大学物理第11章课件.ppt

1、目 录第11章机 械 振 动第12章机 械 波第13章波 动 光 学目 录第一节简谐振动的运动学描述第二节简谐振动的动力学描述第三节旋转矢量法第四节简谐振动的合成第五节阻 尼 振 动第六节受迫振动 共振第十一章第十一章 机机 械械 振振 动动前面讨论了物质的平动和转动，本章讨论另外一种运动形式振动.实际上，物体的平动、转动和振动是物质粒子性的表现.物体在某一位置附近来回往复的周期运动称为机械振动，这种周期运动现象在自然界中非常常见.例如，钟摆的摆动、气缸活塞的往复运动、心脏的跳动等，都是机械振动.振动这种运动形式不仅在力学中存在，在其他物理学领域也是存在的.广义的振动是指任何一个物理量随时间做

2、周期性变化的过程.第十一章第十一章 机机 械械 振振 动动例如，电路中的电流和电压、电磁场中的电场强度和磁场强度也都可能随时间做周期性变化，这种变化称为电磁振动或电磁振荡.不同的振动现象尽管存在的本质不同，但它们随时间的周期性变化在形式上都遵从相似的规律.本章以机械振动为例讨论周期振动的普遍规律.最基本、最简单的周期振动是简谐振动.一切复杂的振动都可以看作若干简谐振动的叠加.因此，本章首先讨论简谐振动的周期性特征，进而讨论振动的叠加，最后简单介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象等.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述 简谐振动的运动方程 一、一、下面以弹簧振子为例讨论简谐振动的规

3、律.弹簧振子是理想模型，实际并不存在.只有满足不考虑物体的形变和可忽略弹簧的质量的条件时，弹簧和物体组成的系统才可以称为弹簧振子，如图11-1所示.图11-1 弹簧振子第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述弹簧振子系统中轻弹簧的一端固定，另一端系一个质量为m的物体.将弹簧振子置于光滑的水平面上，取平衡位置O点为坐标原点，向右为x轴正向.现在让物体离开平衡位置一段微小位移，由于弹簧被拉长或被压缩，物体受到指向平衡位置的回复力F，迫使物体返回平衡位置.该物体将在O点两侧做往复运动.在这个运动过程中，物体离开平衡位置的位移x将按余弦函数的规律随时间t做周期性变化，即 x=Acos(t

4、+)(11-1)这就是简谐振动的运动方程.在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动是简谐振动.进一步推广，任何一个物理量，如果是时间的余弦（或正弦）函数，那么该物理量按简谐振动规律变化.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述弹簧振子系统中的物体可视为质点.质点的运动，第一章是用位矢、速度和加速度来描述的.式（11-1）就是弹簧振子的坐标x随时间t周期变化的规律，下面就从弹簧振子的速度和加速度角度讨论简谐振动的规律.根据简谐振动的运动方程，可求出任意时刻物体运动的速度和加速度分别为 (11-2)式中，vm=A，称为速度振幅.(11-3)式中，am=2A，称为加速度振幅.第一节第一

5、节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述由此可见，当物体做简谐振动时，只不过振幅和振动的步调不一致.图11-2给出了某简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系.我们通常把表示x-t关系的曲线、v-t关系的曲线和a-t关系的曲线分别称为振动曲线、速度振动曲线和加速度振动曲线.图11-2 位移、速度、加速度与时间的关系第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述比较式（11-1)和式（11-3)，可得 (11-4)式(11-4)说明，简谐振动的加速度与位移成正比且反向.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述 简谐振动的特征量 二、二、从式（11-1)式（11-3)可以

6、看出，简谐振动的位移、速度和加速度都表现出周期性，方程中都出现A、和.只要知道了A、和，就可以全面描述简谐振动的周期性特征.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述周期周期 频率频率 角频率角频率1.式（11-1)中的称为角频率，也称圆频率.简谐振动物体位置的变化具有时间周期性，以T表示周期，即振动往复一次所经历的时间，则应有x=Acos(t+)=Acos(t+T)+由于余弦函数的周期是2，因而角频率与周期的关系为 (11-5)在国际单位制中，角频率的单位是弧度/秒（rad/s）.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述单位时间内振动往复（或完成全振动）的次数称为振

