之间的夹角之间的夹角.由点电荷电势的叠加由点电荷电势的叠加20004cos44rprqrqVVVp(1)若若=0oVrpVp3201023.24(2)若若=45oVrpVop3201058.1445cos(3)若若=90o0490cos20rpVop8-25如图所示如图所示,有一薄金属环

22、有一薄金属环,其内外半径分别为其内外半径分别为R1和和R2,圆环均匀带电圆环均匀带电,电荷面密度为电荷面密度为.(1)计算通过环心垂直计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势于环面的轴线上一点的电势;(2)若有一质子沿轴线从若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环无限远处射向带正电的圆环,要使质子能穿过圆环要使质子能穿过圆环,它它的初速度至少应为多少的初速度至少应为多少?1R2Rroxxvp(1)在环上割取半径为在环上割取半径为r、宽度为宽度为dr的带电细圆环，的带电细圆环，其所带电荷为其所带电荷为rdrdsdq2它在轴线上产生的电势为它在轴线上产生的电势为2/12202/1220)(2)(

23、4rxrdrrxdqdV薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加薄金属环的电势等于这些同心圆环电势的叠加2)(222122202/122021xRxRrxrdqVRR（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能动能 ，开始时质子的初速度应满足，开始时质子的初速度应满足0kE0)(2102VVemvo即即)(120RRmevo上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于上式表明质子欲穿过环心，其速率不能小于)(120RRme8-26两个同心球面的半径分别为两个同心球面的半径分别为R1和和R2，各自带有，各自带有电荷电荷Q1和和Q2。求各区域电势分布，并画

24、出分布曲线；。求各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？）两球面间的电势差为多少？1R2R(1)由高斯定理可求得电场分布由高斯定理可求得电场分布用场强积分法求电势用场强积分法求电势01E1Rr rerQE2012421RrRrerQQE2021342Rr 由电势由电势 可求得各区域的电势分布可求得各区域的电势分布l dEVr当当rR1时时,有有22113211RRRRrl dEl dEl dEV20210120212101444)11(40RQRQRQQRRQ当当R1rR2时时,有有22322RRrl dEl dEV202012021201444)11(4RQrQRQQR

25、rQVo1R2Rr当当rR2时时,有有rl dEV33rQQ0214(2)两个球面间的电势差为两个球面间的电势差为)11(4210121221RRQl dEURR用电势叠加法求电势用电势叠加法求电势(1)由各球面电势的叠加计算电势分布由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于若该点位于两个球面内两个球面内,即即rR1,则则202101144RQRQV若该点位于两个球面之间若该点位于两个球面之间,即即R1rR2,则则20201244RQrQV若该点位于两个球面之外若该点位于两个球面之外,即即rR2,则则rQQV02134(2)两个球面间的电势差为两个球面间的电势差为2011012112442RQ

26、RQVVURr8-27半径为半径为R的无限长带电细棒的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分其内部的电荷均匀分布布,电荷的体密度为电荷的体密度为现取棒表面为零电势现取棒表面为零电势,求空间电求空间电势分布并画出分布曲线。势分布并画出分布曲线。Rrl无限长均匀带电细棒电荷分布无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称呈轴对称,其电场和电势的分布其电场和电势的分布也呈轴对称也呈轴对称.取高度为取高度为 、半、半径为径为 且与带电棒同轴的圆柱且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理面为高斯面，由高斯定理lrVdVsdE01当当 时时Rr 02/2lrrlE得得02rE 当当 时，时，Rr 02/2lRrlE得

27、：得：rRE022取棒表面为零电势，空间电势的分布有取棒表面为零电势，空间电势的分布有当当 时，时，Rr)(422200rRdrrVRr当当 时，时，Rr rRRdrrRVRrln220202电势电势V随空间位置随空间位置r的分布曲线为的分布曲线为oVRr8-28一圆盘半径一圆盘半径R=3.00 10-2m,圆盘均匀带电圆盘均匀带电,电荷面电荷面密度密度=2.0010-5C m-2.(1)求轴线上的电势分布求轴线上的电势分布;(2)根根据电场强度与电势梯度的关系求电场分布据电场强度与电势梯度的关系求电场分布;(3)计算离计算离盘心盘心30.0cm处的电势和电场强度。处的电势和电场强度。Rrox

28、xp利用与题利用与题8-25类似的方法，将积分限改为类似的方法，将积分限改为0到到R，即可，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布（1）轴线上任一点）轴线上任一点P的电势为的电势为)1()(222200220 xxRxrrdrVR（2）轴线上任一点电场强度为）轴线上任一点电场强度为)2()1(2220ixRxidxdVE电场强度方向沿电场强度方向沿x轴方向轴方向（3）将场点至盘心的距离）将场点至盘心的距离x=30.0cm分别代入分别代入(1)和和(2)式

29、式得得:VmV16911048.70410356071048.2mVE当当xR时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有CRq821065.5VxqV16954012056494mVxqE由此可见，当由此可见，当xR时，可以忽略圆盘的几何形状，时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理。本题中作这样而将带电的圆盘当作点电荷来处理。本题中作这样的近似处理，的近似处理，E和和V的误差分别不超过的误差分别不超过0.3%和和0.8%，这已足以满足一般的测量精度这已足以满足一

30、般的测量精度8-32在在oxy面上倒扣着半径为面上倒扣着半径为R的半球面的半球面,半球面上电荷半球面上电荷均匀分布均匀分布,电荷面密度为电荷面密度为,A点坐标为点坐标为(0,R/2),B点的坐点的坐标为标为(3R/2,0)求电势差求电势差UAB)(2121BRABABVVUU其中其中 是带电球表面的电势，是带电球表面的电势，是带电球面在是带电球面在B点的点的电势电势ABUABU电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球电势的叠加是标量的叠加，根据对称性，带电半球面在面在oxy平面上各点产生的电势显然就是带电球面在平面上各点产生的电势显然就是带电球面在该点的电势的一半，据此，可先求出一个完整球面该点的电势的一半，据此，可先求出一个完整球面在在A、B间的电势差间的电势差 ，再求出半球面时的电势，再求出半球面时的电势差差 ，由于带电球面内等电势，球面内由于带电球面内等电势，球面内A点电势等点电势等于球表面的电势，故：于球表面的电势，故：ABUABUxyBoAR假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度的一个的一个完整球面，此时在完整球面，此时在A、B两点的电势分别为两点的电势分别为RAVRRQV0040020324RrRrQVB则半球面在则半球面在A、B两点的电势差为两点的电势差为06)(21RVVUBRAB