微积分第十章课件.ppt
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- 微积分 第十 课件
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1、第十章 曲线积分与曲面积分第一类曲线积分第一节第二类曲线积分第二节格林公式平面曲线积分与路径无关的条件第三节第十章 曲线积分与曲面积分第一类曲面积分第四节第二类曲面积分第五节高斯公式斯托克斯公式空间曲线积分与路径无关的条件第六节第一类曲线积分第一类曲线积分第 一节一、第一类曲线积分的概念引列引列设有一曲线形物体所占的位置是xOy面内的一段曲线L,它的端点是A,B,它的质量分布不均匀,其线密度为(x,y),试求该物体的质量M(见图10-1).图图 10-1 10-1一、第一类曲线积分的概念分析分析如果该物体的线密度为常量,那么它的质量可用公式 质量=线密度长度来计算.由于该物体上各点处的线密度是
2、变量,所以不能用上述公式来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.(1)分割.在L上任意插入一点列M1,M2,Mn-1,把L分成n个小段,相应地,曲线形物体也分成n个小段,每一小段的质量为Mi(i=1,2,n),则该曲线形物体的质量一、第一类曲线积分的概念(2)近似.取其中一小段物体Mi1Mi(其长度记为si)来考虑,当si很小时,其上的线密度可以近似看成是不变的常数,它近似等于该小段上任一点i,i处的线密度(i,i),于是,该小段的质量Mi可近似表示为Mi(i,i)si(i=1,2,n).(3)求和.该曲线形物体的质量一、第一类曲线积分的概念(4)取极限.设=maxs1,s2,sn,当0时
3、取上述和的极限,于是整个曲线形物体的质量这种和的极限在研究其他问题时经常用到,于是将其抽象出来,得到第一类曲线积分的定义.一、第一类曲线积分的概念定义定义1 1设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数fx,y在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,Mn-1把L分成n个小段.设第i个小段的长度为si,又i,i为第i个小段上任意取定的一点.如果当小弧的长度的最大值0时,ni=1fi,isi的极限是存在的,则称此极限为函数fx,y在曲线弧L上的第一类曲线积分或对弧长的曲线积分,记为Lfx,yds,即 (10-1)其中fx,y称为被积函数,L称为积分弧段,ds称为弧长元素.一、第一类曲线积分的概念函
4、数fx,y在闭曲线L上的第一类曲线积分记为Lfx,yds.注注式(10-1)中和式的极限存在的一个充分条件是函数f(x,y)在曲线L上连续.因此,以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的,在此条件下,第一类曲线积分Lfx,yds总是存在的.根据第一类曲线积分的定义,引例中曲线形物体的质量当线密度(x,y)在L上连续时,就等于(x,y)在L上的第一类曲线积分,即 M=L(x,y)ds.一、第一类曲线积分的概念二、第一类曲线积分的性质性质性质1 1设,为常数,则Lf(x,y)+g(x,y)ds=Lf(x,y)ds+Lg(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质性质2 2设L由L1和L2两段光滑曲
5、线组成(记L=L1+L2),则Lf(x,y)ds=L1f(x,y)ds+L2f(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质性质3 3设在L上有f(x,y)g(x,y),则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质性质4 4(中值定理)设函数f(x,y)在曲线L上连续,则在L上必存在一点(,),使Lf(x,y)ds=f(,)s,其中s是曲线L的长度.二、第一类曲线积分的性质性质性质5 5(奇、偶对称性)设函数f(x,y)在曲线L上连续.若曲线L关于y轴对称,则二、第一类曲线积分的性质性质性质6 6(轮换对称性)设函数f(x,y)在曲线L上连续,若曲线L中将x与y互换后,L