7、动频率，用表示，它的单位是赫兹（Hz），显然有 (11-6)由式（11-5)和式（11-6)可知，角频率与简谐振动的周期相联系.越大，则振动频率越快，而振动周期越短.所以角频率描述了振动的快慢.这几个物理量描述了简谐振动的时间周期性.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述振幅振幅2.式（11-1)中的A称为振幅，表示简谐振动的物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值.它给出了物体的振动范围为-A+A，反映了振动的强弱，描述了简谐振动的空间周期性.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述相位相位 初相初相3.在简谐振动的运动方程中，t+称为简谐振动的相位，初始时刻t=0的

8、相位称为简谐振动的初相.在角频率和振幅A已知的简谐振动中，根据式（11-1)可知，振动物体在任意时刻t的位移和速度，即振子的运动状态都由t+决定.t+是决定简谐振动状态的物理量.物体的简谐振动，在一个周期之内，每时刻的运动状态都有与之相对应的相位，因此，描述简谐振动时，常常不去分别指出物体的位置和速度，而直接用相位表示物体的某一运动状态.第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述通常把A、和三个量称为描述简谐振动的三个特征量，因为只要这三个量确定了，就可以写出简谐振动的运动方程，得到简谐振动的全面信息.A和由初始条件确定，而取决于振动系统自身的动力学性质.通过相位可以方便地比较两个

9、同频率的简谐振动的步调.设两个简谐振动分别为 x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)则它们的相位之差为 =(t+2)(t+1)=21第一节第一节 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述可见，它们在任意时刻的相位差都等于其初相位之差而与时间无关.当=2k时，两振动物体将同时到达各自同方向的最大位移处，并且同时越过平衡位置向同方向运动，其步调完全一致，称为两者同相；当=2k+1时，两振动物体同时到达各自相反方向的最大位移处，也同时通过平衡位置但向相反方向运动，其步调完全相反，称为两者反相.式（11-1)式（11-3)中的相位不同，速度的相位应比位移的相位超前2，而加速度和位移是反相

10、的.例如，在图11-2中，x-t、v-t和a-t三条曲线的变化周期相同，但振动的步调不一致.第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述上一节从运动学角度描述了简谐振动，本节进一步讨论弹簧振子做简谐振动的原因.除了弹簧振子外，还有哪些情况物体的振动可视为简谐振动？第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述 简谐振动的动力学方程 一、一、以弹簧振子为例，进行简谐振动的动力学分析，如图11-1所示.弹簧振子系统的平衡位置位于x轴的坐标原点O，物体沿x轴方向运动.根据胡克定律，在小幅度振动情况下，物体所受的弹性力F与物体离开平衡位置的位移x成正比，即 F=-kx (11-7)式

11、中，k为弹簧的劲度系数，负号表示力和位移的方向相反.在振动过程中，物体所受的合外力与它相对于平衡位置的位移成正比且反向，始终指向平衡位置.第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述因此，可以得出这样的结论，只要物体在振动过程中所受到的合力满足与其偏离平衡位置的位移成正比且反向，这个合力就称为准弹性力，这个物体的运动就是简谐振动.式（11-9)和式（11-10)称为简谐振动的动力学方程.一般地，不管x代表什么物理量，只要它的变化规律遵循式（11-10)这样的微分方程，其运动就一定是简谐振动形式，而且其角频率就等于方程中x项的系数的

12、平方根.这一结论常用来判断简谐振动并求出其周期.第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述需要注意，可取不同的值.在范围，有两个值满足式（11-14)，具体取舍由初始条件，即初始位置和速度方向共同决定.尽管A和均由初始条件确定，但振幅A决定于简谐振动系统的能量，而初相则与计时零点的选择有关.选择不同的计时零点，将直接影响简谐振动的数学表达式中的值，因为这一选择具有任意性，所以初相与振动系统的物理性质无关，它只反映选定的初始时刻的运动状态.第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述【例例11-111-1】第二节第二节

