数学第七章课件.ppt

1、逻辑代数初步逻辑代数初步第 七 章逻 辑 变 量第一节逻辑代数的运算律与逻辑图第二节逻辑代数应用举例第三节目录CONTENTS第一节 逻 辑 变 量 逻辑变量与基本运算 一、观察两个开关相串联的电路，如图7-1所示.由串联电路的性质容易知道，只有当开关A与B同时闭合时，电灯S才会亮，只要其中有一只开关没有闭合，或者两只开关都没有闭合，那么电灯S不会亮.图 7-1第一节 逻 辑 变 量这样，开关A,B和电灯S之间状态的依赖关系如表7-1所示.第一节 逻 辑 变 量可以看出，电灯S的状态取决于开关A,B的状态，它们之间是一种因果逻辑关系.这种描述客观事物一般逻辑关系的数学方法称为 逻辑代数 .开关

2、A,B与电灯S的状态都只有两种情况.将这样的变量称为 逻辑变量 ，常用大写字母A,B,S,表示.逻辑变量只有两种取值0和1.这里的值“0”和“1”不是数学中通常表示数学概念的0和1，而是表示两种对立的逻辑状态，称为 逻辑常量 .在具体问题中，可以规定一种状态为“0”，与它相反的状态为“1”.第一节 逻 辑 变 量在初等代数中有加、减、乘、除四则运算，即算术运算.逻辑代数中也有三种基本运算，它们不是数值的运算，而是逻辑关系的运算，称为 逻辑运算 .与三种逻辑运算相对应的是三种逻辑关系.当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事才会发生，而且一定发生，这种逻辑关系称为 “且”逻辑关系.观察图7-1

3、，只有当开关A和B同时闭合时，灯S才会亮，所以灯S与开关A和B之间是一种“且”逻辑关系，记为AB=S，也简记为AB=S.第一节 逻 辑 变 量将开关“闭合”取值为“1”，“断开”取值为“0”；“灯亮”取值为“1”，“灯不亮”取值为“0”，则表7-1可写成表7-2.第一节 逻 辑 变 量在逻辑运算中，与“且”逻辑关系相对应的是逻辑乘法运算（也称“且”运算），其运算法则为 11=1，10=0，01=0，00=0.在决定一件事情的各个条件中，只要具备一个或一个以上的条件，这件事情就会发生，这种逻辑关系称为 “或”逻辑关系 .第一节 逻 辑 变 量观察两个开关相并联的电路（见图7-2）.当开关A和B中

4、的任何一个闭合时，灯S都会亮，所以灯S与开关A和B之间是一种“或”逻辑关系，记为A+B=S.图 7-2第一节 逻 辑 变 量将开关“闭合”取值为“1”，“断开”取值为“0”；“灯亮”取值为“1”，“灯不亮”取值为“0”.开关A,B与电灯S的逻辑关系见表7-3.第一节 逻 辑 变 量在逻辑运算中，与“或”逻辑关系对应的是逻辑加法运算（也称“或”运算），其运算法则为 1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0.“非”就是“反”的意思.一个事件的发生依赖于一个条件，当这个条件成立时，这个事件不发生；反之，当这个条件不成立时，这个事件发生.称这种逻辑关系为 “非”逻辑关系 .第一节 逻 辑 变 量

5、观察电灯和开关相并联的电路（见图7-3）.当开关A闭合时，灯S灭；当开关A断开时，灯S亮.所以开关A与灯S之间是“非”逻辑关系，记为A=S.图 7-3第一节 逻 辑 变 量将开关“闭合”取值为“1”，“断开”取值为“0”；“灯亮”取值为“1”，“灯不亮”取值为“0”.开关A与电灯S的逻辑关系见表7-4.在逻辑运算中，与“非”逻辑关系对应的是逻辑非运算，其运算法则为 1=0,0=1.第一节 逻 辑 变 量学习提示学习提示第一节 逻 辑 变 量【例例1 1】第一节 逻 辑 变 量第一节 逻 辑 变 量第一节 逻 辑 变 量第一节 逻 辑 变 量逻辑代数式与普通代数式有什么异同？思考与讨论思考与讨论

