放射性测量中的统计学课件.ppt

1、1.核衰变数和计数的统计分布2.放射性测量的统计误差放射性测量中的统计学1放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介质中消耗能量产生电子离子对、质中消耗能量产生电子离子对、射线或中子与射线或中子与物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内事件发生的数目和某一事件发生能够的时刻都是随事件发生的数目和某一事件发生能够的时刻都是随机的，即具有机的，即具有统计涨落性统计涨落性。放射性测量中的统计学24.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布3在放射性测量中，即使所有实验条件都是稳定的，如源

2、的放在放射性测量中，即使所有实验条件都是稳定的，如源的放射性活度、源的位置、探测器的工作电压等都保持不变，在射性活度、源的位置、探测器的工作电压等都保持不变，在相同时间内对同一对象进行多次测量，每次测到的计数并相同时间内对同一对象进行多次测量，每次测到的计数并不不完全完全相同，而是围绕某个相同，而是围绕某个平均值平均值上下涨落，这种现象称为上下涨落，这种现象称为放放射性计数的统计涨落射性计数的统计涨落。这种涨落不是有观测者的主观因素造成的，是这种涨落不是有观测者的主观因素造成的，是放射性原子核放射性原子核衰变衰变的的随机性随机性引起的。在放射性核衰变中，引起的。在放射性核衰变中，N0个原子核在

3、某个原子核在某个事件间隔内衰变的数目个事件间隔内衰变的数目n是是不确定不确定的，这就引起了的，这就引起了放射性放射性测量计数测量计数的涨落，它服从的涨落，它服从统计分布规律统计分布规律。核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布4客观世界中许多现象都具有偶然的性质，称为客观世界中许多现象都具有偶然的性质，称为偶然现象偶然现象现象的现象的偶然性偶然性总是伴随着他的总是伴随着他的必然性必然性一同出现的，偶然性是一同出现的，偶然性是必然性的表现形式。必然性的表现形式。概率论与数理统计是一门研究概率论与数理统计是一门研究偶然现象的规律性偶然现象的规

4、律性的学科的学科有一类随机试验在今后要常遇到。这类随机试验只有两个可有一类随机试验在今后要常遇到。这类随机试验只有两个可能的结果，非此即彼，没有第三种结果出现的可能。这类随能的结果，非此即彼，没有第三种结果出现的可能。这类随机试验称作机试验称作“伯努利试验伯努利试验”。核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布5假定在假定在t0时刻有时刻有N0个不稳定的原子核，在某一时间个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部分核发内将有一部分核发生衰变。先考虑一个原子核的情形。假如在某一短时间间隔生衰变。先考虑一个原子核的情形。假如在某一短时间间隔t t

5、内放射性内放射性原子核衰变概率原子核衰变概率pt与此原子核过去的历史和现在的环境无关，则与此原子核过去的历史和现在的环境无关，则pt正正比于比于t，因此：，因此：比例常数比例常数是该种放射性核素的特征值，该原子核经过是该种放射性核素的特征值，该原子核经过t t未发生率变未发生率变的概率是：的概率是：tpttpqtt11若将时间若将时间t t分为许多很短的时间间隔分为许多很短的时间间隔t t，则，则tt/i，那么该原子核经过，那么该原子核经过2t发生衰变的概率为：发生衰变的概率为：2)1()1)(1(ttt核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统

6、计分布6经过经过t时间后未发生衰变的概率为时间后未发生衰变的概率为：iiitt)1()1(titeit)(1lim所以一个放射性原子核经过所以一个放射性原子核经过t t时间后时间后未发生衰变的概率为未发生衰变的概率为e e-t t,那么对于那么对于t t0 0时刻的时刻的N N0 0个原子核，经过个原子核，经过t t时间后时间后未未发生衰变的原子核发生衰变的原子核数目数目为：为：teNN0，我们有：则令0,ti核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布7同样：假定在同样：假定在t0时刻有时刻有N0个不稳定的原子核，在某一时间个不稳定的原子核

7、，在某一时间t内将有内将有一部一部分核分核发生衰变。考虑一个原子核的情形得到：发生衰变。考虑一个原子核的情形得到：一个放射性原子核经过一个放射性原子核经过t时时间后间后未未发生衰变的概率发生衰变的概率为为e-t，任何一个核在，任何一个核在t时间内衰变的几率为：时间内衰变的几率为：未发生率变的概率是：未发生率变的概率是：tep1tepq1显然：显然：这样的情形服从二项式分布。这样的情形服从二项式分布。1qp核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布8放射性核衰变所服从的三种最基本的分布规律：二项式分布 泊松分布 高斯分布 1.1.二项式分布二

