建筑结构及受力分析受弯构件课件.ppt

1、6 受弯构件建筑结构及受力分析6.1 截面的几何性质6.2 受弯构件的内力6.3 受弯构件的应力及强度计算6.4 梁的变形目 录6.1 截面的几何性质6.1.1 静矩和形心1.静矩静矩在图形平面内建立一直角坐标系 zOy，在图形内任取一微面积 dA，该微面积至两坐标轴的距离分别为 y 和z，截面图形内每一微面积 dA 与其到平面内任意坐标轴 y 或z 的距离乘积的总和，称为该截面图形对 y 或 z 轴的静矩，即由上式可知，静矩是对某定轴而言的，同一截面对不同坐标轴的静矩各不相同。静矩的单位为 m3或 mm3，静矩可为正值，也可为负值，也可以为零。6.1.1 静矩和形心2.截面截面形心形心若截面

2、形心 C 的坐标分别为 zC和 yC，将截面看成等厚的均质薄板，则根据合力矩定理可得由 n 个简单图形组成的截面称为组合截面。组合截面的形心坐标可按下式进行计算。6.1.1 静矩和形心【例例 6.1】如图所示的倒 T 形截面，尺寸如图所示，单位为 mm。试求截面的形心。6.1.2 截面的惯性矩1.惯性矩惯性矩在图形上任取一微面积 dA，该微面积到两坐标轴的距离分别为 z 和 y。截面图形内每一微面积 dA 与其到平面内任意坐标轴 z 或 y 的距离平方乘积的总和，称为该截面图形对 z 轴或 y 轴的惯性矩，分别用符号 Iz 和 Iy 表示。即6.1.2 截面的惯性矩2.简单简单截面图形的惯性矩

3、截面图形的惯性矩（1）矩形截面矩形截面如图所示矩形截面，高为 h，宽为 b。z 轴和 y 轴为截面对称轴。取微面积 dA bdy，由惯性矩的定义直接积分得同理可求得对于边长为 a 的正方形截面，其惯性矩为6.1.2 截面的惯性矩6.1.2 截面的惯性矩3.惯性惯性半径半径为了计算上的需要，常将惯性矩表达为图形面积与某一长度平方的乘积，即6.1.2 截面的惯性矩6.1.2 截面的惯性矩6.1.3 惯性矩的平行移轴公式如图所示 C 点为截面的形心，z 和 y 轴为形心轴。z1和 y1轴分别与 z 和 y 轴平行，其间距分别为 a 和 b。在截面中任取一微面积 dA，它在两坐标系中的坐标关系为z1

4、z b，y1 y a根据惯性矩定义可知公式说明，截面图形对任意轴的惯性矩，等于其对平行于该轴的形心轴的惯性矩，再加上截面面积与两轴间距离平方的乘积，这就是惯性矩平行移轴公式。6.1.4 组合截面惯性矩的计算【例例 6.2】如图所示 T 形截面，尺寸如图所示，单位为 mm。试求 T 形截面对形心轴zC和 yC的惯性矩。6.2 受弯构件的内力6.2.1 直梁弯曲的构件1.分布分布荷载荷载分布在某一面积上的荷载，如风荷载、雪荷载和梁的自重等。计算时通常将分布荷载折算成沿梁长度方向连续分布的线荷载，线荷载的大小通常用荷载集度 q 来表示，线荷载的单位为牛每米（N/m）或千牛每米（kN/m）。分布荷载又

5、分为均布荷载（即在分布长度上各点的荷载集度是相同的）和非均布荷载（即在分布长度上各点的荷载集度是不相同的）。6.2.1 直梁弯曲的构件2.集中荷载集中荷载当分布荷载作用在梁上的长度与梁的全长相比很小时，可简化为作用在梁上一点，称为集中荷载，用符号 F 表示，其单位为牛（N）或千牛（kN）。3.集中集中力偶力偶荷载作用在梁上的长度与梁的全长相比很小时，可简化为作用在梁上某截面处的一对反向集中力，称为集中力偶，用符号 M 表示，其单位为牛米（Nm）或千牛米（kNm）。6.2.1 直梁弯曲的构件工程中常见的梁，可分为以下三种：（1）简支梁：该梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。（2）外伸梁：一

