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1、立立 体体 几几 何何第 十四 章空间几何体第一节平面及其性质第二节空间中的平行关系第三节空间中的垂直关系第四节目录CONTENTS第一节 空间几何体在实际生活中，我们可以看到各种各样的物体，如衣柜、粉笔盒、水桶、篮球等，这些物体都占据着一定的空间.如果我们只考虑这些物体的大小和形状，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体.本章主要讲述空间几何体中的多面体棱柱、棱锥、棱台以及旋转体圆柱、圆锥和球的基本概念及其结构特征.第一节 空间几何体 棱柱、棱锥与棱台 一、多面体的结构特征多面体的结构特征1.如图14-1（a）、（b）所示，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫作

2、多面体，围成多面体的各个多边形叫作多面体的面，两个面之间的公共边叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点，不在同一个平面上的两个顶点之间的连线叫作多面体的对角线.在实际生活中，棱柱、棱锥和棱台是我们比较常见且比较简单的多面体.第一节 空间几何体图 14-1学习提示学习提示第一节 空间几何体棱柱棱柱2.(1)棱柱的结构特征.观察图14-2中的多面体图形：图 14-2第一节 空间几何体可以看出，图14-2所示的三个多面体图形都有如下的公共特征：有两个互相平行的面，且其余各个面都是四边形；每两个相邻四边形的公共边互相平行.像上述那样，有两个面互相平行，其余相邻两个面的交线都相互平行的多面体叫作

3、棱柱.其中，互相平行的两个面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，两侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，棱柱两个底面之间的距离叫作棱柱的高.长方体是四棱柱吗？直四棱柱是长方体吗？思考与讨论思考与讨论第一节 空间几何体 棱柱按底面是三角形、四边形、五边形可分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱如图14-2（a）为三棱柱，图14-2（b）为四棱柱，图14-2（c）为五棱柱.棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或用一条对角线端点的两个字母来表示，如图14-2（b）所示的四棱柱可表示为“棱柱ABCD-A1B1C1D1”或“棱柱AC1”.棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫作直棱柱，侧棱与底面不垂直的棱柱叫

4、作斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.第一节 空间几何体（2）正棱柱的表面积和体积.正棱柱的所有侧面积之和叫作正棱柱的侧面积，正棱柱的侧面积和两个底面面积之和叫作正棱柱的表面积.第一节 空间几何体图14-3所示为直五棱柱的表面展开图.图 14-3第一节 空间几何体由图14-3我们可以得出，直棱柱的侧面积S直棱柱侧和表面积S直棱柱表的计算公式分别为S直棱柱侧=ch，（14-1）S直棱柱表=S直棱柱侧+2S底=ch+2S底.（14-2）直棱柱的体积V直棱柱的计算公式为V直棱柱=S底h.（14-3）式（14-1）式（14-3）中的c为直棱柱底面的周长，h为直棱柱的高，S底为直棱柱的底面积.第一

5、节 空间几何体【例例1 1】如图14-4所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长AB=3 cm，AA1=4 cm.计算：（1）正三棱柱的表面积；（2）正三棱柱的体积.图 14-4第一节 空间几何体第一节 空间几何体棱锥棱锥3.（1）棱锥的结构特征.观察图14-5所示的几何体.图 14-5第一节 空间几何体可以看出，这些几何体都是由平面图形围成的，其中有一个面是多边形，其余各个面是三角形，且这些三角形有一个公共顶点.一般地，像上述那样，有一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体叫作棱锥.棱锥中有公共顶点的各三角形叫作棱锥的侧面，各个侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点，相邻两

6、侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，棱锥中的多边形叫作棱锥的底面，顶点到棱锥的底面的距离叫作棱锥的高.第一节 空间几何体棱锥也可按照底面多边形的形状来分类，按底面是三角形、四边形、五边形可分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥图14-5（a）为三棱锥，图14-5（b）为四棱锥，图14-5（c）为五棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，则这个棱锥叫作正棱锥.棱锥也可以用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图14-5（a）可表示为“三棱锥P-ABC”.第一节 空间几何体（2）正棱锥的表面积.正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，如图14-6所示的正四棱锥的侧面展开图.