6、第一节 逻 辑 变 量 逻辑式与真值表 二、由常量1和0以及逻辑变量，经逻辑运算所构成的式子称为 逻辑代数式 ，简称 逻辑式 .例如，A+B,AB,A,A,1,0等都是逻辑式.这里，把表示常量的1和0、单个变量都看成逻辑式.在逻辑式中，三种逻辑运算的优先顺序是“非”“且”“或”.例如，逻辑式AB+A的运算顺序是：先计算B，再计算AB，最后计算AB+A.第一节 逻 辑 变 量学习提示学习提示第一节 逻 辑 变 量当逻辑式中的变量取定一组值后，代入式子经计算，相应地得到逻辑式的一个值（0或1）.例如，逻辑式AB+A.当A=B=0时，有AB+A=00+0=0+1=1；当A=1,B=1时，有AB+A=

7、11+1=1+0=1.如果将A,B的一切可能值与相应的逻辑式AB+A的值都列出来，就是表7-8.表7-8称为逻辑式AB+A的真值表.第一节 逻 辑 变 量又如，表7-9是逻辑式(A+B)C和AC+BC的真值表.第一节 逻 辑 变 量学习提示学习提示第一节 逻 辑 变 量由表7-9可以看出，对于变量A，B，C的任何一组取值，逻辑式(A+B)C与AC+BC的值都相同.这样的两个逻辑式称为 等值逻辑式 .等值逻辑式可用“=”连结，并称为 等式 .例如，(A+B)C=AC+BC.第一节 逻 辑 变 量【例例2 2】由表7-10可以看出，对于逻辑变量A和B的任何一组值，AB与A+B的值都相同，所以AB=

8、A+B.第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图 逻辑代数的运算律 一、普通代数有加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，逻辑运算只有三种基本运算.与普通代数相类似，逻辑代数也有许多运算律.三种基本逻辑运算的运算律如下.逻辑乘法运算的运算律：（1）交换律 AB=BA；（2）结合律 A(BC)=(AB)C；（3）幂等律 AA=A；（4）0-1律 A0=0,A1=A.第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图逻辑加法运算的运算律：（1）交换律 A+B=B+A；（2）结合律 A+(B+C)=(A+B)+C；（3）幂等律 A+A=A；（4）0-1律 A+0=A,A+1=1.逻辑非运算的运算律：（1）还原律 A=A；（2）

9、互补律 A+A=1,AA=0.第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图其他常用运算律如下：（1）分配律 A(B+C)=AB+AC，A+BC=(A+B)(A+C)；（2）反演律 AB=A+B，A+B=AB；（3）吸收律 A+AB=A，A A+B=A.上述运算律可通过真值表进行验证.利用这些运算律可以化简逻辑式.第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图【例例1 1】第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图 课课堂练习练习第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图 逻辑函数与逻辑图 二、含有逻辑变量的函数就是逻辑函数.逻辑函数中的自变量是逻辑变量，其取值范围只有0和1（非0即1）两个数；逻辑函数的因变

10、量也是逻辑变量，其取值范围也只有0和1（非0即1）两个数.与普通代数相类似，逻辑函数可以写为 Y=f(A,B,C)，其中逻辑变量A,B,C为自变量，逻辑变量Y为因变量，f是逻辑函数的对应法则.第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图逻辑函数与普通代数里的函数有什么异同？想一想第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图逻辑函数一般用逻辑式表示，这个逻辑式称为 逻辑函数的表达式 .例如，Y=f(A,B)=B+AB.能够实现逻辑运算的电路称为 逻辑门电路 ，简称 门电路 .把能实现逻辑乘法运算的电路称为“且”门；把能实现逻辑加法运算的电路称为“或”门；把能实现逻辑非运算的电路称为 “非”门 .它们分别如图7-4中的（