13、简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述 简谐振动的能量 二、二、在每一种运动形式中，采用能量的观点描述物体的运动，这是物理学中非常重要的基本思路.仍然以弹簧振子为例，来说明简谐振动系统的能量.在弹簧振子模型中，弹簧的弹性势能就是系统的弹性势能，振子振动的动能就是系统的动能.当物体的位移为x，速度为v时，弹簧振子的弹性势能和动能分别为第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述由上述分析可知，弹簧振子系统的动能和弹性势能都是随时间t做周期性变化的，如图11-4所示，但其总能量不随时间改变，即机械能守恒.这是因为在简谐振动过程中，系统只有保守内力做功，其他非保守内力和外力均不做功，所以

14、系统的机械能必然守恒，即系统的动能与势能不断地相互转换，而总能量却保持恒定.图11-4 弹簧谐振子的能量第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述由式（11-17)和式（11-19)可求得弹簧振子的势能和动能在一个周期内对时间的平均值.根据对时间的平均值的定义可得到可见势能和动能的平均值相等，都等于弹簧振子总能量的一半.第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述【例例11-311-3】第二节第二节 简谐振动的动力学描述简谐振动的动力学描述第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅、相位、角频率等量的物理意义，更形象地描述简谐振动的周期性特征

15、.人们常采用一种比较直观的几何方法旋转矢量法描述简谐振动.如图11-5所示.图11-5 旋转矢量法图示第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法自Ox轴的原点O作一矢量A，矢量的模等于振幅A，使矢量A在如图平面内绕O点做逆时针方向的匀速转动，其角速度的数值等于简谐振动的角频率，这个矢量A就称为旋转矢量.设在t=0时，矢量A与x轴之间的夹角为，等于简谐振动的初相.经过时间t，矢量A与x轴之间的夹角变为t+，等于简谐振动在t时刻的相位.此时矢量A的末端M在x轴上的投影点P的坐标为 x=Acos(t+)这正是式（11-1)所表示的简谐振动的运动方程.由此可见，匀速旋转的矢量A，其端点M在 x轴上的投影点P的

16、运动是简谐振动.在矢量A的转动过程中，M点做匀速圆周运动，对应的圆周称为参考圆，故旋转矢量法又称参考圆法.第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法旋转矢量法把描述简谐振动的三个特征量非常直观地表示出来了.矢量A的长度即振动的振幅A，矢量A的旋转角速度就是振动的角频率，t=0时矢量A与x轴的夹角就是初相位，任意时刻矢量A与x轴的夹角就是振动的相位t+.旋转矢量A的某一特定位置对应简谐振动系统的一个运动状态.旋转矢量A转过一周所需的时间就是简谐振动的周期.下表列出了旋转矢量与简谐振动的对应关系.第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法利用旋转矢量图，可以直观地表达两个简谐振动

17、的相位差.用两个旋转矢量分别表示两个频率相同但初相不同的简谐振动，它们的相位差就是两个旋转矢量之间的夹角.旋转矢量法是由于简谐振动具有周期性这一特征而产生的描述质点简谐振动的特殊方法.旋转矢量A可以直观地表示出简谐振动的各特征量，并为解题和讨论简谐振动的合成带来极大方便.第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法【例例11-411-4】第三节第三节 旋转矢量法旋转矢量法图11-6 例11-4图第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成在实际生活中，一个质点往往会同时参与两个或更多的振动.例如，悬挂在颠簸的船舱中的钟摆，LC电路在固有振荡的同时，又通过互感接受了邻近电路的电磁振荡，两列声波同时传到人耳的

18、鼓膜，多束光一齐射到人眼视网膜等.这些情况下，系统的运动就是两个或更多振动的合运动.本节将从叠加原理出发讨论振动的合成和分解.一般的振动合成问题比较复杂，本书只讨论几种特殊情况的简谐振动的合成.第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成 两个同方向同频率的简谐振动的合成 一、一、设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动.每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是，振幅分别为A1和A2，初相分别为1和2，则它们的运动方程分别为 x1=A1cost+1x2=A2cost+2在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合

19、成研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便.如图11-8所示.图11-8 振动合成矢量图第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2.当t=0时，它们与x轴的夹角分别为1和2，在x轴上的投影分别为x1及x2.A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为 x=x1+x2，可见,A是合振动的旋转矢量.又因为A1和A2以相同的角速度匀速旋转，所以在旋转过程中平行四边形的形状保持不变，因而合矢量A的长度保持不变，并以相同的角速度匀速旋转，其端点在x轴上的投影点也在做同方向同频率的简谐振动.因此，两个同方向同频率的简谐振动合成之后仍然为同方向