7、这些等腰三角形底边上的高都相等，叫作棱锥的斜高.图 14-6第一节 空间几何体第一节 空间几何体棱台棱台4.（1）棱台的结构特征.如图14-7所示，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分称为棱台.截面和原棱锥的底面分别叫作棱台的上底面和下底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻两侧面的公共边叫作棱台的侧棱，两底面之间的距离叫作棱台的高.图 14-7第一节 空间几何体由正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面都为全等的等腰梯形.这些等腰梯形的高叫作棱台的斜高.棱台可以用表示上、下底面的字母来命名，如图14-8所示的棱台，可记作“棱台ABCD-A1B1C1D1”或“棱台AC1”.棱台的上底面为

8、A1B1C1D1，下底面为ABCD，高为OO1，斜高为MN.图 14-8第一节 空间几何体（2）正棱台侧面积和棱台的表面积.棱台的展开图如图14-9所示，是由棱台的各个侧面和上、下底面组成的.图 14-9第一节 空间几何体第一节 空间几何体第一节 空间几何体学习提示学习提示第一节 空间几何体 圆柱、圆锥与球 二、旋转体的概念旋转体的概念1.一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体，该定直线叫作旋转体的轴.第一节 空间几何体圆柱圆柱2.（1）圆柱的结构特征.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆

9、柱，旋转轴叫作圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫作圆柱的底面.平行于轴的边旋转成的曲面叫作圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条平行于轴的边都叫作圆柱的母线.如图14-10所示，直线OO1是圆柱的轴，线段OO1是圆柱的高，AA1是圆柱的母线.第一节 空间几何体图 14-10圆柱可以用表示它的轴的字母来表示，图14-10所示的圆柱可表示为“圆柱OO1”.圆柱的上、下两个底面是互相平行且半径相等的圆，圆柱的母线互相平行且与圆柱的高相等.第一节 空间几何体（2）圆柱的表面积和体积.圆柱的侧面积S圆柱侧、表面积S圆柱表和体积V圆柱的计算公式分别为S圆柱侧=2rh，（14-10）S圆柱表=2r（h+r

10、），（14-11）V圆柱=r2h，（14-12）其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高.第一节 空间几何体圆锥圆锥3.（1）圆锥的结构特征.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，由其余两边绕轴旋转一周所形成的面所围成的旋转体叫作圆锥，如图14-11所示.旋转轴叫作圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，不垂直于轴的边叫作圆锥的母线，圆锥的母线与轴的交点叫作圆锥的顶点，顶点到底面的距离叫作圆锥的高.第一节 空间几何体图 14-11圆锥可用表示轴的字母来表示，图14-11所示的圆锥可表示为“圆锥SO”.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的距

11、离都相等，都等于圆锥的母线长.课课堂练习练习试说出图14-11中圆锥的底面、圆锥的轴、圆锥的高、圆锥的母线.第一节 空间几何体第一节 空间几何体学习提示学习提示第一节 空间几何体球球4.我们平常所见的乒乓球、篮球、排球等都属于球形的物体.下面我们主要来学习球的基本结构特征及一些相关的计算.(1)球的结构特征.如图14-12所示，以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫作球体，简称球.半圆的圆心叫作球心，半圆的半径叫作球的半径，半圆的直径叫作球的直径.第一节 空间几何体球常用表示球心的字母来表示，图14-12所示的球可表示为“球O”.球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆

12、，被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆.（2）球的表面积和体积.球的表面积和体积计算公式分别为S球=4R2，（14-16）V球=43R3，（14-17）其中，R为球的半径.第一节 空间几何体【例例2 2】第二节 平面及其性质 平面的表示 一、由于平面是无限延展的，所以我们无法将其在纸上表示出来.通常用一个平行四边形来表示平面，并用希腊字母，写在平行四边形的一个角上来表示不同的平面，如图14-14（a）、（b）所示的平面、平面;也可用平行四边形四个顶点的字母或者对角线的字母来表示，如图14-14（c）所示的平面ABCD或平面AC.图 14-14第二节 平面及其性质我们用平行四边形来表示立体空间

13、中的平面，是否可以说平行四边形就是平面呢？想一想第二节 平面及其性质水平的平面可以画成一个平行四边形，锐角画成45，钝角画成135，横边是邻边的2倍；竖直的平面常画成矩形，如图14-15所示.具体的可根据实际需要来画，主要是便于分析研究即可.图 14-15第二节 平面及其性质 平面的三条基本性质 二、在初中我们学过了点和直线的基本性质，即（1）连接两点的线中，线段最短；（2）过两点有且只有一条直线.几何中的点和直线都是抽象概念，所画出的点不考虑其大小，所画出的直线也不考虑其粗细.同样，几何中的平面也是抽象的概念，尽管在日常生活中大家知道什么样的物体表面是平的，什么样的物体表面是凸凹不平的，但这

