控制系统的状态空间表达式课件.ppt

1、1 1 1电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论第一章 控制系统的状态空间表达式1.1 状态空间描述的概念状态空间描述的概念1.2 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1.3 状态向量的线性变换状态向量的线性变换1.4 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵本章小结本章小结2 2 2电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论1.1 状态空间描述的概念一、基本定义先看一个RLC电力的例子图中，u-输入变量列写微分方程：消去中间变量：传函表示形式：RLcuuiC图1-1dccuCidtdiLRiuudt2cccd

2、 uduLCRCuudtdt2()1()1cUsU sLCSRCS3 3 3电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论一阶微分方程表示形式：向量矩阵表示形式：在向量矩阵表示形式中，如果令 ，则其变为111cccduuidtcdiRiuiudtLLL 11100ccCRLLLuuuii 1cxu2xi111112200CRLLLxxuxx 4 4 4电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论再令则可写为：1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t=to时输入的时间函数

3、，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。如x1(t)、x2(t)xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为：1111200,CRLLLxXAbx XAXbu1212()()()(),().().()Tnnx txtX tXxtxtxtxt或5 5 5电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论3、状态空间：以状态变量x1,x2,xn为坐标轴,组成的n维空间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量的唯一的，特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。

4、4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如，前例中，若取 为输出，则有写出矩阵形式：XAXbucu1cyux1210 xyx6 6 6电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论若指定i为输出，则若指定 均为输出，则二、状态空间表达式：系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式，或称状态空间描述。对于前例，其状态空间描述为：2yix 1201xyx,cu i1122cyuxyix 11221001yxyxYCXYCXXAXbu7 7 7电气与新能

5、源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论一般，多输入多输出系统的状态空间表达式为：其中：XAXBUYCXDU12nxxXx1111nnnnaaAaa1111rnnrbbBbb12ruuUuN维向量系统矩阵nn方阵输入矩阵控制矩阵nr维r维输入向量8 8 8电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论12myyYym维输出向量1111nmmnccCcc输出矩阵mr维1111rmmrddDdd直接传递矩阵mr维9 9 9电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论三、状态空间描述的方框图单线表示一维信号，双线表示多维信号

6、。既反映了输入对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外部输出的影响。四、状态空间表达式的模拟结构图模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。UADCxY+BX101010电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论原则：系统的阶数等于积分器的个数，取每个积分器的输出为状态变量。a，由微分方程绘模拟结构图例：移项：210 xa xa xa xbu210 xa xa xa xbu bu2a1a0ax xx x 111111电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论b，由方框图绘模拟结构图例：1KTs 1111111KKKsTsT

7、sTTsT1TKT121212电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论c，由状态空间表达式绘模拟结构图例：d、多输入多输出系统的模拟结构图1223312312632xxxxxxxxuyxx 236uy1x2x3x3x 131313电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论五、状态空间表达式的说明1、状态变量组的最小性体现在：状态变量x1(t),x2(t),xn(t)是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最小个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为不需要的。2、状态变量组在数学上的特性体现在：x1(t),x

8、2(t),xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变量组。3、状态空间描述考虑了“输入状态输出”这一过程，揭示了问题的本质4、输入引起状态变化是一个运动过程，表现为向量微分方程；状态决定输出是一个变换过程，表现为代数方程。141414电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论5、系统状态变量的个数等于系统中独立贮能元件的个数。6、对于给点系统，状态变量的选择不是唯一的。7、系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，适合于计算机计算。8、对结构和参数已知的系统，可依据物理机理列写状态方程。9、一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量.单从便于控制

9、系统的结构来说,把状态变量选为可测量或可观察更为合适。151515电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论1.2 状态空间表达式的建立一、根据模拟结构图列写状态空间表达式（一）一阶系统的状态空间描述【例1】一阶系统的运动方程不含输入函数的导数项.一阶系统方块图：系统模拟结构图：U(s)Y(s)KTS-11T+KT1Tuy+_xx 161616电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论由模拟结构图写出状态方程:1KxxuTTyx 输出方程:【例2】设一阶系统的运动方程包含输入函数的导数项.一阶系统运动方程方块图:)()(sYsUTKT

