微积分(上册)第一章课件.ppt

1、第一章 函数函数的概念第一节函数的几种特性第二节反函数与复合函数第三节行车工作认知第四节函数的概念函数的概念第 一节一、集合、区间和邻域集合集合1.集合概念是数学中的一个最基本的概念，一般可以把集合(简称集)理解为具有某种特定性质的事物的总体.例如，某学校全体师生组成的一个集合；某学校某个班级的全体同学组成的一个集合；全体实数组成的一个集合；全体正整数组成的一个集合；等等.集合中的每个事物称为集合的元素(简称元).习惯上用大写字母A，B，C，表示集合，用小写字母a，b，c，表示集合的元素.如果元素a是集合A中的元素，记作aA(读作a属于A)；如果元素a不是集合A中的元素，记作aA(读作a不属于

2、A).一、集合、区间和邻域如果一个集合只含有有限个元素，那么称这个集合为有限集；不是有限集的集合称为无限集.例如，全体英文字母组成的一个集合是有限集，全体整数组成的集合是无限集.给定一个集合，就是给出这个集合由哪些元素组成.给出集合的方法通常有两种：列举法和描述法.一、集合、区间和邻域列举法就是把集合中的所有元素都列举出来写在大括号内.例如，由1，2，3，4，5，6，7，8八个数组成的集合A可记作A=1，2，3，4，5，6，7，8.描述法就是把集合中所有元素的公共属性描述出来，记作 A=x|x 具有性质P.例如，A=x|0 x6表示满足不等式0 x6的实数.B=(x，y)|x2y24表示在xO

3、y平面上以原点O为中心，半径为2的圆周及其内部所有点所组成的集合.一、集合、区间和邻域习惯上，全体实数组成的集合记作R，即R=x|x 为实数；全体有理数组成的集合记作Q，即Q=x|x 为有理数；全体整数组成的集合记作Z，即Z=x|x 为整数；全体自然数组成的集合记作N，即N=x|x 为自然数.设A，B是两个集合，如果集合A中的元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A).如果集合B与集合A互为子集，即AB且BA，则称集合B与集合A相等，记作 A=B.一、集合、区间和邻域例如，集合A=2，3，集合B=x|x2-5x6=0，则A=B.特别地，不

4、包含任何元素的集合称为空集，记作，并规定空集是任何集合的子集.例如，x|x21=0 且xR是空集，因为满足条件x21=0的实数是不存在的.一、集合、区间和邻域以后用到的集合主要指数集，即元素都是数的集合.如果没有特别声明，以后提到的数都是指实数.注注一、集合、区间和邻域集合的基本运算有以下几种：并、交、差.设A，B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集(简称并)，记作AB，即 AB=x|xA 或xB；由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集(简称交)，记作AB，即AB=x|xA 且xB；一、集合、区间和邻域由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称

5、为A与B的差集(简称差)，记作AB，即 AB=x|xA 且x B.特别地,若集合B包含于集合A(即BA),则称AB为B关于A的余集,或称为补集,记作 CAB.通常我们所讨论的问题是在一个大集合I中进行的,所研究的其他集合A都是I的子集,此时称IA为A的余集,记作 CIA或AC.例如，在实数集R中，集合A=x|-3x5的余集为 AC=x|x5.一、集合、区间和邻域集合的并、交、差运算满足下面的基本法则.设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：(1)交换律AB=BA，AB=BA;(2)结合律(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(3)分配律(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(

6、AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC);(4)幂等律AA=A，AA=A;一、集合、区间和邻域(5)吸收律A=A，A=,AB=B，AB=A，其中AB,A(AB)=A，A(AB)=A;(6)对偶律(AB)C=ACBC,(AB)C=ACBC.以上法则都可以利用集合的定义来验证.一、集合、区间和邻域在许多问题中还经常用到乘积集合的概念.设A，B是任意两个非空集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，把有序对(x，y)作为新的元素，它们的全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记作AB，即AB=(x，y)|xA，yB.例如，设A=x|axb，B=y|cyd，则AB=(x，y)|

