大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用PPT课件.ppt

1、第四节 导数的应用 函数的单调性的判别函数的单调性的判别学习重点学习重点函数极值及最值的确定方法函数极值及最值的确定方法曲线凹凸向的判别及拐点的确定曲线凹凸向的判别及拐点的确定第一页，共26页。函数函数(hnsh)(hnsh)的单调性的单调性 yxo()yf xabyo()yf xabx函数函数(hnsh)单调递增，则单调递增，则函数单调函数单调(dndio)递减，则递减，则1212()()0f xf xxx1212()()0f xf xxx由由Lagrange中值定理：中值定理：121212()()()f xf xfxxxx介于 与 之间于是有函数单调性的判别定理于是有函数单调性的判别定理第

2、二页，共26页。函数单调性的判别函数单调性的判别(pnbi)(pnbi)定理定理（1）如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递增的。上是单调递增的。()f x(,)a b()0fx,a b（2）如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递减的。上是单调递减的。()f x(,)a b()0fx,a b设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则()f x,a b(,)a b第三页，共26页。例例1 求函数求函数 的单调区间的单调区间232 0yxaaxa解解 因为因为 2322332axyxaax 0y 令令12 3xa；得驻点得

3、驻点23,2axxa当当 时，时，y不存在不存在列表列表(li bio)：000 xy,2a 2,23aa2,3aa,a y第四页，共26页。所以，函数在所以，函数在 及及 内单调递增，在内单调递增，在 内单调递减。内单调递减。2,3aa2,3a,a 续例续例1：求函数的单调区间的一般方法求函数的单调区间的一般方法(fngf)：（1）求函数的一阶导数；）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。

4、）根据单调性的判别定理，确定单调区间。小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在(cnzi)的点可将单调区间分开。的点可将单调区间分开。第五页，共26页。例例5 证明不等式证明不等式1 (0)xexx 证明证明 令令()1xf xex 则则()1xfxe0()0,xfx当时，故函数在 0,+内单调增加0()0,xfx当时，故函数在-,0 内单调递减0,()(0)0 xf xf 所以，有0,()(0)0 xf xf 所以，有 1xex 即 1xex 即所以，当所以，当 时，不等式时，不等式 成立。成立。1xex 0 x 第六页，共26页。证明

5、(zhngmng)：证（1）（2）ln(1)(0)1xxxxx其中1()ln(1),()1011xf xxxfxxx=2211()ln(1),()011(1)(1)xxg xxg xxxxxln(1)xxln(1)1xxx第七页，共26页。函数函数(hnsh)(hnsh)的极值的极值极值的概念极值的概念：如果函数：如果函数 在点在点 的某邻域内有定义，对于的某邻域内有定义，对于该邻域内任意该邻域内任意异于异于 点的点的 ，都有，都有 ，则称，则称为函数的一个为函数的一个极小值极小值；如果有；如果有 ，则称，则称 为函数为函数的一个的一个极大值极大值。极大值和极小值统称为函数的。极大值和极小值统

6、称为函数的极值极值。使函数取。使函数取得极值的点称为函数的得极值的点称为函数的极值点极值点。()f x0 xx0()()f xf x0()()f xf x0 x0()f x0()f x 由于函数在不同的区间的单调性不同，由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现因而在图象上会出现(chxin)“峰峰”与与“谷谷”，使函数，使函数值在局部范围内出现值在局部范围内出现(chxin)“最大最大”、“最小最小”，称，称之为函数的极大、极小值。之为函数的极大、极小值。3226187yxxx例如例如-13第八页，共26页。函数的极值是一个局部特性函数的极值是一个局部特性(txng)，最值是全局特

7、性，最值是全局特性(txng)（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数如函数Y=x 在区间在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少其一；如如 y=x2 在区间在区间-1，2 内，只有极小值。内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。）极值一定在区间内部取得。函数函数(hnsh)(hnsh)的极值说明的极值说明第九页，共26页。极值存在极值存在(cnzi)(cnzi)的必