8、项式分布即：即：放射性原子核的衰变可以看成是数理统计中的伯努利试验问放射性原子核的衰变可以看成是数理统计中的伯努利试验问题题;在在t t时间内发生核衰变数为时间内发生核衰变数为n n的概率为的概率为:9nNnppnnNNnp0)1(!)!(!)(00nNtnteennNNnp0)()1(!)!(!)(004.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布一般的，对于任何一种分布有两个最重要的数字特征。一般的，对于任何一种分布有两个最重要的数字特征。数学期望值数学期望值E E（n n）:（简称期望值，在物理中有时也称平均值用（简称期望值，在物理中有时也称平均值用m m表示），表示）

9、，它表示随机变数它表示随机变数n n取值的平均位置；取值的平均位置；方差方差D D（n n）：又常用）：又常用2 2 表示，它表示随机变数表示，它表示随机变数n n取值相对于期望值取值相对于期望值 E E（n n）的离散程度。）的离散程度。方差的的开方根值称均方根差，用方差的的开方根值称均方根差，用表示，对于二项式分布，对应的期表示，对于二项式分布，对应的期望值与方差分别为：望值与方差分别为：10)1(00teNpNmtttmeeeNppN)1()1(0024.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布1.1.二项式分布二项式分布讨论：若讨论：若t1t1，上式简化为：，上式简

10、化为：在在m m数值较大时：数值较大时：即即可以用任意一次观测到的衰变核数代替其平均值可以用任意一次观测到的衰变核数代替其平均值来进行计算来进行计算11mm或2nnnm)(4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布1.1.二项式分布二项式分布 若若N N0 0很大，且很大，且t1 t1，注意到注意到m=Nm=N0 0p p，就得到：，就得到：2.2.泊松分布泊松分布12pNnNpnNneepNnNNNNnNN000)()1()1()2)(1()!(!0000000menmepnNnpmnpNnn!)(004.4.1.1.核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布高斯

11、分布又称正态分布，当高斯分布又称正态分布，当m1m1时，二项式分布可以简化为高时，二项式分布可以简化为高斯分布：斯分布：其期望值与方差为：其期望值与方差为：高斯分布是对称的，当高斯分布是对称的，当m20m20时，泊松分布就可以用高斯时，泊松分布就可以用高斯分布来代替。分布来代替。3.3.高斯分布高斯分布132222)(2)(2121)(mnmmneemnpmnDmnE2)()(4.4.1.1.核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布在二项式分布和泊松分布中，在二项式分布和泊松分布中，n n是离散性随机变数，只限于取是离散性随机变数，只限于取整数值，对高斯分布来说，整数值，对高斯分布来说

12、，n n可以取整数，也可以是连续型随可以取整数，也可以是连续型随机变数。机变数。原子核衰变数在某一数值区间原子核衰变数在某一数值区间【n n1 1，n n2 2】内的概率：内的概率：14dnenpmnnn222)(2/12/121)(dnennnpdnennnpmnnnmnnn222122212)(212)(2/12/12121)(21)(3.3.高斯分布高斯分布4.4.1.1.核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布其中其中z z的表达式为（此变量置换又称为标准化）的表达式为（此变量置换又称为标准化）实际使用时，通常利用现成的高斯分布积分数值表，表格中给出了实际使用时，通常利用现成的

13、高斯分布积分数值表，表格中给出了对应于对应于z z的函数值：的函数值：于是得：于是得：注意到函数的奇对称性：注意到函数的奇对称性：15dzezzz02221)(dndzmnz,)()(21)()(2122121212zzdzezzzpnnnpzzz)()(zzz(z)z(z)z(z)z(z)0.000.00000.800.28811.600.44522.400.49180.050.01990.850.30321.650.45052.450.49290.100.03980.900.31591.700.45542.500.49380.150.05960.950.32891.750.4592.550

14、.49460.200.07931.000.34131.800.46402.600.49530.250.09871.050.35311.850.46782.650.49600.300.11791.100.36431.900.47132.700.49650.350.13681.150.37491.950.47442.750.49700.400.15541.200.38492.000.47732.800.49740.450.17361.250.39442.050.47982.850.49780.500.19151.300.40322.100.48212.900.49810.550.20881.350

15、.41152.150.48422.950.49840.600.22581.400.41922.200.48613.000.49870.650.24221.450.42652.250.48780.700.25801.500.43322.300.48930.750.27341.550.43942.350.490616核衰变的统计分布核衰变的统计分布4.4.1 1 核衰变数和计数的统计分布核衰变数和计数的统计分布17放射性核衰变所服从的三种最基本的分布规律：二项式分布：泊松分布：（N0很大，且t1）高斯分布：（m1）nNtnteennNNnp0)()1(!)!(!)(00mnpNnnenmepnNn