6、端或两端向外伸出的简支梁称为外伸梁。（3）悬臂梁：该梁的一端为固定端支座，另一端为自由端。上述三种梁均属于静定梁，在荷载已知的条件下，静定梁的全部支座反力均可由平衡方程求得。6.2.2 梁的内力及计算1.梁梁的的内力内力剪力剪力和弯矩和弯矩设一简支梁 AB如图所示，现分析距支座 A 为 x 处的横截面 mm 上的内力。2.剪力剪力和弯矩的计算和弯矩的计算求截面剪力和弯矩的基本方法是截面法，但应注意在取脱离体时，可取左段，也可以取右段，但应以计算简便为准。6.2.2 梁的内力及计算3.剪力剪力和弯矩的正负符号规定和弯矩的正负符号规定内力有正负之分，梁的弯曲内力剪力和弯矩的正负符号规定如下：（1）

7、剪力符号 当截面上的剪力使所选的脱离体做顺时针方向转动为正，反之为负。（2）弯矩符号 当截面上的弯矩使所考虑的脱离体上部受压，下部受拉时为正，反之为负。6.2.2 梁的内力及计算【例例 6.3】如图所示一简支梁，承受两个集中荷载作用，已知 F1 24 kN、F2 12 kN，试求指定截面 11、22 的剪力和弯矩。6.2.2 梁的内力及计算【例例 6.4】如图所示的悬臂梁，受均布荷载与集中荷载作用，试求 11 截面上的剪力和弯矩。6.2.2 梁的内力及计算【例例 6.5】一外伸梁，荷载及尺寸如图所示。试求截面 11、D 点稍左的 22截面和稍右的 33 截面上的剪力和弯矩。6.2.2 梁的内力

8、及计算【例例 6.6】荷载及尺寸如图所示的一简支梁，试求 C 截面稍左和稍右的剪力和弯矩。6.2.3 剪力图和弯矩图1.静静力法绘制内力图力法绘制内力图在外力作用下，梁的内力图都是函数图形，若以横坐标 x 表示梁横截面的位置，则梁上各横截面上的剪力和弯矩均可以表示为 x 的函数。即V V（x）；M M（x）以上二式，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。在列方程时，首先应建立坐标 x，一般以梁的左端为坐标原点。然后根据平衡条件列方程、作图。并规定：以平行于梁轴线的 x 轴为基线，作剪力图时，正剪力画在基线的上方，负剪力画在基线的下方；作弯矩图时，正弯矩画在基线的下方，负弯矩画在基线的上方，并在图中注

9、明正负号。6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.7】如图所示悬臂梁，受均布荷载 q 作用，试绘制此梁的剪力图和弯矩图。6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.8】如图所示的一简支梁，受均布荷载作用，试绘制该梁的剪力图和弯矩图。6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.9】如图所示的一简支梁，受一集中力作用，试绘制剪力图和弯矩图。6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.10】如图所示的一简支梁，受集中力偶 M 作用，试绘此梁的剪力图和弯矩图。6.2.3 剪力图和弯矩图通过上述例题的计算，可将剪力图和弯矩图的绘制步骤归纳如下：求支座反力。梁上荷载不连续要分段，集中力、集中力偶和分布荷载的起止点作为分界点。

10、确定坐标原点，列出各梁段的剪力方程和弯矩方程。绘出剪力图和弯矩图。确定 Vmax 和 Mmax 的大小及其所在位置。6.2.3 剪力图和弯矩图2.用用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图6.2.3 剪力图和弯矩图6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.11】如图所示一外伸梁，梁上荷载及尺寸如图所示，试绘制该梁的剪力图和弯矩图。6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.12】一简支梁，梁上荷载及尺寸如图所示，试绘制该梁的剪力图和弯矩图。6.2.3 剪力图和弯矩图简捷法步骤归纳如下：求支座反力。定性分析。根据梁上外力情况进行分段，再根据各梁段上的荷载情况，初步确定各梁段内力图的大致形