10、11s方法：将每个积分器的输出取为状态变量，然后按图中信号流程列写状态方程和输出方程171717电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论 模拟结构图:xx yuTKT1uTKxTuTKxTxxxyuTKxTx )1()1(1根据模拟结构图,写出状态方程,输出方程181818电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例4】方程中含有输入函数的一阶导数.模拟变量图：2TKT221Tyu12xx+22122121212KTTTxxxxxuyxx 21212121101022xxyuxxxxTKTT状态方程与输出方程：191919电气与新

11、能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论（三）n阶线性系统的状态空间描述.n阶线性系统传递函数为:nnnnnnnnnnnnnnsasasasbsbsbasasasbsbsbsUsYsWn )1(1111111111111)()()()1(202020电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论输出函数的拉氏变换为：令:或nnnnnnnsasasasbsbsbsUsYn )1(1111111)()()1(nnnnsasasasUs )1(11111)()()()()()()(2211ssassassasUsnn )()()()()()1()1(

12、111111ssbssbssbsbsbsbssYnnnnnnnn 可得:212121电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论模拟结构图1ana2a1bnb2b)(snx 1nx)(sU)(sY1 s1x1x 1 s1 s222222电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论由模拟结构图写出n阶线性系统状态方程与输出方程：uxaxaxaxaxxxxxxxnnnnnnn112211132211122111210100000100000101nnnnnnnxxxxuxxaaaaxx 232323电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制

13、理论自动控制理论自动控制理论输出方程：即：nnnnnnnxxxbbbbyxbxbxbxby21121112211)127(23)()(22ssssssUsY12312()32()1712Y sssU sss【例5】设线性系统的传递函数为:试绘制系统的模拟结构图.并根据模拟结构图写出系统的状态空间描述.解:242424电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论令:模拟结构图：)23)()(1271)()(32121ssssYsssUsyxxx123u123-7-12252525电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论状态空间描述：32

14、13213211321007120100010 xxxyuxxxxxx262626电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论二、据系统方框图导出系统状态空间描述【例【例6 6】已知系统方块图,试导出系统状态空间描述.解:1)把各环节传递函数化为最简形式 组合.原方块图化为:)()()(sYsUasskpszsiikspasskasskpspzpszs1)(1)(1)(1sYsUasskpspz272727电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2)把具有简单函数相乘的环节化为单元方块的串联3）把具有最简单传递函数（）的环节输出选取为

15、状态变量。化简为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(3133122111313132211sUpzspxsxzpssxskUskxskxssxsxsaxssxsxsUsxsxsUsxsxsUsxsxsxsxpspzskskskskasiiksp)()(1sYsUasskpspz13x2x1x282828电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论拉氏反变换：状态方程：输出方程:32132132131331221100100001)()(xxxyupzkxxxpzpkkaxxxupzpxxzpxkukx

16、kxxxaxx292929电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论三、系统的一般时域描述化为状态空间描述在经典控制理论中,控制系统的时域模型为线性定常系统的状态空间表达式为要解决的问题:选取适当的状态变量,并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D.ububububyayayaynnnnnnnn1)1(1)(01)1(1)(DuCxyBuAxx(1)(0,1,)ija inbjn303030电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论1、方程中不包含输入函数的导数项方程中不包含输入函数的导数项微分方程：微分方程：（1）选择状态变量选择状态

17、变量选择选择 为系统的一组状态变量为系统的一组状态变量.令:（2 2）将高阶微分方程化为状态变量）将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组的一阶微分方程组ubyayayaynnnn01)1(1)()1(,nyyyy 123(2)1(1)nnnnxyxyxyxyxy nxxx,21313131电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论（3）化为向量形式）化为向量形式状态方程为:输出方程为:ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnnnn1211)1(13221 ubxxxaaaxxxnnnnn 001010211121x001y323232电气与新能源学