7、axb，cyd，它表示xOy平面上以(a，c)，(b，c)，(b，d)，(a，d)为顶点的矩形内部的所有点构成的集合，而RR=(x，y)|xR，yR就表示整个坐标平面，记作R2.一、集合、区间和邻域区间区间2.在很多情况下，集合可以用区间来表示.设a和b都是实数，且ab，集合x|axb称为开区间，记作(a，b)，即(a，b)x|axb，它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点a及端点b,如图1-1所示.图图 1-1 1-1一、集合、区间和邻域集合x|axb称为闭区间，记作a，b，即a，bx|axb，它在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括两个端点,如图1-2所示.图图 1-2 1-2一

8、、集合、区间和邻域还有其他类似的区间：集合x|axb记作(a，b，称为左开右闭区间,如图1-3所示.图图 1-3 1-3一、集合、区间和邻域集合x|axa，如图1-5所示.图图 1-5 1-5一、集合、区间和邻域a，)=x|xa，如图1-6所示.图图 1-6 1-6一、集合、区间和邻域(-，b)=x|x0，则称数集x|x-a|或x|a-xa为点a的邻域，记作 U(a，)，并称点a为该邻域的中心，为该邻域的半径，如图1-9所示.图图 1-9 1-9一、集合、区间和邻域因为|x-a|表示点x与点a间的距离，所以U(a，)表示与点a距离小于的一切点x的全体.实际上，邻域就表示以点a为中心的任何开区间

9、.点a的邻域去掉中心点a后的集合，称为点a的去心邻域，记作 U(a，)，并且 U(a，)x|0|x-a|，其中，0|x-a|就表示xa.一、集合、区间和邻域二、函数的基本概念在对自然现象与社会现象的观察与研究过程中，人们会碰到许多用来表示不同事物的量，通常可将它们分为两类：一类是在某个问题的研究过程中保持不变的量，称之为常量；另一类是在某个问题的研究过程中会出现变化，即可以取不同的值的量，称之为变量.例如，学校的体育馆的面积是保持不变的，是常量；而每天来体育馆打球的人数是不同的，因而是变量.二、函数的基本概念又如，将一密闭的容器中的气体进行加热，在加热过程中，容器中的气体的体积、分子数保持不变

10、，是常量；而气体的温度、容器内的气压在不断变化，是变量.在研究实际问题的过程中，常常发现有几个变量同时变化，它们并不是孤立的，它们不仅是相互联系的，而且还是遵循一定变化规律联系的，下面先举例说明两个变量的情形.二、函数的基本概念【例例1 1】二、函数的基本概念【例例2 2】二、函数的基本概念【例例3 3】二、函数的基本概念上面三个例子的实际意义虽然不同，但却有共同之处，每个例子所描述的变化过程都有两个变量，当其中一个变量在一定变化范围内取定一个数值时，按照某一确定的法则，另一个变量有唯一确定的数值与之对应.两个变量之间的这种对应关系，在数学上就是函数的概念.二、函数的基本概念定义定义1 1设D

11、为一个给定的实数集，对于每个xD，按照某种对应法则f，总存在唯一确定的实数值y与之对应，则称f为定义在D上的一个函数，习惯上也称y是x的函数，并记作 y=f(x)，xD，其中，x称为自变量，y称为因变量，实数集D称为这个函数f的定义域.函数定义中，对于每个xD，按照某种对应法则f，总存在唯一确定的实数值y与之对应，这个实数值y称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x).当x遍取实数集D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集 W=y|y=f(x)，xD称为函数f的值域.二、函数的基本概念值得注意的是记号f和f(x)的含义是有区别的，f表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而f(x

12、)表示与自变量x对应的函数值.如果x0D，则称函数f在点x0处有定义或有意义；如果x0 D，则称函数f在点x0处无定义或无意义.当x=x0时，函数f的值为y0，记为y0=f(x0).如果函数在某个区间I上每一点都有定义，就说这个函数在该区间I上有定义.二、函数的基本概念如果y是x的函数，有时也可记为y=g(x)，y=F(x)，y=(x)或y=y(x)等.当讨论到几个不同的函数时，为了区别起见，需要用不同的记号来表示它们.由于函数的定义域和对应法则被确定后，其值域就随之而定，因此定义域和对应法则就成了函数的两个要素.如果两个函数的定义域和对应法则都相同，则称这两个函数相同，否则就不同.二、函数的