16、p!)(002222)(2)(2121)(mnmmneemnp1.统计误差的产生和表示方法由于放射性核衰变和射线与物质相互作用的由于放射性核衰变和射线与物质相互作用的统计性统计性引起的误差，称引起的误差，称为为统计误统计误差。统计误差是由于被测物理量本身有差。统计误差是由于被测物理量本身有涨落涨落造成的，它与造成的，它与测量过程无关。测量过程无关。放射性测量的计数值服从正态分布，最常用的是标准误差放射性测量的计数值服从正态分布，最常用的是标准误差N N，其，其平方值即为正态分布的方差：平方值即为正态分布的方差：用用k k次测量的平均值甚至单次测次测量的平均值甚至单次测量值量值N N代替代替M

17、M：k k次测量的平均值表达式为：次测量的平均值表达式为：18kiiNNNkNNNMM1214.4.2 2 放射性测量的统计误差1.统计误差的产生和表示方法其中对于一次测量，可以将测量结果可以表示为：其中对于一次测量，可以将测量结果可以表示为：19NNNN4.4.2 2 放射性测量的统计误差这种表示的含义：对任何一个计数这种表示的含义：对任何一个计数N N，写出，写出N NN N就表示了一个区间。就表示了一个区间。N N不同，这个区间的位置也不同，所以这个区间是不同，这个区间的位置也不同，所以这个区间是随机随机的。任何一个计数的。任何一个计数值值N N落入这个区间内的概率是落入这个区间内的概率

18、是68.3%68.3%。因此对任何一个。因此对任何一个N NN N区间来说，区间来说，这时平均值这时平均值M M可能在其中，也可能不在其中，这就要看可能在其中，也可能不在其中，这就要看N N与与M M的的偏差偏差是否超是否超过了过了N N。N NN N就表示的区间就表示的区间的的概率概率是是68.3%68.3%。标准误差。标准误差也正是说明具有这一概率意义的也正是说明具有这一概率意义的空间宽度空间宽度。所以所以N N越大，相对误差越小，表示测量精度越高越大，相对误差越小，表示测量精度越高1.统计误差的产生和表示方法标准误差标准误差n n随随N N增大而增大，但增大而增大，但N N越大越大，测量

19、越，测量越不精确不精确么？么？20NNNNNN14.4.2 2 放射性测量的统计误差事实上事实上N N越大，测量精度越高，用绝对误差表示不能直接看出测量越大，测量精度越高，用绝对误差表示不能直接看出测量结果的精确度，用相对误差就可以明显看出。按定义，相对标准结果的精确度，用相对误差就可以明显看出。按定义，相对标准误差误差n n是：是：2.统计误差的计算2.1.2.1.函数统计误差的计算函数统计误差的计算函数函数f(xf(x1 1，x x2 2x xn n)的统计误差可由下式给出的统计误差可由下式给出其中其中x x1 1，x x2 2x xn n必须是相互独立的随机变量必须是相互独立的随机变量2

20、12/122222221)()()(21nxnxxfxfxfxf4.4.2 2 放射性测量的统计误差2.统计误差的计算假设对某种样品重复测量了假设对某种样品重复测量了k k次，每次测量的次，每次测量的时间时间t t相同，称为相同，称为等精等精度测量度测量，得到，得到k k个计数。则在时间个计数。则在时间t t内的内的平均计数值平均计数值为：为：根据误差传递公式，根据误差传递公式，的方差为：的方差为：2.2 2.2 多次测量结果的误差（平均值的误差）多次测量结果的误差（平均值的误差）22kiiNkN11NNkNkkkiikiNNi111121222kNN/4.4.2 2 放射性测量的统计误差2.

21、统计误差的计算测量结果可表示为：测量结果可表示为：的相对误差为：的相对误差为：小结：比较单次测量的误差与多次测量的误差，测量次数越小结：比较单次测量的误差与多次测量的误差，测量次数越多多，其误差越其误差越小小；在放射性测量中，不管是一次测量，还是多次测量，；在放射性测量中，不管是一次测量，还是多次测量，只要只要总计数相同总计数相同，则结果的相对，则结果的相对误差是相同的误差是相同的。2.2 2.2 多次测量结果的误差（平均值的误差）多次测量结果的误差（平均值的误差）23kNNNN/iiNNNkNkNNN11N4.4.2 2 放射性测量的统计误差计数率的相对误差与总计数有关系，且计数率的相对误差