18、院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例【例7 7】设系统输入-输出微分方程为:若 可导出状态方程和输出方程uyyyy66116 12,nxy xy xyuxxxxxx6006116100010321321321001xxxy333333电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2、方程中包含输入函数的导数项方程中包含输入函数的导数项微分方程：微分方程：)1(1)1(1)(011)1(2)2(1)1(0)1(2)1(1)2(0)2(31)1(0)1(201 uuuuyxuuuuyxuuuyxuuyxuyxnnnnnnnnnnnn算法一、状态变

19、量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。（1 1）选择状态变量）选择状态变量令:()(1)()(1)110110nnnnnnnya yaya yb ububub u343434电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论式中系数 待定.经过推导得：01n)3(0112211021122011100 nnnnnnaaaabaababb（2 2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式）导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式.对(1)式求导:353535电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论uxyuxaxaxauxxu

20、xxuxuuyxuxuyxnnnnnnnnnn011211111231021201 363636电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论（3 3）化为向量形式）化为向量形式状态方程:输出方程:uaaaannnn 1121x100001000010 x uyx0010 373737电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例【例8 8】系统输出-输入微分方程为:系数:按(2)式求得状态变量为640,160,0,0640,192,183210321bbbbaaa2240160186401600003122133021122011100

21、aaabaababbnuyuuuyxyuuyxyuyx160210310201 18192640160640yyyyuu383838电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论状态空间描述:输出方程:uxxxxxx2240160018192640100010321321321001xxxy393939电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论算法二、引入微分算p=d/dt，（1）式的输入输出描述又可表示为如下形式：11101110(4)mmbpbpb pbmmnnpapa panuy 当m=n时，上式有理分式是真的，而当mn时这个有理分

22、式是严格真的。下面加以分别讨论。（a）当mn时：将（4）式进一步改写为：111101()110(5)nnpapa p anmmbpbpb pbymmyuy或将其表示为如下形式404040电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论()(1)(1)110()(1)(1)110(6)nnnmmmmyaya ya yuyb ybyb yb y选取状态变量组：(1)(1)12,nnxyxyxy由此就可得到：(1)12(2)23(1)10 11210 1121(7)(8)nnnnnnmmxyxxyxxyxxa xa xaxuyb xb xb x 和 414141电气与新能源学

23、院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论 由 表示状态向量，即可导出对应于输入输出描述（1）的状态空间描述为：1,Tnxxx0110010(9)0101,0,0nmuaaaybb xxx424242电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例9】给定系统的输入输出描述为：(3)(2)(1)(1)16194640160720yyyyuu利用（9）即可定出相应的一个状态空间描述为：112233123010000106401941617201600 xxxxuxxxyxx 434343电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控

24、制理论（2）当m=n时，先将（4）中的有理分式进行严格真化，可导出：1()()1100(10)1110nnbb apbb annnnnnpapa panuyb 由此可进而表为：()(1)(1)110(1)1100(11)()()nnnnnnnnnyaya ya yuybb aybb ayb u选取状态变量组：(1)(1)12,nnxyxyxy444444电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论0110011010(12)0101(),()nnnnnnuaaaybb abb ab u xxx 对应于输入输出描述（1）的状态空间描述为：此为能控标准型！454545电

25、气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例10】给定系统的输入输出描述为：(3)(2)(1)(3)(1)161946404160720yyyyuuu利用（12）即可定出相应的一个状态空间描述为：112233123010000106401941611840616644xxxxuxxxyxux 464646电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论四、系统的频域描述化为状态空间描述四、系统的频域描述化为状态空间描述控制系统的频域描述控制系统的频域描述（传递函数）化为状态空间描述.方法采用部分分式法（并联分解）.1、控制系统传递函数的极点