11、a）、（b）、（c）所示.图 7-4第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图其中A,B称为输入变量，Y称为输出变量 .用门电路连结逻辑线路的图称为 逻辑图 .逻辑函数也可以用逻辑图来表示.画逻辑图的方法为按照逻辑运算的优先次序，顺次连接各门电路.第二节 逻辑代数的运算律与逻辑图【例例2 2】图 7-5 课课堂练习练习画出逻辑函数Y=AC+AB的逻辑图.第三节 逻辑代数应用举例逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具.本节将举例说明它在实际生活中的一些简单应用.学习提示学习提示第三节 逻辑代数应用举例【例例1 1】第三节 逻辑代数应用举例解 设开关A所处的状态为A，开关B所处的状态为B，电灯的状态为Y

12、，列出真值表（见表7-12）.第三节 逻辑代数应用举例由表7-12可以看出，电灯只在两种情况下才能亮：（1）开关A闭合，开关B切断时；（2）开关A切断，开关B闭合时.也就是说，仅在两种情况下Y=1成立：（1）AB=1成立；（2）A B=1成立.由此得到逻辑式 Y=AB+AB.第三节 逻辑代数应用举例【例例2 2】第三节 逻辑代数应用举例根据题意，列出真值表（见表7-13）.第三节 逻辑代数应用举例由真值表可以看出，只在五种情况下输出报警信号，因此，逻辑式为 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC.画出对应的卡诺图，如图7-6所示.图7-6第三节 逻辑代数应用举例观察卡诺图，函数的最简表达式

13、为 Y=ABC+BC+AC+AB，由此，可画出逻辑图，如图7-7所示.图 7-7第三节 逻辑代数应用举例由例2可看出，解决这类问题的一般步骤是：（1）搞清楚全部的逻辑关系及设计要求；（2）列出相应的真值表；（3）写出符合要求的逻辑关系式；（4）利用逻辑运算的运算律或画出对应的卡诺图进行化简；（5）画出逻辑关系式的逻辑图.第三节 逻辑代数应用举例【例例3 3】第三节 逻辑代数应用举例根据题意，列出真值表（见表7-14）.第三节 逻辑代数应用举例由真值表可以看出，只在三种情况下才能通过企划案，因此，逻辑式为 Y=AB C+ABC+ABC.画出对应的卡诺图，如图7-8所示.图 7-8第三节 逻辑代数

14、应用举例观察卡诺图，函数的最简表达式为 Y=AC+AB,由此，可画出逻辑图，如图7-9所示.图 7-9阅读材料 布尔代数的创始人布尔 布尔（George Boole,18151864）是英国数学家及逻辑学家,是布尔代数的创始人.布尔于1815年11月2日生于英格兰的林肯,1864年12月8日卒于爱尔兰的科克.布尔的父亲是一位鞋匠.布尔青少年时期，在当地上了小学和短时间的商业学校他自学了希腊语和拉丁语，后来又学会欧洲几个国家的语言从商业学校毕业后，布尔原想做一名牧师，但由于生活所迫，他在16岁那年接受了中学教师的职务.阅读材料此后，他又先后在一些中学教书.就在这个时期，他对数学产生了深厚的兴趣，

15、并决定继续自学数学.1835年，20岁的布尔创办了一所中学，仍是一面教书，一面自修高等数学.布尔阅读了许多数学论文.在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分法方面的新发现.变分法是数学分析的分支.它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面.阅读材料1848年，布尔出版了逻辑的数学分析这本他对符号逻辑诸多贡献中的第一次.1849年，34岁的布尔被聘为爱尔兰科克皇后学院（今爱尔兰国立考克大学）的数学教授.1854年，他出版了思维规律.这是他最著名的著作.在这本书中，布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数.不过几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视.直到20世纪初，著名的逻辑学家罗素在数学原理中认为“纯数学是布尔在一部他称之为思维规律的著作中发现的”.此说一出，立即引起世人对布尔代数的注意.阅读材料布尔在1855年结婚.他的妻子是皇后校园一位希腊文教授的侄女.1864年，布尔死于肺炎，肺炎是他在暴风雨天气中被淋湿但仍坚持上课引起的，终年59岁.布尔代数为计算机的逻辑设计提供了强大的理论支持和分析手段.布尔为数字时代的到来立下了不朽的功勋.