射影几何学解析课件.ppt

1、线性摄像机成像模型线性摄像机成像模型1010000000011cccczyxffzyx1100sin/0cot100yxvfuffvuvuu1100sin/0cot100wwwKvuuczyxtRvffuffffvuz11013wwwTcccxyxtRzyx估计内参数估计内参数(5DOF)：Camera Calibration估计外参数估计外参数R,t(6DOF):Pose Estimation;Pose Determination 100000vfrusfKtRKP 焦距焦距focuslength主点主点principal point尺度因子尺度因子 scale factor倾斜因子倾斜因子

2、 skew factor摄像机矩阵元素的几何意义摄像机矩阵元素的几何意义v光心光心：v世界坐标系的坐标原点：其图像点为世界坐标系的坐标原点：其图像点为p4v世界坐标系的坐标轴方向的消失点：世界坐标系的坐标轴方向的消失点：p1，p2，p3tRCTTTTppppppppHtRKP32143214:0PC141pHC摄像机矩阵元素的几何意义TTTppppppppHtRKP32143214:主平面：主平面：p3T轴平面轴平面:p1T,p2T主轴主轴:det(H)h3主点主点:Hh3鱼眼镜头鱼眼镜头(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)全向摄像机全向摄像机 射影几何学简介射影几何学简介主要内容

3、主要内容一一叉积叉积()二二交比、调和共轭交比、调和共轭三三射影变换射影变换四四二次曲线及其对偶二次曲线及其对偶五五对极关系对极关系六六圆环点圆环点七七绝对二次曲线绝对二次曲线为什么要学习射影几何？为什么要学习射影几何？v照相机的成像过程是一个照相机的成像过程是一个(退化的退化的)射影射影变换变换(透视或中心射影透视或中心射影)的过程：的过程：物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持不变不变的性质的学科。的性质的学科。Euclid（约公元前（约公元前330

4、-275）,原本原本，研究在，研究在欧欧氏变换氏变换(旋转和平移旋转和平移)下保持不变的性质（欧氏性质）下保持不变的性质（欧氏性质）的几何，是的几何，是欧氏几何欧氏几何。比如长度、角度、平行性等。比如长度、角度、平行性等都是欧氏性质。都是欧氏性质。Pappus(约公元约公元3世纪世纪)，提出，提出交比交比等概念，射等概念，射影几何萌芽影几何萌芽Desargues(1591-1661),引入引入无穷远无穷远元素，透视定元素，透视定理，交比、调和不变，极点、极线，创立理，交比、调和不变，极点、极线，创立射影几何射影几何。射影空间射影空间 对对 n 维欧氏空间维欧氏空间加入加入无穷远元素无穷远元素,

5、并对有限并对有限元素和无穷远元素不加区分元素和无穷远元素不加区分,则它们共同构成则它们共同构成了了 n 维射影空间维射影空间.TTlyxyxp)1,0,0(,)0,(平面无穷远直线至少有一个非零平面无穷远点TTzyxzyxP)1,0,0,0(,)0,(空间无穷远平面至少有一个非零空间无穷远点332211RPlRPpRP无穷远点的像无穷远点的像叉积（叉积（）122121000 xxxxxxxyxtytvtyxvT ),(0300221 yvyvvvvvrankTT.,.)(.性质：两点、两线的叉积两点、两线的叉积2121llpppl 共线点的交比（Cross-ratio）v直线坐标系直线坐标系：

6、TTTppvupvpupppp),(,),(),(,1001212121 ),det(),det(),det(),det(),det(),det(:),det(),det(),;,(32414231424132314321pppppppppppppppppppp 交比交比不依赖不依赖于参数化的于参数化的选择。选择。调和共轭调和共轭22142113pppppp ,214321),;,(pppp成调和共轭。与，则称若432143211pppppppp,),;,(射影变换射影变换 记记 是两个由点组成的射影空间是两个由点组成的射影空间,是由是由 到到 的映射的映射.如果如果 保持保持:(i)点和直线

7、的结合关系点和直线的结合关系.比如比如:点在直线上点在直线上;直线通过点直线通过点;等等等等.(ii)共线的四个点的交比共线的四个点的交比.则则 被叫作被叫作 n 维射影变换维射影变换.,nnSSTnSnSTTv点用齐次坐标表示点用齐次坐标表示,则射影变换可用一个则射影变换可用一个(n+1)(n+1)的矩阵表示的矩阵表示:v 的行列式非零的行列式非零,则它是一个非退化的则它是一个非退化的射影变换射影变换,否则是个退化的射影变换否则是个退化的射影变换.PTPxxxttttxxxnnnnnn,01)1)(1(1)1()1(11101T 例如例如:，是两条射影直线是两条射影直线,让让 与与 对应对应

8、,其中其中 与与 的连线都交于一点的连线都交于一点,则则这个映射是一个这个映射是一个 1 维射影变换维射影变换.(透视或透视或中心射影中心射影)iPLiP LiPiPP1P2P3BP3P2P1P0AOLLv照相机的成像过程是一个从照相机的成像过程是一个从3维空间到维空间到2维空间的维空间的退化的射影变换退化的射影变换。成像平面成像平面摄摄像像机机坐坐标标系系ZXYOMm射影平面中的射影平面中的对偶对偶v“点点”与与“直线直线”叫作射影平面上的对偶叫作射影平面上的对偶元素。元素。v“过一点作一直线过一点作一直线”与与“在一直线上取一在一直线上取一点点”v在射影平面里设有点、直线及其相互结在射影平