26、为两两相异、控制系统传递函数的极点为两两相异.若传函极点为两两相异。则部分分式的形式为:式中 为系统中两两相异极点.nnnnnnnasasasbsbsbsUsYsW 111111)()()(nnssksskssksUsYsW2211)()()(12,nk kk12,ns ss474747电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论为待定系数.可按下式计算（1）选择状态变量 令为状态变量的拉氏变换式,则：),2,1(niki)(1)(1)(1)()(2211sUssksUssksUssksYsssWLimknnissii),2,1()(1)(nisUsssxii484

27、848电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论（2）化为状态变量的一阶方程组)()()()()()()()(1111211121sUsxsUsxsUsxsUsxnnssnssnssss)()()()()()()()()()()()(111222111sUsxsssxsUsxsssxsUsxsssxsUsxsssxnnnnnn494949电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论及对上式进行拉氏反变换,得：)()()(2211sxksxksxkYnn)()()()()()()()()()()()()()()(2211111222111

28、txktxktxkytutxstxtutxstxtutxstxtutxstxnnnnnnnn 505050电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论3.向量形式 即状态方程 称其为对角线规范形！nnnnnxxxkkkyuxxxsssxxx21212121121111001201101nsssxxu515151电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例【例1111】设 ,试求其状态空间描述.解:其极点为 ,而待定常数为32()6()()6116Y sW sU ssss3)3()3)(2)(1(6)(6)2()3)(2)(1(6)(3

29、)1()3)(2)(1(6)(333322221111ssssLimsssWLimkssssLimsssWLimkssssLimsssWLimkssssss121,2,3nsss 525252电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论321321321363111300020001xxxyuxxxxxx相应的状态空间描述为535353电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2、控制系统传递函数的极点为重根控制系统传递函数的极点为重根（a）传递函数的极点为一个重根）传递函数的极点为一个重根形式:s1为n重极点，为待定常数。按下式计算：

30、1）选择状态变量）选择状态变量111112111)()()()()(ssksskssksUsYsWnnn)(1)()(1)()(1)()()()!1(111111211111111sUssksUssksUssksYsssWdsdiLimknnnniissi12111111111()()()()()()nnxsU sU sxsssssssss1(1,2,)ik in545454电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2）化为状态变量的一阶方程组）化为状态变量的一阶方程组：及：对上式进行拉氏反变换：)(1)()(1)()(11)()(1)()(1)()(11)()(

31、1)(111121131211112sUsssxsxsssUsssssUsssxsxsssUsssssUsssxnnnnnn)()()()()()()()()()()()()()()()(1212111111132122111sxksxksxksYsUsxsssxsxsxsssxsxsxsssxsxsxsssxnnnnnnn555555电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论3）向量形式）向量形式：nnnnnnnxkxkxkyuxsxxxsxxxsxxxsx1212111111132122111nnnnxxxkkkyuxxxsssxxx2111211211112

32、110001101约当规范形!565656电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例【例1212】设 ,三重极点为s=2,待定常数状态空间描述为23251()(2)ssW ss1(1,2,3)iki 224)2)(!2113)54()2)(19)152()2)(32221323212223211ssWdsdLimksLimssWdsdLimkssLimssWLimksssss32132132121319100200120012xxxyuxxxxxx575757电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论(b)传递函数的极点为k个重根

33、设 为 重根,为 重根,为 重根,且 状态空间描述为：22slkksl11sl22kllln585858电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论uxxxxxxxxxsssssssssxxxxxxxxxnlnlnlllllkkknlnlnlllllkkkk 1001001001111112121212221112121212111121111595959电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论1211112111kllkklnxykkkkkkx kklkkllkkkkkkkCkkCkkCBBBsssJsssJsssJ121,10,1

34、0,10001001001001,001001121211112122221111 及：令：606060电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论则：uxCCCyBBxJJJxkkk 11121000000称为Jordan(约当)规范形616161电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论3、控制系统传递函数同时具有单极点和重极点,令 为单极点,为 重极点,为 重极点,且 状态方程：12,ks ss11kslk mmslnlklllkmiim121626262电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论ux