14、只是我们对平面形象的直观认识.人们在长期的观察和社会实践中，总结出了关于平面的三条基本性质.第二节 平面及其性质基本性质1 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说“直线在平面内或平面经过直线”，如图14-16 所示.图 14-16 第二节 平面及其性质利用平面的这一性质可以判断直线是否在平面内，也可以检验一个面是否是“平的”，因为弯曲的面不具备这种性质.基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.这也可以简单地说成“不共线的三点确定一个平面”.实际生活中，我们常见如图14-17所示的三条腿的凳子和支撑照相机用的三脚架，都是平面的基本性

15、质2的应用.图 14-17第二节 平面及其性质过不共线的三点A，B，C的平面常可记作平面ABC，如图14-18所示.图 14-18第二节 平面及其性质基本性质3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线（见图14-19）.平面的这一性质也说明了，如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交.这条公共直线叫作两个平面的交线.图14-19所示为平面与平面相交，交线为l，记作=l.在画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，图形中被遮住的部分要画成虚线，如图14-19（a）所示，或者不画，如图14-19（b）所示.图 14-19第二节 平面及其性质学习提示学习提示第二

16、节 平面及其性质根据平面的基本性质，可以得出以下三个推论：推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，如图14-20（a）所示.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面，如图14-20（b）所示.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面，如图14-20（c）所示.第二节 平面及其性质图 14-20第三节 空间中的平行关系 直线与直线平行 一、空间中两条直线的位置关系空间中两条直线的位置关系1.观察图14-21所示的长方体，可以看出，长方体的棱AA1所在的直线与棱CD所在的直线既不相交也不平行，而且也不同在一个平面内.图 14-21第三节 空间中的平行关系在空间中，同在一个平面内

17、的直线叫作共面直线，平行或相交的直线都是共面直线；不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线，图14-21中AA1所在的直线与CD所在的直线就是异面直线.这样，空间中两条直线的位置关系就有三种，即平行、相交和异面.在画异面直线时，为了突出其不共面的特点，通常利用平面来衬托，如图14-22所示.图 14-22第三节 空间中的平行关系直线与直线平行的判定与性质直线与直线平行的判定与性质2.在初中所学的平面几何中我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.这一直线平行的性质在空间几何中也同样适用，即定理1 平行于同一条直线的两条直线互相平行.这个性质称为空间平行

18、线的传递性，常将其作为判断空间两条直线平行的依据.第三节 空间中的平行关系学习提示学习提示第三节 空间中的平行关系【例例1 1】图 14-23第三节 空间中的平行关系第三节 空间中的平行关系 直线与平面平行 二、空间中直线与平面的位置关系空间中直线与平面的位置关系1.通过前面学习我们知道，如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内，如图14-24（a）所示，可记作l.在空间中，直线和平面的位置关系还有另外两种情况，即直线与平面相交及直线与平面平行.如果一条直线和一个平面只有一个公共点，则叫作直线与平面相交，这个公共点叫作直线与平面的交点.如图14-24（b）所示，图中直线l

19、与平面相交于A点，可记作l=A.如果直线和平面没有公共点，则称直线与平面平行，如图14-24（c）所示，可记作l.第三节 空间中的平行关系图 14-24第三节 空间中的平行关系如果直线l1和l2是异面直线，且l1在平面内，那么直线l2与平面会是什么样的位置关系呢？思考与讨论思考与讨论第三节 空间中的平行关系直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质2.定理2 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.在画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使其与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行，如图14-2

20、5所示.图 14-25第三节 空间中的平行关系直线和平面平行有如下的性质定理：定理3 如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行.空间几何中经常应用这条定理，即根据“线与面平行”来判定“线与线平行”.如图14-26所示，已知平面和平面相交于直线m，直线l且直线l在平面内，则lm.图 14-26第三节 空间中的平行关系【例例2 2】图 14-27第三节 空间中的平行关系（说明：为了叙述的简便，这里将线段PB所在的直线直接写成直线PB，将平面MAC所在的平面直接写成平面MAC，本书在以后的叙述中都采用这种表述方法.）分析 根据直线与平面平行的

