对坐标的曲面积分课件.ppt
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- 关 键 词:
- 坐标 曲面 积分 课件
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1、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块 曲曲面面 S 面面在在xoyS,为为上上的的投投影影xyS)(.0cos00cos
2、)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 类似地可定义类似地可定义zxyxSSzoxyozS)()(和和面上的投影面上的投影及及在在二、概念的引入二、概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.(1 1)流流速速场场为为常常向向量量 v,有有向向平平面面区区域域A A,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量(假假定定密密度度为为 1 1).A Av 0nAvnvAvA 0cos 流量流量(2 2)设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体(假假定定密密度度为为 1 1)的的速速度度
3、场场由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(给给出出,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面,函函数数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上连连续续,求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量.xyzo 1.分割分割 把曲面分成把曲面分成n小块小块is(is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii ,xyzo in),(iii iS iv则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiii
4、iiiiii 该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为).,2,1(niSnviii 2.求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 3.3.取极限取极限0.的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 三、概念及性质三、概念及性质定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面,函数在上有函数在上有界界
5、,把分成把分成n块小曲面块小曲面iS(iS 同时又表示第同时又表示第 i块小曲面的面积块小曲面的面积),),iS 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyiS)(,),(iii 是是iS 上任意取定的一点上任意取定的一点,如如果当各小块曲面的直径的最大值果当各小块曲面的直径的最大值0 时时,nixyiiiiSR10)(,(lim 存存在在,则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxR在在有有向向曲曲面面上上对对坐坐标标yx,的的曲曲面面积积分分(也也称称第第二二类类曲曲面面积积分分)记记作作 dxdyzyxR),(,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(积分曲面积分
6、曲面被积函数被积函数有向面积元有向面积元类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在.组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(性质性质:由定义可知对坐标的曲面积分具有与由定义可知对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的
7、性质对坐标的曲线积分相类似的性质1。可加性可加性 2121 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz2。反向性反向性 dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),()(21的侧要相容的侧要相容与与 四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算法 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导
8、数,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续.xyzo),(yxfz xyDxys)(nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(),(,)()(,0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即,)()(,0cos,xyxyiS 取下侧取下侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果
9、如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式概括为概括为:代:将曲面的方程表示为二元显函数,然后代入代:将曲面的方程表示为二元显函数,然后代入 被积函数,将其化成二元函数被积函数,将其化成二元函数投:将积分曲面投影到与有向面积元素(如投:将积分曲面投影到与有向面积元素(如dxdy)中两个变量同名的坐标面上(如中两个变量同名的坐标面上(如xoy 面)面)定号:定号:由曲面的方向,即曲面的
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