35、xxxxxssssssssxxxxxxnlnlkkkmkmkmkkkkknlnlkkkmm 1010111111111111111111636363电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论输出方程：nlmkmklkkkxxkkkkkkkym1,1,11,1211646464电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论五、根据物理机理建立状态空间表达式方法：根据系统含有储能元件的个数确定最小变量组，根据系统物理机理列写微分方程，最后写出矩阵形式。【例13】R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变量，-输出变量。试求其状态空间描述。解：

36、1)确定状态变量选 和 构成最小变量组,组成状态向量 x=2()Rutculiculi()e tR1LuR2R2cicil656565电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2)列写网络方程:消去不是所确定的状态变量,即将 代入由（3）式得cducdtic)2()()()1()()(211teiRuiiRtedtdiLiiRCCLCLLC)4()()3()(11211tedtdiLdtduCRiRtedtduCRudtduCRiRLCLCCCL)5()()(1)()(12121121teCRRiCRRRuCRRdtduLCC666666电气与新能源学院首页上页下

37、页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论由（4）式得（5）式代入（6）式：3)状态空间描述)6()(111teLiLRdtduLCRdtdiLCL)()()()(2122121211teLRRRiLRRRRuLRRRdtdiLCL状态方程：)()()(1)()()()(121221212121121121teLRRRCRRiuLRRRRLRRRCRRRCRRiuLCLC676767电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论令：令状态向量：11212212121212122122122212121121121,)()(1,)()()()(1RRRDRRRRRR

38、RCLRRRCRRBLRRRRLRRRCRRRCRRACCLLuuXXii2)(Ruyteu输入向量:输出向量:)(2122121212222teRRRiRRRRuRRRdtduCRiRuLCCCR输出方程:)(21221212122teRRRiuRRRRRRRuLCR 686868电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论因此状态空间描述的数学模型可表示为状态方程和输出方程.即为DuCxyBuAxx 696969电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论1.3 状态向量的线性变换一、系统状态空间表达式底非唯一性设给定系统为：我们总可

39、以找到任意一个非奇异矩阵T，将原状态向量X作线性变换，得到另一状态向量z，设变换关系为：代入状态方程和输出方程，得到新的状态空间表达式：由于T为任意非奇异矩阵，所以系统的状态空间表达式是不唯一的。0(0)XAXBuXXyCXDu1XTzzTX则11110;(0)(0)XTzATzBuzTATzT BuzTXTXyCXDuCTzDu11,zA zB uATAT BT ByC zDuCCT DD其中，707070电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例14】某系统状态空间表达式为1）若取变换矩阵 则变换后的状态向量为：0221;(0)130103XXuXyX 1

40、1162011,20132TT即1112212011132121322zTXXzxzxx即：新的状态向量 是原状态向量 的线性组合12,z z12,x x717171电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论变换后即变换后的状态空间表达式为111111010262011131320232012011301262036020ATATBT BCCT 10100102316010111213121zA zB uzuyC zzzTx 727272电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2）若取变换矩阵 则变换后的状态向量为：变换后的状态空间

41、表达式为：1222111,1112TT即121112zTXX112221020211022 111212131 112010211 10;02212112 1033 31 1zT AT zT BuzuzuzT xyCT zzz 737373电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论二、系统特征值的不变性及系统的不变量1、特征值定义、特征值定义:设线性定常系统状态方程为:式中.A为 常阵,B为 常阵。系统特征值：就是其系数 矩阵A的特征值。即特征方程 的根。2、特征值性质：、特征值性质：1）一个n维系统的 方阵A，有且仅有 n 个特征值。2）物理上存在的系统，方阵A

42、为实常阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。BuAXX nnnr0 AInnnn747474电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论3)对系统作线性变换，其特征值不变。证明：作 线性非奇异变换，则有 若要证其特征值不变，则必证 又1XP XXPXXCXCPCXyuBXABuPXAPPBuPXAPXPX111111IAIP APAIAIPPPAIPPAIPAPPPPAPPI111111)(757575电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论4）设 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量，使5）设 为系数矩阵A的特征值,是A的分