21、性质，要想证得直线PB与平面MAC平行，首先要证得直线PB与平面MAC内的一条直线平行.观察图14-27，需要做出辅助线，即连结MO，然后可进行求证.第三节 空间中的平行关系证明 连结MO.在PBD中，因为M是PD的中点，O是BD的中点，所以MO是PBD的中位线，则MOPB.又因为直线MO在平面MAC内，所以直线PB平面MAC.第三节 空间中的平行关系 平面与平面平行 三、空间中平面与平面的位置关系空间中平面与平面的位置关系1.我们可以看到，教室的天花板和地面所在的平面无论怎么延展，都不会有共同的交点；而教室的墙壁与地面可以相交于一条直线.一般地，如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平

22、行；如果两个平面有且只有一条公共直线，那么这两个平面相交.即空间中，两个平面的位置关系有平行和相交两种.在画两个平面平行时，通常把表示平面的两个平行四边形的对应边画成平行线.平面和平面平行可记作，如图14-28所示.第三节 空间中的平行关系图 14-28在画两个平面平行时，通常把表示平面的两个平行四边形的对应边画成平行线.平面和平面平行可记作，如图14-28所示.第三节 空间中的平行关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质2.由两个平面平行的定义可归纳出两个平面平行的判定定理.定理4 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.由这个定理可知，可以根据直线

23、与平面平行来判定平面与平面平行.第三节 空间中的平行关系【例例1 1】第三节 空间中的平行关系定理5 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行.如图14-29所示，平面平面，与平面分别相交于直线l1和l2.因为直线l1和l2分别在平面和内，所以它们不相交；但它们又同在平面内，则根据平行线的定义可知它们是平行的.图 14-29第四节 空间中的垂直关系 直线与直线垂直的判定与性质 一、空间中两条直线所成的角空间中两条直线所成的角1.观察图14-32中的长方体ABCD-A1B1C1D1，我们知道，AB1与CD是两条异面直线.那么它们所成的角是什么样的呢？图 14-32第四节 空间

24、中的垂直关系学习提示学习提示第四节 空间中的垂直关系过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，则这两条相交直线所成的最小夹角即为两条异面直线所成的角.如图14-33（a）所示，直线m与n是两条异面直线，在求m与n所成的角时，可通过空间任意一点O分别作m，n的平行线m，n，则m与n的夹角即为异面直线m，n所成的角，如图14-33（b）所示.为方便起见，常将点O取在两条异面直线中的一条上，如图14-33（c）所示.只需做出直线m的平行线m，则直线m与直线n交于O点，角即为异面直线m，n所成的角.第四节 空间中的垂直关系图 14-33第四节 空间中的垂直关系【例例1 1】图 14-34第四节 空

25、间中的垂直关系解 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1BD1C，所以B1CD1即为异面直线A1B与B1C所成的角.又因为B1C=CD1=D1B1，所以B1CD1为等边三角形，则B1CD1=60，即异面直线A1B与B1C所成的角为60.第四节 空间中的垂直关系在空间中，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？想一想第四节 空间中的垂直关系直线与直线垂直的判定与性质直线与直线垂直的判定与性质2.当空间中两条异面直线m，n所成的角为90时，称这两条异面直线互相垂直，记作mn.当两条异面直线所成的角为0时，这两条直线互相平行或重合.第四节 空间中的垂直关系【例例2 2】图 14-35第四节 空间

26、中的垂直关系解 由图14-35可知，直线AA1与直线CD是异面直线.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，CDAB，所以A1AB即为异面直线AA1与CD所成的角.又因为A1AB为直角，因此AA1CD.第四节 空间中的垂直关系 直线与平面垂直的判定与性质 二、我们日常生活中所看到的旗杆与地面的位置关系，放在讲课桌上的粉笔盒的每个棱和课桌的位置关系等，都给我们一直线与平面垂直的形象.本小节我们将主要学习直线与平面垂直的判定及性质.第四节 空间中的垂直关系直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质1.如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直.这条直线

27、叫作平面的垂线，直线与平面的交点叫作垂足，这个平面叫作直线的垂面.垂线上任意一点到垂足之间的线段叫作这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到这个平面的距离.第四节 空间中的垂直关系图 14-36画直线和平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图14-36所示.图14-36中，直线l与平面互相垂直，记作l，垂足为O.第四节 空间中的垂直关系由空间中直线与平面垂直的定义可知直线与平面垂直的性质定理为：定理1 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行.直线与平面垂直的判定定理为：定理2 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个

