名师推荐第4节函数极限的定义与基本理论课件.ppt
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1、2.4 函数的极限的定义 与基本理论一、极限的定义.0,sin1时时的的变变化化当当、观观察察函函数数 xxxy问题:如何用描述?定义4.1(邻域)称称集集合合,|0|);(00 xxxxUo).(00 xUxo 的的去去心心邻邻域域,或或记记为为为为点点定义4.2(函数极限)的的去去心心邻邻域域,在在点点设设0)(xxf为为一一个个实实数数,若若内内有有定定义义,AxUo)(0 时时,有有当当对对|,00 xx,|)(|Axf.)(lim,)(,00AxfAxfxxxx 记记为为为为极极限限以以时时称称注1:注2:注3:图形完全落在以图形完全落在以函数函数当当)(),;(0 xfyxUxo
2、.2,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线 Ay .0附近取值有关附近取值有关极限为局部性质,仅和极限为局部性质,仅和 x.有关有关取值和取值和 ;)(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点与与xxf几何意义xxysin 例1.0sinlim xxx证明证明证xxxxsin0sin x1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx.0sinlim xxx故故例2.211lim21 xxx证明证明证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要使要使,2112 xx就有就
3、有.211lim21 xxx定义4.3(极限不存在的定义)为极限:为极限:不以不以在在函数函数Axxf0)(,0,00 对对.|)(|,|000 Axfxxx但但满足满足例2.)0(,0)(处处不连续处处不连续,在在证明证明 QRxQxxxf为有理数,则为有理数,则若若,对任意对任意00),0(xx 证明由实数稠密性,知由实数稠密性,知对对,0,0200 x,满足,满足存在无理数存在无理数 x但但,|00 xx.|)()(|00 xxfxf为无理数,为无理数,若若0 x,200 x 对对由实数稠密性,由实数稠密性,,0200 x,满足,满足存在有理数存在有理数 x但但,2,|000 xxxx
4、.|)()(|0 xxfxf.所以处处极限不存在所以处处极限不存在二、函数极限的性质.)(lim0存在,则极限必唯一存在,则极限必唯一若若xfxx证明:;|)(|,|,0101 Axfxx性质4.1.(唯一性),0,)(lim,)(lim00 则则若若BxfAxfxxxx;|)(|,|,0202 Bxfxx则则,|,min021 xx.2|)(|)(|BABxfAxfBA ,即,即 证明:1.|)(|Axf|)(|)(|)(|AAxfAAxfxf .)()(,)(lim000内有界内有界的邻域的邻域在在则则存在存在xUxxfxfoxx 性质4.2.(局部有界性)时时当当取取|00,1,0 xx
5、.)()(00内有界内有界的邻域的邻域在在所以所以xUxxfo.|1MA 则则设设,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx 性质4.3.(保序性).BA,)1(BA 若若).()(xgxf,),(,000时时当当 xUx 则则时时当当若若),()(,),(,0)2(00 xgxfxUx 证明:由由取取,2BA 知知,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx ;2|)(|,|,0101BAAxfxx ;2|)(|,|,0202BABxgxx 则则两两式式同同时时成成立立,|,min021 xx2)(,2)(BAxgBAxf 和和即即).()(xgxf 所所以以),0(0,)(lim
6、0 AAAxfxx或或且且若若性质4.4(保号性)证明:则则取取,|0,0,20 xxA得得,2|)(|AAxf .23)(20AxfA ).0)(0)(,),(,00 xfxfxUxo或或时时当当则则 .)(有相同的符号有相同的符号在该邻域内与在该邻域内与所以所以Axf下下列列函函数数满满足足时时如如果果当当,)(0 xUxo ),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2(00AxhAxgxxxx .,)(lim 0Axfxx且且等等于于存存在在那那么么性质4.5(夹逼定理)证明:;)(,|0,0101 AxgAxx时时当当时时当当取取|0 ),min(021xx;)()(
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