43、别属于特征值的特征向量。当 两两相异时，线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵P必是非奇异的。iiiiAVV，则称 为A的属于 的特征向量.iVinivvvVTniiii,3,2,12112,n 12,nV VV12,n 12,nV VVnnnnnnnvvvvvvvvvVVVP21222211121121767676电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论6)若系统矩阵A具有如下形式：则其特征多项式为特征方程 的根就是系统的极点，即系统的特征值。121100001000010aaaaAnnn111nnnnIAaaa1110nnnnIAaaa777777电气与新能

44、源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论【例15】求的特征向量。解：先求特征值，由1）对应于 的特征向量设01161166115A 3212311611606115611601,2,3IA 11 1P1112131pPpp787878电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论按照特征向量的定义，有则乘开后得到：解之得：令11 1APP11112121313101161166115pppppp 11213111213111213106106061160ppppppppp2111310,ppp113111101ppP 于是797979电气与新能源

45、学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论用同样得方法可以分别算出对应于 的特征向量对应于 的特征向量三、将状态方程化为对角线规范型三、将状态方程化为对角线规范型1、系数矩阵A具有任意形式定理：对于线性定常系统，如果其特征值定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两是两两相异的，则必存在非奇异矩阵两相异的，则必存在非奇异矩阵P，通过变换，通过变换 ，状态方程被化为对角线规范形式，即状态方程被化为对角线规范形式，即:式中：式中：而变换阵而变换阵P为为22 33 2124P 3169P 12,n 1XP XXAXBu1200nA12.nPVVV 为A的n个特征向量iV808080

46、电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论证明：由特征值性质 5）知：又由性质4）知：上式两端左乘 得：nnnnnnnvvvvvvvvvVVVP21222211121121 nnnnnnnPVVVVVVAVAVAVVVVAAP112122112121iiiAVV1P12100nPAP818181电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论由性质3）知，线性定常系统 经 变换后为其中：证毕！证毕！【例16】线性定常系统 ,其中将状态方程化为规范形式.解解:1):1)求其特征值:XAXBu1XP XuBXAXBPBAPPA11X AX Bu

47、2117010,20213AB 1,1,2112120010112det321AI828282电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2)2)确定非奇异矩阵P 对12,0203021200101123121213121312111312111vvvvvvvvvvv2131110,vvv为任意常数1100V 取:00311200101123222322212322212322212vvvvvvvvvvv21 223212,0vvv 1102V取:对1013V同理得:838383电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论11001011

48、1,1100101011321PVVVP3）求,A B52232711001011110001000211001010112001011211001011111BPBAPPAuxX522100010002对角线规范形式为：848484电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2、系数矩阵A具有特定形式：定理：对线性定常系统，如果其特征值定理：对线性定常系统，如果其特征值 是两两是两两相异的，且系数矩阵相异的，且系数矩阵A具有如上形式，则将系统状态方具有如上形式，则将系统状态方程化为对角线规范型的非奇异矩阵程化为对角线规范型的非奇异矩阵P，为以下形式：，为以下形式：

49、121100001000010aaaaAnnn12,n 112112222121111nnnnnnP范德蒙德（Vandermonde）矩阵858585电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论即：式中：【例17】线性定常系统 ，其中 将状态方程化为规范形式.解：解：1）确定系统特征值.uBXAXBPBAPPAn1211,1122121001detAIXAXBu1579,212100010BA868686电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论2）组成变换阵3）求 25215791010001000211411211121210001

50、010612131212131311612131212131311BPBAPPA1232,1,1 1133111123222221111233261111110211,1411PP,AB878787电气与新能源学院首页上页下页末页结束自动控制理论自动控制理论自动控制理论四、将状态方程化为将状态方程化为JordanJordan规范型：规范型：1 1、A A阵具有任意形式阵具有任意形式设设A A的特种根有的特种根有q q个个 的重根，其余（的重根，其余（n nq q）个为互异根，）个为互异根，则通过变换，可以将则通过变换，可以将A A阵化为阵化为JordanJordan标准型：标准型：uXX 25