22、与计数率的相对误差与总计数有关系，且计数率的相对误差与总计数的相对误差相等总计数的相对误差相等242.统计误差的计算2.3 2.3 计数率的误差计数率的误差计数率计数率n nN/tN/t，根据误差传播公式，计数率，根据误差传播公式，计数率n n的标准误差为：的标准误差为：上式表明，测量时间越长，计数率的误差越小。计数率的相上式表明，测量时间越长，计数率的误差越小。计数率的相对误差为：对误差为：tntNtNN222NntntnnNn11/4.4.2 2 放射性测量的统计误差2.统计误差的计算2.3 2.3 计数率的误差计数率的误差对于多次测量，假如对于多次测量，假如k k次测量的时间相同，则为等

23、精度测量：次测量的时间相同，则为等精度测量：对统计误差来说，无论是一次测量，还是多次测量，只要总对统计误差来说，无论是一次测量，还是多次测量，只要总计数相同，多次测量的平均计数率的相对误差和一次测量的计数相同，多次测量的平均计数率的相对误差和一次测量的计数率的相对误差是一致的。计数率的相对误差是一致的。，而与测量的次数与测量的时间分配无关。，而与测量的次数与测量的时间分配无关。25ktnnnn4.4.2 2 放射性测量的统计误差2.统计误差的计算2.4 2.4 存在本底时误差的计算存在本底时误差的计算样品净计数率样品净计数率n n0 0为：为：n n0 0的标准误差为：的标准误差为：测量结果可

24、写为：测量结果可写为：26bbssbstNtNnnn0bbssbbssntntntNtN220bbssbsntntnnnn)(004.4.2 2 放射性测量的统计误差2.统计误差的计算2.5 2.5 测量时间与测量装置工作状态的选择测量时间与测量装置工作状态的选择计数率计数率n n，时间，时间t t和相对误差和相对误差n n三者之间的关系为：三者之间的关系为：给定了这三个量中的任意两个，就可以利用上式求得第三个量。有本底存给定了这三个量中的任意两个，就可以利用上式求得第三个量。有本底存在时：在时：T=T=t tb b+t+ts s,将将t tb b用用T-T-t ts s代入本底误差公式中，并

25、写出极值条件得：代入本底误差公式中，并写出极值条件得：为使测量结果的误差最小，样品和本底的测量时间之比应等于他们计数为使测量结果的误差最小，样品和本底的测量时间之比应等于他们计数率的平方根之比。率的平方根之比。2712ntnbsbssbssnntttTntndtd0)(4.4.2 2 放射性测量的统计误差2.统计误差的计算2.5 2.5 测量时间与测量装置工作状态的选择测量时间与测量装置工作状态的选择将将 代入样品和本底的测量时间比的公式中，可得到在最佳时间代入样品和本底的测量时间比的公式中，可得到在最佳时间分配下，给定了总的测量时间分配下，给定了总的测量时间T T后，后，t ts s和和t

26、tb b的表达式：的表达式：在这种最佳条件下的相对方差为：在这种最佳条件下的相对方差为：28sbtTtTnntbsb/11Tnnnntbsbss/1/222)1/(11bsbbbssbsnnnTntntnnn4.4.2 2 放射性测量的统计误差例题：例题：粗测得到样品的计数率为粗测得到样品的计数率为10001000minmin-1-1，本底计数率为，本底计数率为250250minmin-1-1，要求净计数率的相对误差，要求净计数率的相对误差1 1，问所需要的测量，问所需要的测量时间是多少？时间是多少？292.统计误差的计算2.5 2.5 测量时间与测量装置工作状态的选择测量时间与测量装置工作状

27、态的选择在相对方差给定的情况下需要的最小测量时间为：在相对方差给定的情况下需要的最小测量时间为：22min)1/(1bsnbnnnT4.4.2 2 放射性测量的统计误差30第四章习题第四章习题4-1.4-1.设测量样品的真平均计数率是设测量样品的真平均计数率是5s5s-1-1，使用泊松分布公式，使用泊松分布公式 确定在任确定在任1 1秒内技术小于或等于秒内技术小于或等于2 2个的概率。个的概率。4-2.4-2.若某时间内的真计数值是若某时间内的真计数值是100100个，求得到计数为个，求得到计数为104104个个 的概率，并求出计数值落在的概率，并求出计数值落在9696到到104104范围内的概率范围内的概率4-3.4-3.测样品测样品8min8min得平均计数率得平均计数率25min25min-1-1，测本底，测本底4min4min得计数得计数 率率18min18min-1-1。求样品净计数率及误差。求样品净计数率及误差。4-4.4-4.某放射性测量中，测得样品计数率约某放射性测量中，测得样品计数率约1000min1000min-1-1，本底，本底 计数率约计数率约250min250min-1-1。若要求测量误差。若要求测量误差1 1，测量样品，测量样品 和本底的时间各取多少？和本底的时间各取多少？