20、同频率的简谐振动，其合振动的运动方程为第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成（2）当两个分振动反相时，即=21=2k+1,k=0,1,2,有 此时合振幅最小，合振动相互减弱.若A1=A2，则A=0，即两个等幅而反相的简谐振动的合成将使质点处于因叠加而静止的状态.如果两个分振动的相位差21既不满足同相条件也不满足反相条件，那么合振动的振幅为A1A2（A1+A2）.第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成【例例11-611-6】第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成图11-9 例11-6图第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成 两个同方向不同

21、频率简谐振动的合成 拍 二、二、如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再是简谐振动.下面先用解析法对其合成进行定量讨论.为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A，初相都为，它们的运动方程可分别写成 x1=Acos(21t+)x2=Acos(22t+)第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成运用三角函数的和差化积公式可得合振动的表达式为第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成图11-11 两个同方向不同频率的简谐振动的合成第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成两个频率都很大，但频率之差却很小的两个同方向简谐振动叠加所产生的合振动的振

22、幅周期性变化的现象称为拍，而将合振幅变化的频率称为拍频.由于余弦函数的绝对值以为周期，因而变化的频率为 =21 (11-23)即拍频的数值等于两个分振动频率之差.拍现象也可以用旋转矢量法来形象说明，由于A1和A2的角速度不同，它们之间的夹角就要随时间改变，它们的合矢量的长度（合振动的振幅）也将随时间变化.设A2比A1转得快，单位时间内A2比A1多转21圈，因而两个矢量恰好重合（合振动加强）和恰好反向（合振动减弱）的次数都是21次，所以拍频等于21.第四节第四节 简谐振动的合成简谐振动的合成可用演示实验来证实拍现象.敲击两个频率之差很小的音叉，就会听到声音时高时低的嗡嗡之音，称为拍音.拍是一种很

23、重要的现象，它在声学、电磁振荡和无线电技术中都有广泛的应用.例如，若已知一个高频振动的频率，使之与另一频率相近但未知的振动叠加，通过测量拍频，可以进行未知频率的测量.在无线电技术中，调幅、调频以提高传输信号的能力，也是利用了拍的规律.拍现象还广泛运用于速度测量、地面卫星跟踪等技术领域.第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况.实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用.而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻.所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉.这样

24、的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼.另外，一个质点的机械振动要带动邻近质点振动，电磁振荡要在周围空间产生变化的电场和磁场.所以，振动能量还要向周围辐射出去，这样的能量损耗作用称为辐射阻尼.由于系统中存在这些阻尼，如果没有外来的能量补充自由振动，那么系统振动的振幅总要随时间逐渐减小，最后停止下来.这样的振动称为阻尼自由振动，也称为减幅振动.第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动 可以用等效阻力来综合反映机械振动系统的各种阻尼.在振动速度不太大时，可以认为在黏性介质中运动时，介质对物体的阻力与物体的运动速率成正比，方向与运动方向相反，即式中，比例系数称为阻力系数，它与物体的形状、大小及介质的性质有

25、关.对于弹簧振子，在弹性力及阻力的作用下，物体的运动方程为第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动式（11-25)为小阻尼时阻尼振动的位移表达式.其中，A0和0是由初始条件决定的两个积分常数，其振动曲线如图11-12所示.图11-12 阻尼振动曲线第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动从位移表达式可以看出，阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期振动，因为位移显然不能恢复原值.在小阻尼的情况下，把式（11-25)中的A0et看作随时间变化的振幅，这样阻尼振动就看作振幅按指数规律衰减的准周期振动.这时仍然把振动物体相继两次通过极大（或极小）位置所经历的时间称为周期，那