6、变为L,则Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds.特别地,若L关于y=x对称,则Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds.对于积分f(x,y,z)ds也有相应的性质,读者可自行写出.三、第一类曲线积分的计算定理定理1 1设有曲线三、第一类曲线积分的计算【例例1 1】图图 10-2 10-2三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算【例例2 2】图图 10-3 10-3三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算【例例3 3】第二类曲线积分第二类曲线积分第 二 节一、第二类曲线积分的概念与性质在xOy面内,质点M在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)jP(x,y),Q(x,y)
7、在L上连续的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试计算变力F(x,y)所做的功W(见图10-4).引列引列图图 10-4 10-4一、第二类曲线积分的概念与性质分析分析如果力F是常力,且质点从A沿直线移动到B,那么常力F所做的功W可用式 W=FAB来计算.现在F(x,y)是变力,且质点沿曲线L移动,功W不能直接按以上公式计算.可采用以下几个步骤来解决这个问题.(1)分割.在L上沿L的方向插入一点列M1x1,y1,M2x2,y2,Mn-1xn-1,yn-1,与A=M0(x0,y0),B=Mn(xn,yn)把L分成n个有向小弧段Mi-1Mii=1,2,n.设有向小弧段Mi-1Mi的弧长为si,力
8、F(x,y)沿有向小弧段Mi1Mi所做的功为Wi.一、第二类曲线积分的概念与性质(2)近似.在Mi1Mi上任意取定的一点(i,i)处的力F(i,i)=P(i,i)i+Q(i,i)j,若si充分小,可用有向线段Mi-1Mi来代替小弧段Mi-1Mi,而Mi-1Mi在x轴与y轴上的投影分别为xi=xixi1与yi=yiyi1,故Mi1Mi=(xi)i+(yi)j.因此,力F(x,y)在小弧段Mi1Mi上所做的功近似地等于常力F(i,i)沿Mi1Mi所做的功WiF(i,i)Mi1Mi=P(i,i)xi+Q(i,i)yi.一、第二类曲线积分的概念与性质(3)求和.变力F对物体沿曲线所做的总功(4)取极限
9、.用表示n个小弧段的最大长度,令0取上述和式的极限,得到变力F沿有向曲线弧所做的功,即这种和式的极限在研究其他问题时也会遇到,将其抽象出来得到下面的定义.一、第二类曲线积分的概念与性质定义定义2 2设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,函数Px,y,Qx,y在L上有界.在L上沿其方向任意插入一点列M1x1,y1,M2x2,y2,Mn-1xn-1,yn-1,把L分成n个有向小弧段Mi-1Mii=1,2,n,其中M0=A,Mn=B.记各小弧段Mi1Mi的弧长为si,=maxs1,s2,sn.设xi=xixi1,yi=yiyi1,点i,i为Mi-1Mi上任意取定的点.若极限一、第二类曲线
10、积分的概念与性质存在,则称此极限为函数Px,y,Qx,y在有向曲线弧L上的第二类曲线积分或对坐标的曲线积分,记为LPx,ydx+Qx,ydy或LPx,ydx+LQx,ydy,(10-3)其中Px,y,Qx,y称为被积函数,L称为积分弧段.函数fx,y在闭曲线L上的第二类曲线积分记为LPx,ydx+Qx,ydy.注注一、第二类曲线积分的概念与性质一、第二类曲线积分的概念与性质性质性质1 1设,为常数,则LP1x,y+P2x,ydx+Q1x,y+Q2x,ydy=LP1x,ydx+Q1x,ydy+LP2x,ydx+Q2x,ydy.一、第二类曲线积分的概念与性质性质性质2 2若有向弧段L可分成两段光滑
11、的有向弧段L1,L2,则LPx,ydx+Qx,ydy=L1Px,ydx+Qx,ydy+L2Px,ydx+Qx,ydy.一、第二类曲线积分的概念与性质性质性质3 3设L是有向光滑的曲线弧,L-是L的反向曲线弧,则L-Px,ydx+Qx,ydy=-LPx,ydx+Qx,ydy.一、第二类曲线积分的概念与性质第二类曲线积分与曲线的方向有关.注注二、第二类曲线积分的计算定理定理2 2设有向曲线弧L的参数方程为当参数t单调地由变到时,点Mx,y从L的起点沿L运动到终点,t与t在,(或,)上具有一阶连续导数,且2t+2t0.又设Px,y与Qx,y为L上的连续函数,则曲线积分LPx,ydx+Qx,ydy=P
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