11、状。定量计算。根据各梁段内力图的大致形状，算出各控制截面的内力值，最终绘出梁的内力图。6.2.3 剪力图和弯矩图3.用用叠加法画剪力图和弯矩图叠加法画剪力图和弯矩图一般梁在荷载作用下变形微小，其跨长的改变量可忽略不计，因此在求梁的支座反力和内力时，均可按原始尺寸计算。当梁上有几种荷载作用时，梁的支座反力和内力可以这样计算：先分别计算每种荷载单独作用时的支座反力和内力，然后再将这些分别计算的结果代数相加。叠加后的内力图应注意下述两点：在各种荷载单独作用下，其内力图变化规律均为直线时，叠加后的内力图仍为直线。在各种荷载单独作用下，其内力图变化规律有的是直线，有的是曲线或均为曲线时，叠加后的内力图为

12、曲线。6.2.3 剪力图和弯矩图6.2.3 剪力图和弯矩图【例例 6.13】用叠加法绘制下图所示简支梁的剪力图和弯矩图。6.3 受弯构件的应力及强度计算6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算1.试验试验观察与观察与分析分析用一橡皮梁进行试验观察，先在梁的侧面画上与梁轴线平行的水平纵向线和与纵向线垂直的竖直线，再在对称于跨中点的位置上施加集中荷载，如图a所示。梁变形后，可看到下列现象：（1）各竖直线仍为直线，不过相互间转了一个角度。（2）各纵向水平直线变为曲线，但仍与竖直线垂直。（3）向下凸一边的纵向线伸长，逐步形成越靠近梁下边缘伸长越多；向里凹进一边的纵向线缩短，且越靠近梁上边缘的缩短越多。根

13、据上述试验现象，可作出如下分析和假设分析和假设：（1）平面假设：梁的横截面在变形后仍为一个平面，逐步形成与变形后的梁轴线垂直，只是转了一个角度。（2）由于梁上部各层纵向纤维缩短，下部各层纵向纤维伸长，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算2.正应力正应力公式的公式的推导推导（1）几何变形方面几何变形方面在纯弯曲情况下，为常量，所以线应变 与该纤维到中性层的距离 y 成正比，与中性层曲率半径 成反比。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算（2）应力与应变的物理关系应力与应变的物理关系材料在弹性范围内，正应力与线应变的关系是服从胡克定律的，

14、即 E推得式中 E、为常量，所以横截面上任意一点的正应力 与该点离中性轴的距离 y成正比。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算（3）静力平衡静力平衡条件条件横截面上任意一点的正应力 与该截面上的弯矩 M 和该点到中性轴的距离 y 成正比，与横截面对中性轴的惯性矩 Iz成反比。正应力沿截面高度成直线变化，离中性轴愈远正应力愈大，中性轴上的正应力等于零。梁的横截面由中性轴将其分为上下两部分，一部分受拉，另一部分受压。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算【例例 6.14】一矩形截面简支梁，荷载及截面尺寸如图所示（未注的尺寸单位为：mm），试计算跨中截面上 a、b 两点的正应力。6.3.1 梁的正

15、应力及正应力强度计算在用公式 计算梁弯曲正应力时，应注意以下几点：在公式推导过程中运用了胡克定律，因此只有在材料处于弹性范围时该式才适用。在非纯弯曲情况下，即横截面同时存在弯矩和剪力时，由于剪力对正应力的分布规律影响很小，因此，对非纯弯曲的情况该式仍适用。公式虽按矩形截面梁推导出来的，但对具有对称轴的其他截面，如 T 形、工字形、圆形等，也都适用。公式是在平面弯曲情况下推导出来的，故不适用于非平面弯曲的情况。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算3.梁梁的正应力强度条件的正应力强度条件为了保证梁的安全正常工作，梁内的最大正应力不能超过材料的容许应力，即利用上式的强度条件，可进行以下三个方面的计

16、算。（1）强度强度校核校核（2）选择截面选择截面尺寸尺寸（3）计算容许荷载计算容许荷载再由 Mmax与荷载间的关系，求出梁所能承受的最大荷载。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算【例例 6.15】一简支梁，荷载及截面尺寸如图所示，木材弯曲容许应力 11 MPa，试校核其强度。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算【例例 6.16】如图所示一简支梁，梁采用 No.20a 工字钢，承受两个对称集中力 F 作用，材料的容许应力 170 MPa，试求该梁许可荷载 F。6.3.1 梁的正应力及正应力强度计算【例例 6.17】一圆形截面木梁，梁上荷载及尺寸如图所示，弯曲时木材的容许应力 10 MPa，试