9、面里设有点、直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，其命题中的各元素改为它的对偶元素，其结果形成另一个命题，这两个命题叫作结果形成另一个命题，这两个命题叫作平面对偶命题平面对偶命题。v对偶原则对偶原则：在射影平面里，如果一个命：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。题成立，则它的对偶命题也成立。v例如：例如：命题：通过不同两点必有一直线。命题：通过不同两点必有一直线。对偶命题：两不同直线必有一交点。对偶命题：两不同直线必有一交点。v共线的四个点有交比共线的四个点有交比,根据对偶根据对偶,共点的共点的四线也

10、有交比四线也有交比.L1L2L3L4P1P2P3P4(P1,P2;P3,P4)=(L1,L2;L3,L4)二次曲线二次曲线(Conic)记射影平面上点的齐次坐标为记射影平面上点的齐次坐标为 ,则则满足一个二次方程满足一个二次方程,即即:的所有点的集合构成一条由的所有点的集合构成一条由 决定的决定的 二次曲线二次曲线C,其中至少有一个其中至少有一个 非零非零.)(031,jiijjijiijaaxxa),(321xxxijaija022 feydxcybxyax3231xxyxxx/,/齐次化，令0233231222121 fxxexxdxcxxbxax 在二次曲线的定义中的方程又可以写为在二次

11、曲线的定义中的方程又可以写为:矩阵矩阵 是对称的是对称的,它的它的秩秩在一个非退化在一个非退化的射影变换下保持不变的射影变换下保持不变.0321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxx)(ija5DOF:a11:a12:a13:a22:a23:a335点确定一条直线点确定一条直线0则511点二次曲22 feydxcyybxaxiyxiiiiiiTii，,.,),(线过 0c 122iiiiiiyxyyxxor Tfedcbac 0c 111111121112111211121112111211121112111211121yxyyxxyxyyxxyxyyxxyx

12、yyxxyxyyxx该矩阵的右零向量该矩阵的右零向量即是即是.SVD 如果矩阵如果矩阵 的行列式非零的行列式非零,则这个二次则这个二次曲线曲线非退化非退化.否则二次曲线退化为两条否则二次曲线退化为两条直线直线,或一条直线或一条直线.例如例如:圆圆,椭圆椭圆,双曲线和抛物线双曲线和抛物线都是非退都是非退化的二次曲线化的二次曲线.)(ijaTTmllmCml 则退化成两条直线秩为,2.,退化成重合的两条直线秩为1切点、切线、配极对应切点、切线、配极对应lCCCplCp1 切点为切线上，则在p为极线上，则不在CplCp 配极对应的几何描述：配极对应的几何描述：点点p关于非退化二次曲线关于非退化二次曲

13、线C的的极线交极线交C于两点于两点，且且C在这两个交点的在这两个交点的切线交于点切线交于点p.v配极关系是射影不变的关系配极关系是射影不变的关系,利用这利用这个关系我们可以对照相机进行标定个关系我们可以对照相机进行标定.二次曲线的对偶：二次曲线的对偶：v射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲线的点元素换为线元素，则这些线的包络线的点元素换为线元素，则这些线的包络为一个二次曲线。为一个二次曲线。Point conicLine conic非退化的二次曲线的对偶：非退化的二次曲线的对偶：v二次曲线二次曲线 （为点坐标）为点坐标）的对偶为：的对偶为：（为线坐标）为线坐

14、标）0CXX0*LCLXL1 CC*圆环点圆环点(the circular points)0101iJiI,0022tyx平面上任何平面上任何圆圆与与无穷远直线无穷远直线的的交点交点：002222tfteytdxtyxJIl 3点点+2圆环点圆环点=5点确定一个圆点确定一个圆绝对二次曲线绝对二次曲线(The Absolute Conic)欧氏空间中欧氏空间中,无穷远平面上的二次曲线无穷远平面上的二次曲线:称为绝对二次曲线称为绝对二次曲线.它都由虚点构成。它都由虚点构成。004232221 xxxx,任意一个任意一个球球与与无穷远平面无穷远平面的交点：的交点：AC性质性质v无穷远直线交绝对二次曲

15、线于两点，这两个无穷远直线交绝对二次曲线于两点，这两个点是通过该无穷远线的平面的圆环点。点是通过该无穷远线的平面的圆环点。v绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所构成的集合，因而任意一个圆与绝对二次曲构成的集合，因而任意一个圆与绝对二次曲线交于两个圆环点。线交于两个圆环点。v设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示为，则它的任一点的切线为，反为，则它的任一点的切线为，反之。配极对应也成立。之。配极对应也成立。x xl xl1 绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧密相连密相连.假定照相机的内

16、参数为假定照相机的内参数为:则绝对二次曲线的像是则绝对二次曲线的像是:反之反之,如果绝对二次曲线的像已知如果绝对二次曲线的像已知,则则 K 可以被完全确定可以被完全确定.100000vfrusfK01XKKXv如果圆环点的像已知，也可以对照相机如果圆环点的像已知，也可以对照相机的内参数构成约束，通过解方程组来得的内参数构成约束，通过解方程组来得到内参数的值。到内参数的值。假定假定 m 是圆环点的像，则：是圆环点的像，则：01mKKm三维射影几何三维射影几何v点、空间直线、平面点、空间直线、平面v二次曲面二次曲面v扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密相连。相连。