8、要条件（费马定理）的必要条件（费马定理）如果函数如果函数 在点在点 处可导，且在点处可导，且在点 处有极值，处有极值，则则()yf x0 x0 x0()0.fxABCDExy导数导数(do sh)为零的点称为函数的驻点。为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得函数在可导点取得(qd)极值时，则在该点的切线平行于极值时，则在该点的切线平行于x轴。轴。,A B D 是极值点，导数为零E 是极值点，但导数不存在C 点导数为零，但不是极值点函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。第十页，共26页。极值存在的第一极值存在的第一(dy)(dy)充充分条件分条件设函数设函数 在点在点 的

9、某个邻域内可导（点的某个邻域内可导（点 可除外）可除外）()yf x0 x0 x00,xxx00,xx x()0fx则则 在点在点 处取得处取得极大值极大值；()yf x0 x()0fx1（）()0fx00,xxx()0fx00,xx x则则 在点在点 处取得处取得极小值极小值；()yf x0 x2（）00,xxx00,xx x()fx同号则则 在点在点 处处无极值无极值；()yf x0 x3（）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy第十一页，共26页。x)(xf)(xf极小值极小值-1/2-1/2极大值极大值0 0+0 0_ _不存在不存在+(1,+)(1,+)1

10、 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)单调单调(dndi(dndi o)o)增区间为增区间为(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)单调单调(dndi(dndi o)o)减区间为减区间为(0,1)(0,1)f(0)=0为极大值；为极大值；f(1)=-1/2 为极小值为极小值 323()2yf xxx求的单调区间和极值(,)函数定义域为333111)(xxxxf()0fx令x得驻点=1；0 x 时，()fx不存在xyo112练习练习(linx)解解第十二页，共26页。极值存在极值存在(cnzi)(cnzi)的第二充分条的第二充分条件件000()0),(0(),fxfxyf xx

11、设函数在点 处具有二阶导数，且则001()0()()fxf xf x（）当时，为的极小值；002()0()()fxf xf x（）当时，为的极大值；0 x0 x0 xxy()0fx()0fx()0fx0 x0 x0 xxy()0fx()0fx第十三页，共26页。例例1 求函数求函数 的极值的极值3226187yxxx解解 因为因为(yn wi)261218631yxxxx 1212yx 所以所以(suy)，函数有驻点，函数有驻点121 3xorx 而而所以所以(suy)(1)240,(3)240yy 所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。(1)3f(3)61f 注意：当

12、函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。须用第一充分条件判别。第十四页，共26页。函数函数(hnsh)(hnsh)的最大值与最小值的最大值与最小值由极小值的特性由极小值的特性(txng)，可知：，可知：极小值极小值 最小值；极大值最小值；极大值 最大值最大值 已有结论：如果函数在已有结论：如果函数在 a,b上连续上连续(linx)，则函数在该区间上，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函数最值

13、的一般步骤与方法求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点；在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。为函数在区间上的最小值。第十五页，共26页。例例2 求函数求函数 在在 上的最值。上的最值。32392yxxx0,4解解 因为因为(yn wi)

14、23693(1)(3)yxxxx 令令0y 得得121,3xx（舍去）而而(3)29,(0)2,(4)22fff 所以函数所以函数 在在 上的最大值是上的最大值是32392yxxx0,4(3)29f(0)2f ；最小值是最小值是第十六页，共26页。例例3（应用题）某细菌群体的数量（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定：是由下列函数模型确定：其中其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？多少周后数量最大，其最大数量的多少？25000()50tN tt解解 因为因为(yn wi)222500050()50tN

15、tt令令()0N t得得5 2t （舍去负值（舍去负值(f zh)）由问题的实际意义，可知由问题的实际意义，可知 时，细菌群体的数量最大，时，细菌群体的数量最大，5 2t 250 2353.55其数量为其数量为 一般一般(ybn)地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。第十七页，共26页。曲线的凹凸曲线的凹凸(o t)(o t)向及拐点向及拐点 yxo()yf xabyo()yf xabx 定义定义 如果曲线弧总位于它的每一点的