13、基本概念【例例4 4】二、函数的基本概念通常情况下，求函数定义域时要注意以下几点：(1)分式中分母不能为零.(2)偶次根式中，被开方式的值非负.(3)对数式中的真数大于零，底数大于零且不等于1.二、函数的基本概念【例例5 5】二、函数的基本概念【例例6 6】图图 1-10 1-10二、函数的基本概念若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是唯一的，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，方程x2+y2=a2在闭区间a,a上确定了一个以x为自变量、y为因变量的函数.对每一个x(a,a)，都有两个y值(a2x2)与之对应，因而y是多值函数.二、函数的基本概念若无特别声明，函数均指单值函

14、数.注注二、函数的基本概念函数的常用表示法有以下三种：(1)表格法将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法.(2)图形法在坐标系中用图形来表示函数关系的方法.(3)公式法(解析法)将自变量和因变量之间的关系用数学表达式(又称为解析表达式)来表示的方法.二、函数的基本概念【例例7 7】绝对值函数y=x=x,x0 x,x0，其定义域D=(,+),值域Rf=0,+),它的图形如图1-11所示.图图 1-11 1-11二、函数的基本概念【例例8 8】符号函数 其定义域D=(,+),值域Rf=1,0,1.对任一实数x,总有x=sgnxx，它的图形如图1-12所示.图图 1-12 1-12二、函数的基本概

15、念有些函数,对于自变量的不同取值范围，有不同的对应法则,这种函数称为分段函数，如例7和例8中的两个函数.二、函数的基本概念【例例9 9】图图 1-13 1-13函数的几种特性函数的几种特性第 二 节一、函数的单调性定义定义2 2设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于任意x1，x2I，当x1x2时，恒有 f(x1)0，使得对于任意xD，恒有f(x)K，则称函数f(x)在D上有界.如果这样的K不存在，就称函数f(x)在D上无界.换句话说，如果对于任何正数K，总存在一个x1D，使得f(x1)K，则函数f(x)在D上无界.例13y=cos x在区间(-，)上就是有界函数.因为对于任意x(-，)

16、，恒有cosx1.三、函数的奇偶性定义定义4 4设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意xD，恒有f(-x)=f(x)成立，则称f(x)为偶函数.如果对于任意xD，恒有f(-x)=-f(x)成立，则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴是对称的，如图1-17所示；图图 1-17 1-17三、函数的奇偶性奇函数的图形关于原点是对称的，如图1-18所示.图图 1-18 1-18三、函数的奇偶性【例例1515】函数f(x)=cos x，g(x)=x2在(-，)都是偶函数，因为cos(-x)=cosx，(-x)2=x2.三、函数的奇偶性【例例1616】函数f(x)=sinx，g(x)=x3

17、在(-，)都是奇函数，因为sin(-x)=-sin x，(-x)3=-x3.不能说函数f(x)不是奇函数就一定是偶函数,或者说不是偶函数就一定是奇函数.注注三、函数的奇偶性【例例1717】函数f(x)=x1在区间(-，)上既不是奇函数，也不是偶函数.因为f(-1)=0，f(1)=2，既无f(-1)=-f(1)，也无f(-1)=f(1).【例例1818】函数f(x)=sin xcosx，g(x)=x2x3在区间(-，)上既不是奇函数也不是偶函数.因为f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcosx-f(x)=-sinx-cos x，g(-x)=(-x)2(-x)3=x2-x3-g(

18、x)=-x2-x3.三、函数的奇偶性判断函数的奇偶性，除用定义判断外，还可以利用奇函数和偶函数之间的运算性质来判别.例如，两个奇函数的代数和仍为奇函数；两个偶函数的代数和仍是偶函数，奇函数与偶函数的乘积是奇函数，两个奇函数的乘积或两个偶函数的乘积是偶函数等.注注四、函数的周期性定义定义5 5设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对于任何xD，都有f(xT)=f(x)且(xT)D，则称函数f(x)为周期函数，其中T称为函数f(x)的周期.通常情况下，我们说的周期是指最小正周期，但并非每个周期函数都存在最小正周期.四、函数的周期性【例例2121】四、函数的周期性通常情况下，判断一个函