28、平面.由一条直线和一个平面互相垂直可得出如下的结论：（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么它和平面内的任意一条直线都互相垂直.（2）如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.当直线和平面相交，但不互相垂直时，那么这条直线就叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足.过斜线上除斜足外的一点向平面引垂线，那么垂线与平面的交点叫作垂足.过垂足与斜足的直线叫作斜线在这个平面上的射影.第四节 空间中的垂直关系直线与平面所成的角直线与平面所成的角2.第四节 空间中的垂直关系如图14-37所示，直线PB是平面的斜线，斜足为B，直线PA为平面的垂线，垂足为A，直线AB即为斜线PB在

29、平面内射影.图 14-37第四节 空间中的垂直关系平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的角叫作这条斜线与这个平面所成的角.图14-37中，PBA即为斜线PB与平面所成的角.我们知道，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角就为直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0角.显然，直线与平面所成的角的范围是0，90.第四节 空间中的垂直关系【例例3 3】图 14-38第四节 空间中的垂直关系第四节 空间中的垂直关系 平面与平面垂直的判定与性质 三、前面我们学习了直线与直线所成的角以及直线与平面所成的角.在实际生产生活中，为了解决一些实际问题，我们常常需要研究两个平面所成的角.例如

30、，修筑水坝时，为了使水坝牢固耐用，必须使水坝的斜面与水平面形成适当的角度，如图14-39所示.图 14-39第四节 空间中的垂直关系平面与平面所成的角平面与平面所成的角1.平面内的一条直线把平面分成两个部分，其中的每一部分叫作半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.第四节 空间中的垂直关系如图14-40（a）所示，以直线l为棱，两个半平面分别为，的二面角，可记作“二面角-l-”.有时为了方便，也可在两个半平面内分别取两个点，如图14-40（b）中的E，N点，可将该二面角记作“二面角E-AB-N”.图 14-40第四节 空间中

31、的垂直关系过棱上一点，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的射线，由这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角.如图14-41所示，在二面角-l-的棱l上取一点O，在半平面内作AOl，在半平面内作BOl，则AOB即为二面角-l-的平面角.图 14-41第四节 空间中的垂直关系二面角的大小可以用它的平面角来度量，当二面角的两个半平面重合时，二面角为0角；当二面角的两个半平面在一个水平面上时，二面角为平角，即为180角.显然，二面角的取值范围为0，180.当二面角的平面角为90时，二面角就可称为直二面角，表示二面角的两个半平面互相垂直.第四节 空间中的垂直关系平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的

32、判定与性质2.一般地，当两个平面相交时，如果它们所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.若平面与平面互相垂直，则可记作.如图14-42所示，在画两个互相垂直的平面时，常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.图 14-42第四节 空间中的垂直关系两个平面互相垂直有如下的判定定理：定理3 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面互相垂直有如下的性质定理：定理4 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.第四节 空间中的垂直关系【例例4 4】图 14-43第四节 空间中的垂直关系证明 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC

33、1B1C1，CC1C1D1，且B1C1平面A1B1C1D1，C1D1平面A1B1C1D1，CC1平面A1B1C1D1.CC1B1D1.又B1D1A1C1，B1D1平面AA1C1C.B1D1平面BB1D1D，平面BB1D1D平面AA1C1C.阅读材料 五种柏拉图固体柏拉图固体（Platonic Solids）是凸面体，各个侧面构成全等的平面正多边形.此种固体在世界上只存在五种.“固体”是指任意三维物体，如石头、盒子、球体、金字塔和立方体等.有一组固体很特别，叫作正多面体，是由古希腊哲学家柏拉图（Plato）发现的.如果每一个固体的每个面都有着相同的尺寸和形状，那么它们就是正多面体.所以说，立方体是正多面体，因为它的各个面都是面积相同的正方形.但下边的这个盒子就不是正多面体，因为它的各个面为面积不相等的长方形.柏拉图证明了正多面体只可能有五个，它们是四面体、六面体（或立方体）、八面体、十二面体和二十面体.阅读材料下列各图就是构成正多面体的模型，大家可以将其复印下来，剪一剪再折一折，然后粘合起来看是否可以构成上述几何体.