16、切线的上方如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方(shn fn)，则称该，则称该曲线弧是（向上）凹的（曲线弧是（向上）凹的（concave)；如果曲线弧总位于它的每如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex)凹弧凹弧凸弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线凹、凸弧的分界点，称为曲线(qxin)的拐点的拐点(inflection point)。第十八页，共26页。凹凸凹凸(o t)(o t)弧的判别定理弧的判别定理定理定理 设函数设函数 在区间在区间 上具有二阶导数上具有二阶导数 ，则在，则在该区间上：该区间上：（1）当

17、）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凹的；是向上凹的；（2）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凸的。是向上凸的。()f x(,)a b()fx()0fx()0fx()yf x()yf xbaxy()0f x()0f x()0fx()fx是增函数()0fxbaxy()0f x()0f x()fx是减函数第十九页，共26页。解解 函数的定义域为函数的定义域为 (,)例例1 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。211yx222(1)xyx 22 32(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 列表列表(li bio)因为因为(yn wi)333333 (,)(,)(,)333333

18、 0 0 0 0 0 xyy 凹拐点凸拐点凹第二十页，共26页。所以，曲线在所以，曲线在 及及 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点内是向上凸的，有拐点 及及 。3(,)3 3(,)333(,)333 3(,)343 3(,)34解解 函数的定义域为函数的定义域为 (,)例例1 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。211yx222(1)xyx 22 32(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 因为因为(yn wi)第二十一页，共26页。例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。3yx解解 因为因为 523312,39yxyx 所以，当所以

19、，当 时，时，当，当 时，时，0 x 0y 0 x 0y所以，曲线在所以，曲线在 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的。内是向上凸的。有拐点有拐点 。(,0)(0,)(0,0)小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；这类点可能将凹凸区间分开，但不是这类点可能将凹凸区间分开，但不是(b shi)绝对分开。绝对分开。如曲线如曲线 ，在，在 内是向上凹的，虽然内是向上凹的，虽然但但 不是拐点。不是拐点。4yx(,)00 xy(0,0)第二十二页，共26页。微分微分(wi fn)(wi fn)法作图法作图 曲线的渐近线：曲线

20、的渐近线：如果曲线如果曲线 上的点上的点M沿曲线离坐标原沿曲线离坐标原点无限远移时，点点无限远移时，点M与某一条直线与某一条直线L的距离趋于零，则称直线的距离趋于零，则称直线L为为曲线曲线 的一条渐近线。的一条渐近线。()yf x()yf x （1）若）若 或或 则则 为曲线的为曲线的垂直渐近线垂直渐近线。lim()xaf x lim()xaf x xa （2）若）若 或或 则则 为曲线的为曲线的水平渐近线水平渐近线。lim()xf xAlim()xf xAyA （3）若）若 ，则，则 为曲线的为曲线的斜渐近线斜渐近线。()lim,lim()xxf xaf xaxbxyaxb第二十三页，共26

21、页。微分微分(wi fn)(wi fn)法作图法作图函数的微分法作图的一般步骤：函数的微分法作图的一般步骤：（1）求出函数）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围；的定义域，确定图形的范围；（2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；（3）找出渐近线，确定图形的变化趋势；）找出渐近线，确定图形的变化趋势；（4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为 零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；零的点，及一阶或二阶导数不存在的点；（5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的

22、单调性、曲线的）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的 凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点；凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点；（6）适当选取）适当选取(xunq)一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的交点；一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的交点；（7）画图。）画图。第二十四页，共26页。例例4 作函数作函数 的图形。的图形。23xyx解解 函数函数(hnsh)的定义域为的定义域为 ,33,33,函数是奇函数，所以函数的图形函数是奇函数，所以函数的图形(txng)关于原点对称。关于原点对称。因为因为(yn wi)33lim(),lim(),lim()0 xxxf xf xf x 所以所以 是曲线的垂直渐近线，是曲线的垂直渐近线，是曲线的是曲线的水平渐近线。水平渐近线。3x 0y 又又 22230,3xyx 232293x xyx 令令 0,y 得得 0;x 当当 时，时，不存在不存在3x y所以函数在定义域内单调递增。所以函数在定义域内单调递增。第二十五页，共26页。列表列表(li bio),3 3,0 0 0,3 3,0 0 0 0 0 xyy 凹 凸 拐点 凹 凸画图画图(hu t)33oxy第二十六页，共26页。