17、选择该圆木梁的直径。6.3.2 梁的剪应力及其强度条件1.矩形矩形截面梁的剪应力截面梁的剪应力横截面上任一点的剪应力为6.3.2 梁的剪应力及其强度条件2.工字形工字形截面的剪应力截面的剪应力工字形截面由上下翼缘和腹板组成，剪应力主要分布在腹板上，由于腹板为窄长的矩形，其剪应力计算公式为式中，b1为腹板的厚度，剪应力沿腹板高度按二次抛物线变化，如下图所示。最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为6.3.2 梁的剪应力及其强度条件3.剪应力剪应力强度条件强度条件梁在荷载作用下所产生的最大剪应力，不能超过材料的容许剪应力。对全梁来说，最大剪应力发生在剪力最大的截面上，则梁的剪应力强度条件为在一般情况下，

18、先按正应力强度条件选择梁的截面尺寸和形状，再用剪应力强度条件进行校核。6.3.2 梁的剪应力及其强度条件【例例 6.18】型号为 No.20a 的工字钢外伸梁，荷载及尺寸如图所示，材料的容许应力 170 MPa、100 MPa，试校核此梁是否安全。6.3.2 梁的剪应力及其强度条件【例例 6.19】一矩形简支梁，荷载及尺寸如图所示，弯曲时材料的容许应力 11MPa，1.2 MPa，如取截面高宽比为 3 2，试确定矩形截面的高和宽。6.3.3 应力状态1.平面应力平面应力状态的状态的应力分析应力分析（1）斜截面上的应力斜截面上的应力如图所示为从杆件中取出的一个平面应力状态的单元体，各面上的应力如

19、图所示，且 x y 0。6.3.3 应力状态6.3.3 应力状态（2）正应力的极值正应力的极值如上所述，斜截面的倾斜角 不同，斜截面上的正应力必然有其极值，而正应力极值的截面恰为剪应力等于零的平面，正应力的极值也就是主应力。主应力作用面的方位角：主应力：6.3.3 应力状态（3）剪应力的极值剪应力的极值同理，可求得任意斜截面上剪应力的极值及其所在截面的方位角 1。主剪应力作用面的方位角：主剪应力：6.3.3 应力状态2.纯纯剪应力状态剪应力状态平面应力状态单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力时，称为纯剪应力状态。6.3.3 应力状态3.主应力迹线主应力迹线如图所示一简支梁承受均布荷载作用时的

20、主应力迹线，图中实线表示主拉应力迹线，虚线表示主压应力迹线。6.4 梁的变形6.4.1 梁的变形1.竖竖向位移向位移梁的任一横截面 C，在梁变形后向下移至 C，CC就是 C 截面的竖向位移，称为 C 截面的挠度，用符号 y 表示。2.角位移角位移梁的任一横截面 C，在梁变形后绕中性轴转动了一个角度，角 称为截面 C 的转角。当梁上作用几种荷载时，可用叠加原理来计算梁的挠度和转角。6.4.1 梁的变形6.4.1 梁的变形6.4.1 梁的变形【例例 6.20】试用叠加法计算下图所示简支梁 C 截面的挠度及支座 A 处的转角，设EIz 为常数。6.4.1 梁的变形【例 6.21】试用叠加法计算下图所

21、示悬臂梁B点的挠度和转角，EIz 为常数。6.4.2 梁的刚度校核为了保证梁的正常工作，应控制梁的变形，使其最大值不超过容许值。因此，要求梁必须要有一定的刚度。梁的刚度校核，通常是计算梁在荷载作用下的最大相对挠度 ，不得大于容许的相对挠度 ，即对于一般土建工程的梁，如强度要求能够满足，刚度要求通常也能满足。因为，在设计工作中，强度要求是主要的，刚度要求通常处于从属地位。一般都是先按强度要求选择截面，然后再按刚度要求进行校核。6.4.1 梁的变形【例 6.22】如图6.52 所示简支梁，已知：l 6 m，q 4 kN/m，41 00，梁采用 No.20b 工字钢，其弹性模量 E 2 105 MPa，试校核该梁的刚度。Thank You