19、数是否是周期函数的步骤如下：(1)将函数分解成已知其周期的函数(比如三角函数等)的代数和，再求这些周期函数的周期的最小公倍数.例如，函数y=2sin2x，因为2sin2x=1-cos2x，且cos 2x是以为周期的函数，所以y=2sin2x是以为周期的函数.(2)列出方程f(xT)-f(x)=0，以T为未知量解此方程.若解出的T是与x无关的正数，则f(x)是周期函数；反之，如果利用一些已知的运算法则推出矛盾的结果，就可断定函数是非周期函数.四、函数的周期性【例例2222】四、函数的周期性反函数与复合函数第 三 节一、反函数在函数定义中，规定了对于每一个x，都有唯一的y与之对应，这样定义的函数又

20、称为单值函数；如果有两个或更多的数值y与之对应，就称y是x的多值函数.本书主要讨论单值函数.在函数中，自变量与因变量的地位是相对的，任意一个变量都可根据需要作为自变量.例如，在函数y=x5中，x是自变量，y是因变量，根据这个式子，可以解出x=y-5，这里y是自变量，x是因变量.上面两个式子反映了同一个过程中两个变量之间地位的相对性，称它们互为反函数.下面给出反函数的具体定义：一、反函数定义定义6 6设函数y=f(x)，其定义域为D，值域为M，如果对于任意yM，由函数关系式y=f(x)恰好唯一确定出一个xD与之对应，那么认为x是y的函数，记作x=g(y)，我们称上述的y=f(x)与x=g(y)互

21、为反函数，习惯上将x=g(y)记作x=f-1(y).习惯上常用x表示自变量，y表示因变量，故常把y=f(x)的反函数写作 y=f-1(x).由反函数的定义知，在定义区间上单调的函数必有反函数.一、反函数【例例2424】一、反函数【例例2525】函数y=x3和函数y=x13的图形如图1-19所示.一般地，要求y=f(x)的反函数，只需先从y=f(x)中解出x的表达式，当该表达式也是一个函数时，再将其中的字母x，y进行交换即可.图图 1-19 1-19一、反函数【例例2626】一、反函数定理定理设函数f(x)的定义域为D，值域为W.若f(x)在D上是单调增加或单调减少的，则在W上f(x)的反函数f

22、-1(x)存在，且f-1(x)在W上也是单调增加或单调减少的.值得注意的是，由于对于y的某些值，满足y=f(x)的x有时不止一个，所以并非任何函数在其定义域内都存在反函数.但是，当我们对x的取值范围加以限制时，也有可能存在反函数.例如，函数y=x2在(-，)内不存在反函数，但在(-，0)及0，)内却分别存在反函数y=-x，0 x及y=x，0 x0，且a1)；(3)对数函数：y=logax(a0，且a1)；(4)三角函数：y=sin x，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=sec x，y=csc x等；(5)反三角函数：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctan x，y=

23、arccotx等.第 四 节 初初 等等 函函 数数为了今后学习和查阅方便，现将一些常用的基本初等函数的定义域、值域、图形和主要性质列于表1-1中.第 四 节 初初 等等 函函 数数第 四 节 初 等 函 数第 四 节 初初 等等 函函 数数第 四 节 初初 等等 函函 数数第 四 节 初初 等等 函函 数数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤得到的用一个解析式子表示的函数，称为初等函数.例如，y=sin3(2x1)，y=5log2(x24x7)，y=arcsin ax3x33x2 等都是初等函数.而分段函数是由几个式子表示的函数，因而不是初等函数.但是，由于分段函数在其子定

24、义域内通常都是初等函数，所以仍可通过初等函数来研究它们.第 四 节 初初 等等 函函 数数在工程技术中经常要用到一类初等函数是双曲函数，它们是由指数函数y=ex与y=e-x生成的初等函数，它们的定义和符号如下：图图 1-20 1-20第 四 节 初初 等等 函函 数数图图 1-21 1-21第 四 节 初初 等等 函函 数数图图 1-22 1-22第 四 节 初初 等等 函函 数数图图 1-23 1-23第 四 节 初初 等等 函函 数数其中sh x，th x，cth x都是奇函数，ch x是偶函数.sh x，ch x，th x的反函数称为反双曲函数，分别记作反双曲正弦函数y=arsh x.反双曲余弦函数y=archx.反双曲正切函数y=arth x.同样，反双曲函数可以通过自然对数函数来表示，这里不作介绍.用数学工具解决实际问题时，往往需要建立相应的数学模型，其中一类较简单的问题是建立函数关系.下面给出两个例子.第 四 节 初初 等等 函函 数数【例例3131】第 四 节 初初 等等 函函 数数【例例3232】