26、么阻尼振动的周期为 (11-27)这说明，阻尼振动的周期比振动系统的固有周期要长.阻尼作用越大，振幅衰减得越快，振动越慢.第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动此时物体也不做往复运动，对应的是小阻尼与过阻尼之间的临界情况，与过阻尼相比，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短，故称为临界阻尼.图11-13所示为三种不同情况时的位移-时间曲线.图11-13 三种不同情况时的位移-时间曲线第五节第五节 阻阻 尼尼 振振 动动在实际应用中，常利用改变阻尼的方法来控制系统的振动情况.例如，各类仪器的防振器大多采用一系列阻尼装置.在精密仪表中，为使人们能较快和较准确地进行读数，常使仪表指针的偏转系统处于

27、电磁阻尼的临界状态.第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量.如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动.这个周期性外力称为策动力.许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动，机器运转时引起基座的振动等.第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振最简单的策动力形式为F=F0cost，为策动力的角频率.由于同时受到弹性力和阻力的作用，物体受迫振动的运动方程为第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振此解表示，受迫振动是两个振动的合成.解的第一项表示一个减幅振动，它随时间t增加很快衰减，而第二

28、项则表示一个稳定的等幅振动.经过一段时间后，第一项衰减到可忽略不计，所以受迫振动稳定时的振动表达式为 x=Acost+(11-32)式中，A为稳态受迫振动的振幅；为稳态受迫振动与策动力的相位差.将式（11-32)代入式（11-30)可求得第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振需要指出，受迫振动的角频率不是振子的固有角频率，而是策动力的角频率；A和均与初始条件无关，而与策动力的频率有关.下面进一步讨论受迫振动的振幅A和受迫振动的速度v.第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振振幅振幅1.由式（11-33)可知稳态受迫振动的位移振幅随策动力的频率而改变，其变化情况如图11-14所示.当策动力的频

29、率为某一特定值时，振幅达到极大值.图11-14 位移共振曲线第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振由式（11-33)利用求极值的方法可得振幅达到极大值时，对应的角频率为 (11-35)振幅的最大值为 (11-36)可见，在阻尼很小（0）的情况下，若策动力的频率近似等于振动系统的固有频率，位移振幅将达到最大值.我们把这种现象称为位移共振.第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振速度速度2.由式（11-33)可知，受迫振动速度的最大值（速度振幅）为用类似的方法可以分析受迫振动时的速度振动，结论是：当策动力的频率正好等于系统固有频率时，速度振幅达到最大值，称为速度共振.在小阻尼的情况下，二者结论相

30、同，可不加区分.当=0时，故速度振动与策动力同相.因此，从能量观点容易理解共振现象.因为两者同相，策动力总是对系统做正功，系统得到最大限度的能量补充，所以产生共振.第六节第六节 受迫振动受迫振动 共振共振在近代物理学中，共振的概念已被推广，凡是有能量交换的系统，在某状态下能使能量交换达到最大，就称为共振.例如，各种分子的振动都有确定的固有频率，当有连续谱的电磁波入射到某种物质上时，频率与该物质中分子固有频率波段相同的电磁能量将被共振吸收，用这样的方法可测定分子的转动能谱，研究分子的结构等.共振现象的应用极为普遍.收音机利用电磁共振来选台，乐器利用共鸣来提高音响效果，核磁共振用于物质结构研究及医

31、疗诊断.而在桥梁、建筑、机械的设计和机器的安装中，则应使系统的固有频率远离可能发生的周期性外力频率，以避免共振产生的破坏.本本 章章 提提 要要简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程1.x=Acos(t+)（1）三个特征量：振幅A，角频率,初相位.（2）两个振动的相差：同相，=2k；反相，=(2k+1).本本 章章 提提 要要简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程2.本本 章章 提提 要要简谐振动的能量简谐振动的能量3.本本 章章 提提 要要旋转矢量法旋转矢量法4.为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅、相位、角频率等量的物理意义，更形象地描述简谐振动的周期性特征，我们常采用一种比较直观的几何方法旋转矢量法描述简谐振动.本本 章章 提提 要要简谐振动的合成简谐振动的合成5.（1）同频率同方向的两个简谐振动的合成.合成后仍为简谐振动：x=Acos(t+)，其中，两种常用的情况为当相位差=21=2k，（k=0,1,2,3，）时，合振幅最大，为A=A1+A2.当相位差=21=2k+1，（k=0,1,2,3，）时，合振幅最小，为A=A1A2.（2）两个同方向不同频率的简谐振动的合成及拍.